嘉兴学院学报
JournalofJiaxingCollege ・37・
资本资产定价模型研究
蒋福坤,刘正春
(嘉兴学院信息工程学院,浙江嘉兴314001)
Ξ
摘 要:根据现代证券组合投资理论,该文利用期望效用函数给出资本资产定价模型的一种推导方法,并进行了一些讨论。
关键词:市场资产组合;期望效用函数;资本资产定价模型。 中图分类号:F830.9
Abstract:Thispapergivesaderivationofacapitalassetpricingmodelwiththeexpectedutilityfunctionaccordingtothemoderntheoryofportfolioinvestment,andhasmadesomediscussion.
. CLC:F830.9Keywords:marketportfolio;expectedutilityfunction;capitalassetpricingmodel
文献标识码:A. 文章编号:1671-3079(2004)01-0037-03
现代证券组合投资理论是关于在收益不确定条件下投资行为的理论。该理论最早由美国经济学家HarryMarkowitz提出,其核心问题是要解决面对证券投资市场上各种各样的投资机会,投资者如何根
据各种证券的特征和自身投资偏好,来选择理想的证券组合,包括证券组合投资的资金比例,以使投资风险最小而预期收益最大。为此,Markowitz模型给出了一个解决方法。但在Markowitz模型中需要大量的样本数据,同时,该模型的计算技术也很复杂。1963年,WilliamSharp提出了简化计算方法的模型,称为单指数模型(SIM)。1964年,WilliamSharp进一步提出了著名的资本资产定价模型。在资本资产定价理论中,由无风险资产和市场组合可确定资本市场线,资本市场线解释了系统风险与收益的关系。在均衡条件下,利用资本市场线可推导出证券市场线,一般把证券市场线及其数学表达式称为资本资产定价模型。本文利用期望效用函数,从另一个角度给出资本资产定价模型的一种推导方法,并进行了一些讨论。
一、资本资产定价模型的推导
在证券组合投资中,效用理论认为,投资者是在期望效用最大化准则下选择投资决策。为此我们给出如下假设:
(1)证券市场是完全的竞争市场;
(2)所有投资者处于同一单周期投资期;(3)投资者对证券收益的概率分布预期都一致;
(4)所有投资者具有共同的效用函数且追求期望效用最大化;(5)资本市场存在无风险资产,投资者可以无风险利率无限借贷;
(6)投资者的期望效用仅与收益率的均值和方差有关,且随均值递增,随方差递减。
在此假设下可建立单阶段证券组合投资模型。
模型(I):
2
maxuM=maxE[u(RM)]=maxf(E(RM),ΡM)
n
s.t:2xi=1
i=0
其中:R0为无风险资产的期末收益率,R1,R2,…,Rn分别为n种风险资产的期末收益率,x0,x1,x2,
Ξ收稿日期:2003-08-25.作者简介:蒋福坤(1953— ),男,浙江桐乡人,嘉兴学院信息工程学院。
嘉兴学院学报 第16卷第1期・38・
…,xn分别表示期初这n+1种资产所占投资资本总额的比例。RM=2xiRi表示市场资产组合的期末收i=0
2益率,Ρ22xiΡijx为市场资产组合的方差,u=u(R)表示效用函数。M=
i=1j=1
n
n
n
根据效用理论,投资者选择资产组合投资应实现投资期末的期望效用最大化,也就是市场资产组合的投资比例x0,x1,x2,…,xn应满足模型(I)。此等价于求x1,x2,…,xn,使
。M)达到最大E[u(RM)]=f(E(RM),Ρ
2
其中:RM=2xiRi+(1-i=1
n
i=1
2xi)R0)
n
假设二元函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,根据求极值的一阶条件和二元复合函数的求导法则,
由模型(I)可得市场资产组合满足:
22f1(E(RM),ΡM)[E(Ri)-E(R0)]+f2(E(RM),ΡM)22Ρijxj=0,(i=1,2,…,n)j=1n
(1)
又因为E(RM)-E(R0)=2xiE(Ri)-E(R0)=2xi[E(Ri)-E(R0)],
i=0
i=1nn所以由(1)式可得:
f1(E(RM),ΡM)[E(RM)-2
E(R0)]+f2(E(RM),ΡM)222xiΡijxj=0
2
i=1j=1
n
nn
(2)
由(1),(2)可得E(Ri)-E(R0)=
j=1nn
2Ρijxj
i=1j=1
22xiΡijxj
[E(RM)-E(R0]
(3)[E(RM)-E(R0)]2
ΡM
由推导过程可以看出,只要投资者的期望效用函数为期末收益率的均值和方差的函数,那么市场中某一风险资产的期望超额收益率与市场资产组合的超额收益率成正比,而(3)式就是资本资产定价模
cov(RM,Ri)型,此时比例系数为:Βi=。2
ΡM
二、广义的资本资产定价模型
如果在模型(I)的假设中舍去条件(6),其他假设不变,我们可以建立新的单阶段组合投资模型。模型(II):
maxuM=maxE[u(RM)]
n
即:
E(Ri)-E(R0)=
cov(RM,Ri)s.t:2xi=1
i=0
其中:RM=2xiRi。由效用理论,投资者选择的最优资产组合的比例x0,x1,x2,…,xn应满足模型
i=0
(II),此等价于求x1,x2,…,xn,使E[u(RM)]达到最大。
n
其中:RM=2xiRi+(1-2xi)R0
i=1i=1
由此可得出[1]市场中某一风险资产的期望超额收益率与市场资产组合的超额收益率之间的关
系为:
(RM),Ri)cov(u’(4)[()-E(R0]E(Ri)-E(R0)=(RM),RM)ERMcov(u’
它也表明了市场中某一风险资产的期望超额收益率与市场资产组合的超额收益率成正比,只是比
～
(RM),Ri)cov(u’例系数不同于(3)式,这里比例系数为Βi=。这个系数与投资者对市场资产组合的边际(RM),RM)cov(u’效用、市场收益率以及该资产收益率的不确定性有关。(4)式被称为广义的资本资产定价模型[1]。
三、模型(I)与模型(II)的进一步讨论
我们利用期望效用函数推导了资本资产定价模型的两种形式。下面对一些特殊情况,再来讨论一
nn
蒋福坤,刘正春:资本资产定价模型研究・39・
下这两个模型的关系,为此先证明一个结论。
结论:当效用函数u(RM)为收益率RM的二次函数或者风险资产的收益率的联合分布为n元正态分布,那么效用函数u(RM)的期望E[u(RM)]是RM的均值、方差的函数。
证:设效用函数u(RM)具有任意阶导数,由泰勒公式可得
∞
11(j)2
[E(RM)](RM-E(RM))+[E(RM)](RM-E(RM))+2u(RM)=u[E(RM)]+u′u″u[E
j=3j!2!
(RM)](RM-E(RM))j(5)
两边取数学期望得:
[E(RM)]E(RM-E(RM))+E[u(RM)]=u[E(RM)]+u′
u
(j)
[E(RM)]E[(RM-E(RM))j]
1)当效用函数u(RM)为RM的二次函数时,(5)式中2j=3∞∞
11[E(RM)]E[(RM-E(RM))2]+2u″j=3j!2!(6)
1(j)j
u[E(RM)](RM-E(RM))=0,j!又因为E[RM-E(RM)]=0,所以(6)式为:1[E(RM)]E[(RM-E(RM))2]E[u(RM)]=u[E(RM)]+u″2!
即:E[u(RM)]为RM的均值、方差的函数。
2)当随机向量(R1,R2,…,Rn)服从n元正态分布时,由正态分布的性质可知,R0,R1,R2,…,Rn的线性组合RM=2xiRi服从一元正态分布,因此由正态分布矩的性质可得:
i=0
j
j为奇数时,E[RM-E(RM)]=0
jj
Mj为偶数时,E[RM-E(RM)]=(j-1)!!Ρ
n
将这些结果代入(6)式得出E[u(RM)]为RM的均值、方差的函数。故结论得证。
从这个结论容易看出,当效用函数u(RM)为收益率RM的二次函数或者风险资产的收益率的联合分布为n元正态分布时,模型(II)就是模型(I)。另外也可直接证明[1],当效用函数u(RM)为收益率RM的二次函数或者风险资产的收益率的联合分布为n元正态分布时,(4)式中的系数Βi=
(RM),Ri)cov(u’cov(RM,Ri)(3)式中的系数Βi=就是。2
(RM),RM)cov(u’ΡM
上述的讨论过程说明了模型(II)是模型(I)的推广,或者说模型(I)是模型(II)的特例,(4)式也可认为是(3)式的拓展。
四、结语
在现代证券组合投资理论中,资本资产定价模型占有重要的地位。利用期望效用函数,本文研究了资本资产定价模型的一种推导方法,并讨论了广义的资本资产定价模型在什么条件下就是一般的资本资产定价模型。从而,为资本资产定价模型的实证检验提供一些理论上的依据。参考文献:
[1]丁元耀.组合投资与资本资产定价模型[J].数学的实践与认识,2002,(5):50～52.[2]周刚,等.投资管理学[M].北京:经济科学出版社,1999.[3]叶中行,林建忠.数理金融[M].北京:科学出版社,2000.[4]朱宝宪.投资学[M].北京:清华大学出版社,2002.
～
(责任编辑 丁火)
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