2019年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题

深圳市2019年高三年级第一次调研考试

数 学（文科） 2019．2

本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液． 不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．

第Ⅰ卷

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1．已知集合A{x|1x2}，B{1,2,3}，则A（A）{1} 2．设z（B）{2}

B

（D）{1,2,3}

（C）{1,2}

22i，则|z| 1i（B）2

（C）5 （D）3

（A）2 3．在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点P(2,1)，则sin(π2)的值为

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（A） 4 5（B）3 5（C）

3 5 （D）

4 50x34．设x，y满足约束条件0y4，则z3xy的最大值为

2xy6（A）7

（B）9

（C）13

（D）15

5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(,0]为增函数，且f(3)0，则不等式

f(12x)0的解集为

（A）(1,0)

（B）(1,2)

（C）(0,2)

（D）(2,)

6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的 几何体的三视图，则该几何体的体积为

（A）64 （C）80

7．已知圆锥的母线长为5，底面半径为2，则该圆锥的外接球表面积为 （A）

（B）68 （D）109

25π 4（B）16π （C）25π （D）32π

8．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已

知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段AB2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC1（2）以C为圆心，BC为半径画弧，AB1，连接AC；

2CD交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E． 点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上 随机取一点F，则使得BEAFAE的概率约为 AE第（8）题图

B （参考数据：52.236）

（A）0.236 （B）0.382 （C）0.472 （D）0.618深圳市2019年高三年级第一次调研考试 数学（文科）试题 第 2 页 共 16页

9．已知直线xππ是函数f(x)sin(2x) (||)图象的一条对称轴，为了得到函数62yf(x)的图象，可把函数ysin2x的图象

（A）向左平行移动 （C）向左平行移动

π个单位长度 6（B）向右平行移动

π个单位长度 6π个单位长度 12（D）向右平行移动

π个单位长度 1210．在长方体ABCDA，M为AA1的中1BC11D1中，AB2，BC2，CC122点，则异面直线AC与B1M所成角的余弦值为 （A）

6 6（B）

2 3（C）

3 4（D）

22 3x2y211．已知F1，F2是椭圆221（ab0）的左，右焦点，过F2的直线与椭圆交于

abP，Q两点，若PQPF12PF1，则PF1且QF1F2与QF1F2的面积之比为

（A） 23 12．已知函数f(x)（A）1

（B）21

（C）

2+1 （D）2+3

xlnx,x0, 若x1x2且f(x1)f(x2)，则|x1x2|的最大值为

x1,x0,（B）2

（C）2

（D）22 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分． 第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答． 第22～23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．曲线yex1，f(1)处的切线的斜率为 ． 在点1x则a与b的夹角为 ． 3，14．已知平面向量a,b满足|a|2，|b|4，|2ab|415．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于

A,B,C,D四个点，若这四个点与F1，F2两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲

线的离心率为 ．

16．在ABC中，ABC150，D是线段AC上的点，DBC30，若ABC的面

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积为3，当BD取到最大值时，AC ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

记Sn为等差数列{an}的前n项和． 已知a14，公差d0，a4是a2与a8的等比中项．

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{

18．（本小题满分12分）

工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见下表． 质量指标Y 频数 一年内所需维护次数 1}前n项和为Tn． Sn9.4,9.8 8 2 9.8,10.2 24 0 10.2,10.6 16 1 （1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；

（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在9.8, 10.2内的概率；

（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？

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19．（本小题满分12分）

已知四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，PDDC，ADPC．

（1）求证：ACAP；

（2）若平面APD平面ABCD，ADC120，ADDC4，求点B到平面

PAC的距离．

20．（本小题满分12分）

设抛物线C：y24x，直线l:xmy20与C交于A，B两点． （1）若AB46，求直线l的方程；

（2）点M为AB的中点，过点M作直线MN与y轴垂直，垂足为N，求证：以MN为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)ax2ex2， 其中a2．

x （1）当a0时，求函数f(x)在1,0上的最大值和最小值；

（2）若函数f(x)为R上的单调函数，求实数a的取值范围．

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请考生在第22、23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x2tcos,（t为参数），以坐标原

ytsin,点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos，直线l与曲线C交于A，B两个不同的点． （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）若点P为直线l与x轴的交点，求

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数f(x)x1x2，g(x)x2mx1． （1）当m4时，求不等式f(x)g(x)的解集；

1PA21PB2的取值范围．

1 （2）若不等式f(x)g(x)在［2,］上恒成立，求m的取值范围．

2

深圳市2019年高三年级第一次调研考试 文科数学试题参考答案及评分标准

第Ⅰ卷

一．选择题

（1） C （2） B （3） A （7） C （8） A （9） C

（4） C （5） B （6） A （10）B （11）D （12）C

12【解析】不妨设x2x1，由f(x1)f(x2)，要使|x1x2|最大，即转化为求x1x2max， 问题可转化为（如图所示）A(x1,y1)到yx1(x0) 距离的最大值问题． 此时需过A点的切线与yx1平行．

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当x0时，f(x)lnx1，

令f(x)1，则x11，A(1,0)，x21 所以|x1x2|的最大值为2．

二．填空题： 13．e1

14．60 15．2 16．27 16【解析】由题意可知 SABC11acsin150ac3，得ac43．设BDx，则24SBCDSABD4313，当且仅当a3c时x取到最大axcx43，可得x44a3c值，所以a23，c2，由余弦定理可得b27． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a14，公差d0，a4是a2与a8的等比中项．

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{1}前n项和为Tn． Sn【解析】（1）∵a2，a4，a8成等比数列， ∴a4a2a8，

∴(a13d)(a1d)(a17d)， ……………………………………2分 ∴(43d)2(4d)(47d)，

解得d4或d0， ∵d0，

∴d4． ………………………………………………………4分 ∴数列{an}的通项公式ana1(n1)d4n(nN)． …………………6分

（2）∵Sn ∴

22n(a1an)2n22n， …………………………………………8分 2111112()， ………………………………………10分 Sn2n2n2nn1深圳市2019年高三年级第一次调研考试 数学（文科）试题 第 7 页 共 16页

∴Tn111...... S1S2Sn11111()()212231111()(1)． ……………12分 nn12n1【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式、等比中项、裂项相消求和法等知识与技能，重点考查方程思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养．

18．（本小题满分12分）

工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一

共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见下表． 质量指标Y 频数 一年内所需维护次数 9.4,9.8 8 2 9.8,10.2 24 0 10.2,10.6 16 1 （1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；

（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在9.8, 10.2内的概率；

（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？

【解析】（1） 指标Y的平均值=9.6132+10+10.410.07．……………2分 666（2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y在9.8,10.2内的有3件，记为

A1、A2、A3；指标Y在10.2,10.6内的有2件，记为B1、B2；指标Y在9.4,9.8内的有

1件，记为C． …………………3分

从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个：A1,A2、A1,A3、A1,B1、

A1,B2、A1,C、A2,A3、A2,B1、A2,B2、A2,C、A3,B1、A3,B2、A3,C、 B1,B2、B1,C、B2,C． …………………5分

其中，指标Y都在9.8,10.2内的基本事件有3个：AA1,A3、A2,A3． 1,A2、深圳市2019年高三年级第一次调研考试 数学（文科）试题 第 8 页 共 16页

…………………6分

所以由古典概型可知，2件产品的指标Y都在9.8,10.2内的概率为P31． 155…………………7分

（3）不妨设每件产品的售价为x元，

假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为=148x16300+8600=x200元； …………………9分 48假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48x100元，一年内

0，平均每件产品的消费费用只有8件产品要花费维护，需支出8300=240元

=1480xx100+83048150 …………………11分 元．

所以该服务值得消费者购买． …………………12分

【命题意图】本题主要考查通过用样本估计总体（平均数）、古典概型、概率决策等知识点，重点体现数学运算、数据分析等数学核心素养．

19．（本小题满分12分）

已知四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，PDDC，ADPC．

（1）求证：ACAP；

（2）若平面APD平面ABCD，ADC120，ADDC4，求点B到平面

PAC的距离．

【解析】（1）证明：取PC中点M，连接AM，DM，……1分

PDDC，且M为PC中点，

DMPC， ………………………………2分

ADPC，ADDMD， …………………3分

PC平面ADM， ………………………………4分

AM平面ADM，

PCAM， ……………………………………5分

M为PC中点，

ACPA． ……………………………………6分

（2）过点P作PH垂直AD延长线于点H，连接CH， ……………………7分 平面APD平面ABCD，平面APD

平面ABCDAD，

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PH平面APD，PHAD，

PH平面ABCD，……………………………8分

CH平面ABCD，

PHCH， ………………………………9分

PDDC，ADAD，ACAP，

ADPADC， ADCADP120，

PDCDAD4，ACAP43，

PHCH23，PC26．…………………10分

设hB为点B到平面PAC的距离， 由于VPABCVBACP，可得SABCPH131SACPhB， 313SABC4443，

221SACP264267， …………………………………………11分

2所以hB47． 747．…………………………………………12分 7即点B到平面PAC的距离为【命题意图】本题主要考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、面面垂直的性质、等体积法求点到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养．

20．（本小题满分12分）

设抛物线C：y24x，直线l:xmy20与C交于A，B两点． （1）若AB46，求直线l的方程；

（2）点M为AB的中点，过点M作直线MN与y轴垂直，垂足为N，求证：以MN为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．

xmy2,【解析】（1）由2消去x并整理，得y24my80，……………1分

y4x,显然16m2320，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

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由韦达定理可得，y1y24m，y1y28，…………………………………3分

ABm21y1y2m21(y1+y2)24y1y2，

AB4m21m2246， ………………………………………4分 m24（舍去）或m21，

m1，

直线方程为xy20或xy20． ………………………………5分

（2）设AB的中点M的坐标为(xM,yM)，则yM又

y1y22m， 2x1x2m(y1y2)44m24，

x1x22m22， ……………………………………………………6分 2xMM(2m22,2m)，由题意可得N(0,2m)， …………………………………7分

设以MN为直径的圆经过点P(x0,y0)

则PM(2m22x0,2my0)，PN(x0,2my0)，…………………8分 由题意可得，PMPN0，

即(42x0)m4y0mx0y02x00， ………………………………9分

22242x00， ……………………………………………10分 由题意可知4y00，22x0y02x00，x02，y00， …………………………………………………11分

定点(2,0)即为所求． ………………………………………………………12分

【命题意图】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系、弦长公式、定点问题 等知识，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养．21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)ax2ex2， 其中a2．

x （1）当a0时，求函数f(x)在1,0上的最大值和最小值；

（2）若函数f(x)为R上的单调函数，求实数a的取值范围．

【解析】（1）当a0时，f(x)=2exx2，f(x)=2ex1．………………1分 由f(x)0解得xln2，由f(x)0解得xln2．

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故函数f(x)在区间1,ln2上单减，在区间ln2,0上单增． …………2分 ∴ f(x)minfln2ln21． ……………………3分 ∵f(1)=210，f(0)=0， e∴ f(x)maxf(0)0． ……………………………………4分 （2）法一： 令g(x)f(x)axa2e1，则g(x)ax2a2e．

xx（i）当a=0时，由（1）知，与题意不符； …………………5分 （ii）当a0时，由g(x)0  x2222∴ g(x)min=g2=aea10，

a22g(x)0  x2 ，．aa∵ g(0)=a+10，

∴ 此时函数f(x)存在异号零点，与题意不符． ……………………6分 （iii）当2a0时，由g(x)0 ，可得 x2由g(x)0 可得x2∴g(x)在,22， a2． a222，+上单调递增，在上单调递减．

aa222故g(x)max=g2=aea1． ……………………7分

a由题意知，ae令222a10恒成立． ……………………8分

2tt，则上述不等式等价于et1，其中t1．……………9分 a2t易证，当t0时，et1t1， 2t，又由（1）的结论知，当t10时，e由12t1成立． …………………11分 220，解得2a1． a综上，当2a1时，函数f(x)为R上的单调函数，且单调递减． …12分

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（2）法二：因为f(1)210，所以函数f(x)不可能在R上单调递增．…6分 e所以，若函数f(x)为R上单调函数，则必是单调递减函数，即f(x)0恒成立． 由f(0)a10可得a1，

故f(x)0恒成立的必要条件为2a1． ……………………………7分 令g(x)f(x)axa2e1，则g(x)ax2a2e．

xx当2a1时，由g(x)0 ，可得 x2由g(x)0 可得x2∴g(x)在,22， a2， a222，+上单调递减． 上单调递增，在aa222a1． ………………………………………9分 故g(x)max=g2=aea令h(a)=ae即证e22a22a1，下证：当2a1时，h(a)=ae22a10．

21t1．令2t，其中t1,0，则1．

a2aat则原式等价于证明：当t1,0时，e由（1）的结论知，显然成立．

t1． ……………………11分 2综上，当2a1时，函数f(x)为R上的单调函数，且单调递减． ………12分 【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，以及不等式恒成立 问题，重点考查分类讨论、化归转化等数学思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

x2tcos, 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原

ytsin,点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos，直线l与曲线C交于A，B两个不同的点．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

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（2）若点P为直线l与x轴的交点，求【解析】（1）∵ 2cos ∴ ∵

1PA21PB2的取值范围．

22cos， …………………………………1分 2x2y2，cosx， …………………………………3分

∴ 曲线C的直角坐标方程为x2y22x0． …………………………………5分 （2）将x2tcos,代入曲线C的直角坐标方程，可得

ytsin,t26cost80， …………………………………6分

由题意知=36cos2320，故cos28，又cos21，

98cos2,1， …………………………………7分

9设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则

t1t26cos，t1t28， …………………………………8分 t1与t2同号，

由参数t的几何意义可得：

PAPBt1t2t1t26cos，PAPBt1t28，

1PA21PB2(PAPB)22PAPBPAPB22

(t1t2)22t1t29cos24， ……………………………………9分 2(t1t2)168cos2,1，

99cos2415,，

164161PA21PB2的取值范围为,15． ………………………………10分 416【命题意图】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系、函数的最值问题等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．

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23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数f(x)x1x2，g(x)x2mx1．

（1）当m4时，求不等式f(x)g(x)的解集；

（2）若不等式f(x)g(x)在2,上恒成立，求m的取值范围．

21【解析】（1）f(x)x1x2，

2x1,x1, f(x)3,1x2, ……………………………………………………1分

2x1,x2,当m4时，g(x)x24x1，

① 当x1时，原不等式等价于x22x0，解得，2x0，

2x1． ………………………………………………2分

② 当1x2时，原不等式等价于x24x20， 解得，22x22，

1x22． ……………………………………………………3分

③ 当x2时，g(x)g(2)11，而f(x)f(2)3，

不等式f(x)g(x)解集为空集． ………………………………………………4分

综上所述，不等式f(x)g(x)的解集为(2,22)． ……………………5分 （2）① 当2x1时，f(x)g(x)恒成立等价于mxx22x，又x0， mx2，故m4； …………………………………………………7分

② 当1x1时，f(x)g(x)恒成立等价于g(x)3恒成立，即g(x)min3， 2g(1)3m3, 只需即可，由此可得19

g()3m,22 m9， …………………………………………9分 2深圳市2019年高三年级第一次调研考试 数学（文科）试题 第 15 页 共 16页

综上所述，m,9． ……………………………………………………10分 2【命题意图】本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知识点，重点考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．

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