航空发动机转子系统的动态响应计算

第ｌ２卷第１期２０１４年３月　动力学与控制学报　Ｖｏ１．１２Ｎｏ．１　１６７２－６５５３／２０１４／１２（１）／Ｏ３６—８　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＤＹＮＡＭＩＣＳ　ＡＮＤ　ＣＯＮＴＲＯＬ　Ｍａｒ　２０１４　航空发动机转子系统的动态响应计算米　张欢　陈予恕　（哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨１５０００１）　摘要利用有限元方法建立了航空发动机双转子系统耦合非线性动力学模型，采用ＭＡＴＬＡＢ计算了系统的　临界转速和振型；研究了双转子结构的稳态不平衡响应，给出了双转子一机匣系统在不同转速下的运动规　律，为工程中双转子系统的设计提供了一定的理论支持．　关键词双转子系统，有限元法，　临界转速，不平衡响应　ＤＯＩ：１０．６０５２／１６７２．６５５３－２０１３．１　１０　引言　以避免在传递矩阵法中可能出现的数值不稳定问　题　．　现代航空发动机的显著特点是高转速、高推重　国内外学者在双转子系统的动力学特性计算　比，尤其对于中小型航空发动机，转子多为柔性转　方面做了大量工作．缪辉，王克明　等利用有限元　子，转子工作转速可能高于其一阶（或几阶）临界　软件ＡＮＳＹＳ建立简易双转子系统的有限元模型，　转速以上，而机匣的壁变薄，且结构大部分为回转　分别用ＱＲ阻尼法和同步响应法计算该双转子系　壳体，转子和机匣之问相互耦合及相互影响日益加　统的临界转速以及振型．罗贵火、胡询　叫等人利　强，形成了复杂的结构动力特性，转子振动及整机　用传递矩阵法研究了反向旋转双转子系统的临界　振动问题十分突出．通常，航空发动机的转子通过　转速、振型和不平衡响应并用实验验证了结果的正　滚动轴承支承在定子机匣上，而机匣支承在基础　确性提出了两种反向旋转双转子系统的振动特性　上，为了减少转子的振动以及调节转子的临界转　分析方法．申苗，唐驾时　等利用有限元软件对某　速，在轴承与轴承座之间往往加有弹性支承和挤压　型发动机双转子系统进行了固有频率及振型计算，　油膜阻尼器，因此，它们之问的运动相互耦合、相互　并分析了轴承刚度对整个系统动力特性的影响．美　影响，从而在结构和动力学上构成了双转子一支承　国学者Ｄ．Ａ．Ｇｌａｓｇｏｗ等人应用模态综合法分析了　一机匣耦合系统　．　双转子一轴承系统的临界转速和振型，并分析了模　目前对双转子临界转速的计算方法主要有两　态综合法的精度和误差¨　．Ｅ．Ｊ．Ｇｕｎｔｅｒ运用传递　种：传递矩阵法和有限元法　ｊ．其中传递矩阵法特　矩阵的方法计算了双转子系统的临界转速、振型和　别适用于像转子这样的链式系统，但是在考虑支承　不平衡响应，分析了支承处加油膜阻尼对系统动力　系统等转子周围结构时分析较困难，且在求解高速　特性的影响¨　．张华彪等考虑机匣的影响建立双　大型转子动力学问题时，有可能出现数值不稳定现　转子一机匣系统动力学模型，利用有限元方法进行　象．随着计算机技术的发展，有限元法被广泛用于　了系统动特性的计算和考虑非线性因素的数值计　转子动力学问题．随着研究的深入，转子的有限元　算　．冯国全等人基于ＭＳＣ．ＮＡＳＴＲＡＮ大型有　模型也不断完善，在模型中逐渐包括转动惯量、陀　限元分析软件平台，开发了反向旋转双转子系统振　螺力矩、轴向载荷、外阻内阻以及剪切变形的影响　动特性分析求解序列，分别采用射线法和Ｃａｍｐｂｅｌｌ　等因素　Ｊ．有限元法在求解转子的临界转速、不平　图法对反向旋转双转子系统的动力学特性进行了　衡响应及稳定性等问题时不仅求解精度高，而且可　研究　．莫延或，李全通等以有限元法为基础，针　２０１３－０６－０２收到第１稿，２０１３－０６—１３收到修改稿　国家自然科学基金重点资助项目（１０６３２０４０）　十通讯作者Ｅ—ｍａｉｌ：ｈｕａｎ—ｈｉｔ＠１６３．ｅｏｍ　第１期　张欢等：航空发动机转子系统的动态响应计算　对双转子航空发动机建立数学计算模型，对其动力　学特性进行了理论计算　。　双转子一机匣系统的临界转速特性包括临界　转速及其相应的振型特性．各阶固有频率和振型是　结构承受动力荷载设计中的重要参数，对其进行研　究和计算具有很重要的意义．实际的旋转结构存在　不平衡量，旋转工作时产生的激励力作用使得转子　系统产生稳态不平衡响应．双转子系统由于存在两　个或多个不平衡量引起的激励力作用，其稳态不平　衡响应除了有同步不平衡响应外，还有非同步不平　衡响应．不同转速下的稳态不平衡也是转子系统重　要的动力学特性之一．　本文针对航空发动机的双转子结构，利用有　限元法建立了双转子一机匣系统耦合动力学模型，　应用ＭＡＴＬＡＢ软件计算了系统的临界转速和振　型；研究了双转子结构的稳态不平衡响应，给出了　双转子一机匣系统在不同转速下的运动规律，为工　程中转子系统的设计提供了。一定的理论支持．　１双转子一机匣系统有限元算法　本文针对实际的航空发动机双转子结构，压气　机和涡轮都分为高、低压两部分，并用两个轴连接，　低压压气机由低压涡轮带动，形成低压转子；高压　压气机由高压涡轮带动，形成高压转子．两个旋转　体，各有各的旋转角速度和不平衡量，中介轴承将　高压转子和低压转子的振动耦合起来，通过对转子　质量的离散化、支承的简化建立双转子航空发动机　转子一支承一机匣耦合系统的动力学模型．如图１　图１双转子一机匣系统的计算模型　Ｆｉｇ．１　Ｔｈｅ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｄｕａｌ—ｒｏｔｏｒ—ｃａｓｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　所示．低压转子由支承　和　连接在机匣上，高压　转子由Ｉｉ｝。。连接在机匣上，机匣由支承　和ｋ　连　接在基础上，高低压转子由支承ｋ　连接，整体构成　双转子一支承一机匣的耦合模型．系统的内外转子　转速比为１：１．２，弹性支承为线性，刚度分别为：ｋ：　＝２×１０５Ｎ／ｍ，ｋ６＝１×１０５Ｎ／ｍ，ｋ】０＝１×１０５Ｎ／ｍ，　１＝１×１０８Ｎ／ｍ，ｋｍ６＝１×１０８Ｎ／ｍ．系统的弹性模　量为２．０６×１０１１Ｎ／ｍ　，低压转子的截面惯性矩为　５．４２４２×１０　ｍ　，高压转子的截面惯性矩为４．　５７４６×１０　ｍ　．系统其余的计算数据见下表１［１４　Ｊ．　表１双转子一机匣系统的计算数据　Ｔａｂｌｅ　１　Ｔｈｅ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｄａｔａ　ｏｆ　ｄｕａｌ——ｒｏｔｏｒ—－ｃａｓｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　＝　［　｛三；）　［　至］｛三；）　ｃ　｛圣）＝［　：兰誊警；］｛　）　ｃ２　动力学与控制学报　２０１４年第１２卷　＝÷｛ｈ　｝　］｛ｈ　｝＋　÷｛　｝　［　］｛　｝＋．　｛　｝　［－，］｛ｕ　｝＋　÷．，　（３）　其中：　＝　］；　ｒ０　０　、　［Ｊ３　【０　ｌ，　Ｊ‘　由Ｌａｇｒａｎｇｅ方程可得：　［　］｛　｝＋　［１，］｛　：　｝＝｛Ｑ　｝　［　］｛　：　｝一　［Ｊ］｛ｎ。　｝＝｛Ｑ：　｝　（４）　这就是刚性圆盘的运动微分方程，其中［　］　为圆盘的质量矩阵或称惯性矩阵，［Ｇ　］＝　Ｊ］为　回转矩阵．｛Ｑ　｝和｛Ｑ　｝为相应的广义力．它包括　该圆盘两端弹性轴所作用的力和力矩．如圆盘（或　结点）处具有支承，则还包括支承的约束力等．对于　如上图１双转子结构在结点２，３，６，７，ｌＯ处有弹性　支承，所以｛Ｑ　｝和｛Ｑ　｝除了两端弹性轴作用的力　和力矩还包括弹性力．　１．２轴段运动微分方程　轴段单元内任意一个截面的位移　，０　，Ｙ，０　是　位置Ｓ和时间ｔ的函数，而且通过位移插值函数可　用该单元结点的位移来表示，结合边界条件建立轴　段单元的位移插值函数，轴段单元内任意一个截面　的位移可用该单元结点的位移来表示，这样单元的　动能　和弯曲弹性势能　也就可表为结点位移　及结点速度的函数．应用Ｌａｇｒａｎｇｅ方程，可得轴段　单元的运动方程：　［　］｛　｝＋　［。，　］｛　｝＋［　］｛ｕ。　｝＝｛Ｑ　｝１　［　］｛　｝一　［Ｉ，　］｛　｝＋［　］｛　｝＝｛Ｑ：　｝Ｊ　（５）　这里［　］是考虑了位移惯性及转动惯性在内　的一致质量矩阵，即［　］＝［　］＋［　］，｛Ｑ　｝　和｛Ｑ　｝分别为对应于｛ｕ　｝和｛ｕ　｝的广义力，包括　轴段的力和力矩．　１．３机匣的运动微分方程　考虑机匣为刚体，由于机匣无轴向旋转，只有　横向的移动和倾斜¨　，如图２所示，故机匣有四个　自由度：｛　｝＝［　，　］　和｛“　｝＝［Ｙ，一０　］　，机　匣的运动方程与圆盘的相同，只是　＝０，即：［　］　｛　｝＝｛Ｑ　｝，［　］｛　：　｝＝｛Ｑ：　｝，其中：｛Ｑ　｝和　｛Ｑ　｝为弹簧对机匣的反作用力．　机匣由弹簧ｋ　和　桶连接在基础上，由ｋ　、ｋ　连接低压转子结点２、６和ｋ　。连接高压转子结点　ｌ０．由于弹簧的刚度各项同性，故设在ｏｙｓ平面上　机匣中点处的横向位移为Ｙ…倾斜角为　㈩由于　机匣的转角较小，所以机匣上距中点为Ｚ处的横向　位移可表示为Ｙ＝Ｙ　＋０　。Ｚ．结点２、６和１０的横向　位移分别为Ｙ　、Ｙ　和Ｙ　。．则机匣在ｏｙｓ平面上受到　的弹簧力为：　Ｑｌ１＝ｋ　ｌ（ｙ１１一　１１ｆ　１）＋ｋ２（Ｙ１１—０ｌ１　Ｚｃ２＋ｙ２）一　ｍ６（Ｙ１１＋０１１ｌｃｍ６）一ｋ１ｏ（Ｙｌ１＋０１１　Ｚ。１０一Ｙ１ｏ）一　ｋ６（Ｙ１ｌ＋０ｌ１ｆ６一Ｙ６）＝（ｋ　１一　，　＋ｋ２一ｋｌ０一　ｋ６）Ｙｌ１＋ｋ２ｙ２＋ｋｌｏｙｌ０＋ｋ６ｙ６一（ｋｍ１ｆ　ｍ１＋　ｍ６ｆ　，　＋　２ｆ　２＋　１ｏｆ。１０＋　６ｆｃ６）０ｌ１　（６）　Ｍ１１＝一ｋ　１ｆ　１（Ｙ１１—０１１　Ｚ　１）一　２ｆｃ２（Ｙ１１—　０ｌｌ　Ｚｃ２＋Ｙ２）＋　，　Ｚ　，　（Ｙｌｌ＋０ｌ１ｌｃ，　）＋　ｌ０ｆ　１ｏ（Ｙｌｌ＋０１１ｆ　ｌ０一Ｙ１０）＋　６Ｚｃ６（Ｙｌｌ＋０１１ｆ　一　Ｙ６）＝一（ｋ　１　Ｚ　１一　，　２　＋　２Ｚｃ２一　１ｏＺ。１０一　６ｆｃ６）Ｙｌｌ一　２ｆ　２Ｙ２一　１０ｆ　１ｏＹ１ｏ—ｋ６ｆｃ６Ｙ６＋　（　ｆ　＋　＋　＋ｋｌｏ　＋　６　）０。　（７）　图２机匣变形图　Ｆｉｇ．２　Ｔｈｅ　ｄｅ￣ｒｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃａｓｉｎｇ　其中ｆ　一结点ｉ到机匣的形心处的距离；Ｚ。　、　ｆ　一分别为机匣两端支承到机匣形心的距离．　对于上述具有ｌ０个结点，前６个结点之间有５　个轴段连接并通过线性弹簧ｋ：、ｋ　连接在基础上　构成低压转子；后４个结点之间有３个轴段连接并　通过线性弹簧ｋ　。连接在基础上构成高压转子，两　转子通过弹性弹簧　连接构成双转子系统．弹簧　刚度各向同性，只考虑ｏｙｓ平面的运动，所以整个　系统具有１６个自由度，则系统的位移向量为　第１期　张欢等：航空发动机转子系统的动态响应计算　｛ｕ｝＝［Ｙ１，０　Ｙ２，０，…，Ｙ５，０　，Ｙ６，０，Ｙ７，０，Ｙ８，　０　Ｙ９，０　，Ｙ１ｏ，０，Ｙ　０１１］　（８）　综合各圆盘，质量点及轴段的运动方程，可得　双转子系统的运动方程：　［　］｛　｝＋　［‘，］｛　｝＋［Ｋ］｛Ｕ｝＝｛Ｑ｝　（９）　２双转子系统的临界转速特性　应用有限元法进行计算，形成总体刚度矩阵、　质量矩阵和极惯性矩阵后，分别求同向和反向旋转　时分别以内转子和外转子为主激励的临界转速　（ｒｐｍ）（设内外转速比为１：１．２）．　表２双转子一机匣系统的临界转速（ｒｐｍ）　Ｔａｂｌｅ　２　Ｔｈｅ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ　ｓｐｅｅｄ　ｏｆ　ｄｕａｌ－－ｒｏｔｏｒ．．ｃａｓｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　ＬＰ　ｌ２０８．２６１ｌ２０８．２６１１２０８．２６ｌ１２０８．２６ｌｌ２ｏ８．２６１　ｐｏｗｅｒ　ｏｕｎｔ。ＨＰ　ｍｔ　１２０９．７５４　１２０９．７５４　１２０９．７５４　１２０９．７５４　１２０９．７５４　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｐｏｗｅｒ　ｄｉ氆　％ｊ＿ｏ．１２４＿０．１２４－ｏ．１２４＿０．１２４＿０．１２４　ＬＰ　ｍｌ　１２０９．９５７　１２０９．９５７　１２０９．９５７　１２０９．９５７　１２０９．９５７　ｏｐｗｅｒ　ｃ０一ｍｔａｔｉｎｇ　ＨＰ　ｍｆ　ｌ２０９．８１４　ｌ２０９．８１４　ｌ２ｏ９．８１４　１２０９．８１４　ｌ２０９．８１４　Ｄｏｗｅｒ　出　％　ｏ．ｏ　ｚ　ｏ．ｏ－　ｏ－ｏ　ｚ㈣ｚ　ｏ．ｏ　ｚ　双转子系统有两个转动体，每个转动体都有自　己的不平衡力和转动频率，这使得双转子系统临界　转速的计算和单转子临界转速的计算是不同的，对　单转子而言，转子的临界转速等于转子作正同步进　动时的自振频率；而双转子转频不同，不平衡力的　频率也不同，导致它们不可能同时作正同步进动．　我们假定只有高压转子有不平衡量，这时不平衡力　将激起高压转子作频率为的正同步进动，同时不平　衡力通过中介支承传递到低压转子，激起低压转子　作公转转速为，自转转速为的非同步进动．同理可　知，低压转子的不平衡力将激起低压转子的正同步　进动，和高压转子的非同步进动．由于高低压转子　不平衡力激发的进动形式不同，导致系统在两种进　动形式下的临界转速也不同．因此计算双转子系统　临界转速时，要分别考虑高／低压转子为主激励源　激起的临界转速．　　；？　＿一’　卜＿　＿＿＿　＿＿一　“＿＿＿＿＿～＿＿＿－＋一　（ａ）Ｔｉｌｅ　ｐｔｏｒｄｅＩ出ｉｖｅｄ　ｂｙＨＰ　Ｊ．‘＝）ｔ　（ｂ）Ｔｈｅ　１￣ｔ０１ｄｅｒ出ｌｖｅ（Ｉ　ｂｙＬＰ　Ｊ。ｔ。ｆ　ｔ　＝十　一　—　＿　—～　～～～～．　（ｃ）Ｔｈｅ　ｌｎｄｏ［ｄｅ！＆ｉｖｅｄ　ｂ　ｙ　ＨＰ　ｒｏｔ￣！Ｙｉ　（ｄ）Ｔｈｅ｜＂ｍｄ　ｏｒｄｅｒ　ｃｈｗｅｄ啦　ＬＰ　ｒｏｔｏｒ，，　ｋ＼　～　‘＿　＿’、、　＼　‰　（ｅ１　３ｒ吣　ｄｎｖ　（１ｂＹ　ＨＰｒｏｔｏｒ；‘Ｄ　’　ｅｆ　ｄａ－ｉｖｅｄ　ＬＰ　ｒＯｔＯｒ　—　＼　／■　、　～～—十　ｒｄ　ｌＹｃｄ　ｘｐ１０ｔ：０１＂￣；　ｎ¨　ｒ（１警ｄ蛆ｖｅｄｂｙ　ＬＰ￣ｏｔｏｒ．，　＿　、ｋ　ｒ．：　．４—一『●ｎ＇．　菇孑ｊ　ｉ“＇ｌ　１１　５％ｌｄｅｒ　ｃｈ＇ｉｖｅｄ　ｂｙ　ＨＰ　ｒｏｔｏｒ，　Ｉ　ｉｆｊ）Ｔｈｅ　５ｔｈｏｒｄｅｒ　ｄｒｉｖｅｄ　ｂｙ　ＬＰ　ｌＯｔＯｌ＇￣　图３双转子一机匣系统的前五阶振型　Ｆｉｇ．３　Ｔｈｅ　ｍｏｄｅｓ　ａｔ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｆｉｖｅ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｓｐｅｅｄ　双转子航空发动机有两种工作模式：双转子同　向旋转和反向旋转，现有的航空发动机采用同向旋　转的占多数，但是双转子反向旋转，高／低压转子的　陀螺力矩相互抵消，能够降低发动机机匣的扭转负　荷，提高飞机的机动性．同时双转子反向旋转可以　减少低压涡轮导向叶片的数量，甚至取消低压涡轮　导向器，有利于简化结构，减轻重量．高／低压转子　动力学与控制学报　２０１４年第１２卷　反向旋转双转子发动机技术是当前航空发动机发　展的重要趋势之一，美国最新型的Ｆ１１９和ＹＦ１２０　发动机均采用了双转子反向旋转技术¨　．　利用有限元法计算双转子系统的临界转速如　下表２和前五阶振型如下图３．　表２中，“相对差值”的定义为：　相对差值＝　×１００％　内　其中，ｓ内表示内转子为主激励的临界转速，　ｓ琳表示外转子为主激励的临界转速．　３双转子．机匣系统的不平衡响应特　在无阻尼情况下，当各圆盘具有偏心的不平衡　质量时，转子的运动微分方程式下：　［Ｍ　］｛　｝＋　［‘，　］｛如｝＋［Ｋ　］｛　｝＝｛Ｐ　（ｔ）｝　［　１］｛如｝－ｏＥＪ　］｛如　｝＋［Ｋ　］｛ｕ：｝＝｛Ｐｒ（ｔ）｝　（１０）　如令：　｛ｚ｝＝｛Ｍ　｝＋ｉ｛ｕ：｝　（１１）　将代人，则式可写成：　［　］　一ｉＯ［Ｊ　］　＋［　］　＝　｛Ｑ｝ｅ　（１２）　其中：　｛Ｑ｝＝［ｍｌｅｌｅ油ｌ，０，ｍ２ｅ２ｅ　，０，…，ｍⅣ　ｅ冲　，０］　Ｒ　Ｒｌ　（ａ）Ｔｈｅ　ｒｅｓｐ￣ｌｓｅ　ｏｆ　ｊｌ１ｌ１ｅｌ　ｄｉｓｋ　（ｂ）Ｔｈｅ　ｒｅｓ１）　１ｓｅ　ｏｆｏｔａｅｒ　ｄｉｓｋ　图４　同向旋转双转子系统的不平衡响应　Ｆｉｇ．４　Ｔｈｅ　ｕｎｂ￣ａｎｃｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｃｕｒＶｅ　ｏｆ　ＣＯ—ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｄｕＭ・－ｏｒｔｏｒ－－ｃａｓｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　２　１　喜ｏ　１　．２　一　０　Ｉ０ｘ（ｍ）ｘ　ｌ　ｘｆｍ）　ｘ　ｌ　图５双转子一机匣系统内、外转子盘的形心轨迹　Ｆｉｇ．５　Ｃｅｎｔｒｏｉｄ　ｔｒ＠ｅｃｔｏ￣ｏｆ　ＣＯ・ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｄｕＭ－ｏｒｔｏｒ—ｃａｓｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　设不平衡响应的特解为：　｛　｝＝｛Ａ　Ｉ　ｅｔｏｔ　（１３）　第１期　张欢等：航空发动机转子系统的动态响应计算　１００７ｒｖｍ￣０ｆ　１２０８　４ｒｐｍ　ｌ　１００７ｒｐｍ。　ｌ２０８・４ｒｐｍ　其中｛Ａ｝为特定的复数列阵．把式代入式可得：　［一　＋．，　＋　］｛Ａ｝＝　｛Ｑ｝　（１４）　这是２Ｎ个非齐次代数方程组，对于给定的　，　ｌ　上式等号左边各项系数均为实数可以解得：　｛Ａ｝＝　［一　＋．，。　＋Ｋ。］一　｛Ｑ｝　（１５）　因为｛Ｑ｝是２Ｎ阶复数列阵，其中有Ⅳ个元素　为零，故ｆＡ｝中每一个元素为Ⅳ个复数之和，即仍　为一复数，故可表为：　托１　（ａ）Ｔｈｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆｉｔａｌｅｒ　ｄｉｓｋ　－＇　Ｒ１　（ｂ）Ｔｈｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ｏｕｔｅｒ　ｄｉｓｋ　图６反向旋转时的不平衡响应　Ｆｉｇ．６　Ｔｈｅ　ｕｎｂａｌａｎｃｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ＣｉｌｌＮｅ　ｏｆ　ＣｏｕＮｔｅｒ—ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｄｕａｌ－・ｒｏｔｏｒ・・ｃａｓｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　图　７　双转于－机匣系统内、外转子盘的彤心轨迹　Ｆｉｇ．７　Ｃｅｎｔｒｏｉｄ　ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ　ｏｆ　ｃｏｕｎｔｅｒ・ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｄｕａｌ—ｒｏｔｏｒ—ｃａｓｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　｛Ａ｝＝［口１ｅ　，口２ｅ　，…，Ｏ，２Ｎｅ　２Ⅳ］　（１６）　其中０　，　（　１，２，…，２Ｎ）都是已确定的值，将代　入式可得：　｛ｚ｝＝［ｔｌ１ｅ　，０２ｅ　，…，６ｇ２Ｎｅ　］　ＣＬＯｔ　（１７）　图４（ａ）和（ｂ）分别为内转子转速ｒｐｍ之间变　化时内转子盘和外转子盘响应幅值的变化曲线．可　以看到，当系统分别处于两个转子的第１阶临界转　速时，内转子与外转子响应都同时达到最大值．图　５给出了第１阶临界转速前后几个不同转速下内、　４２　动力学与控制学报　２０１４年第１２卷　外转子盘的形心轨迹．　图６（ａ）和（ｂ）分别为内转子转速ｒｐｍ时内转　子盘和外转子盘响应幅值的变化曲线．可以看到，　当系统分别处于两个转子的第１阶临界转速时，内　转子与外转子响应都同时达到最大值．图７给出了　第　１阶临界转速前后几个不同转速下内、外转子盘　的形心轨迹．　４　结论　针对上述结果我们可以进行如下分析：　（１）陀螺力矩是同向旋转和反向旋转双转子　一机匣系统的临界转速特性产生差异的主要原因．　（２）弹性支承的应用使得系统的１，２，３，５阶振　型为刚体振型，其余各阶为弯曲振型，激励源和旋　转方向对刚体振型的影响非常小，而对弯曲振型的　影响较大．　（３）内、外转子盘同时存在不平衡量时，内、外　转子盘的响应幅值先在以外转子为主激励的一阶　临界转速附近达到峰值，后又在以内转子为主激励　的一阶临界转速附近同时达到峰值．同向旋转时，　内、外转子盘的形心轨迹呈“向外涌现的圆”状；反　向旋转时，内、外转子盘的形心轨迹呈“花瓣”状．　系统处于以某个转子为主激励的临界转速附近时，　内、外转子盘的形心轨迹近似为圆形，且进动频率　等于主激励转子的自转频率．　参考　文　献　１　王海涛．某型航空发动机整机振动特性分析［硕士学位　论文］．南京：南京航空航天大学，２０１０（Ｗａｎｇ　Ｈ　Ｔ．Ｒｅ—　ｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｗｈｏｌｅ　ｂｏｄｙ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｅｒｏ—ｅｎｇｉｎｅ［Ｍａｓｔｅｒ　ｔｈｅ—　ｓｉｓ］．Ｎａｎｊｉｎｇ：Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｓ—　ｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，２０１０（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ））　２　陈果．双转子航空发动机整机振动建模与分析．振动工程　学报，２０１１，２４（６）：６１９—６３１（Ｃｈｅｎ　Ｇ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ａｎｄ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｆｏｒ　ｄｕａｌ—ｒｏｔｏｒ　ａｅｒｏ—ｅｎ￣ｎｅ．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１　１，２４（６）：６１９—６３１（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ））　３周海伦，陈果．航空发动机双转子一滚动轴承一机匣耦合　系统动力学分析．航空动力学报，２００９，２４（６）：１２８４～　１２９１（Ｚｈｏｕ　Ｈ　Ｌ，Ｃｈｅｎ　Ｇ．Ｄｙｎａｍｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｄｕａｌ　ｒｏｔｏｒ・・ｂａｌｌ　ｂｅａｒｉｎｇ—ｓｔａｔｏｒ　ｃｏｕｐｌｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　ｆｏｒ　ａｅｒｏ—ｅｎ－－　ｇｉｎｅ．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＡｅｒｏｓｐａｃｅ　Ｐｏｗｅｒ，２００９，２４（６）：１２８４～　１２９１（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ））　４陈光．航空发动机结构设计分析．北京：北京航空航天大　学出版社，２００６（Ｃｈｅｎ　Ｇ．Ａｖｉａｔｉｏｎ　ｅｎｇｉｎｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｄｅｓｉｇｎ　ａｎｄ　ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ａｅｒｏｓｐａｃｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，　２００６（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ））　５钟一谔．转子动力学．北京：清华大学出版社，１９８７：１４３　～１９６（Ｚｈｏｎｇ　Ｙ　Ｅ，Ｒｏｔｏｒ　ｄｙｎａｍｉｃｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｔｓｉｎｇｈｕａ　Ｕ—　ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，１９８７：１４３—１９６（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ））　６缪辉，王克明，艾书民等．双转子系统临界转速的有限　元分析．沈阳航空航天大学学报，２０１１，２８（５）：２７—３１　（Ｍｉａｏ　Ｈ，Ｗａｎｇ　Ｋ　Ｍ，Ａｉ　Ｓ　Ｍ，ｅｔ　ａ１．Ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｓｐｅｅｄｓ　ｏｆ　ａ　ｄｕａｌ－ｒｏｔｏｒ　ｓｙｓｔｅｍ．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈｅｎｙ—　ａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，２０１　１，２８　（５）：２７—３１（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ））　７顾家柳．转子动力学．北京：国防工业出版社，１９８５（Ｇｕ　Ｊ　Ｌ．Ｒｏｔｏｒ　ｄｙｎａｍｉｃｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｄｅｆｅｎｃｅ　Ｉｎｄｕｓｔｒｙ　Ｐｒｅｓｓ，１９８５（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ））　８胡绚，罗贵火，高德平．反向旋转双转子系统动力特性分　析．现代机械，２００７，４：４５～４９（Ｈｕ　Ｘ，Ｌｕｏ　Ｇ　Ｈ，Ｇａｏ　Ｄ　Ｐ．　Ｄｙｎａｍｉｃ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｃｏｕｎｔｅｒ・－ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｄｕａｌ—－ｒｏｔｏｒ　ｓｙｓｔｅｍ．Ｍｏｄｅｒｎ　Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ，２００７，４：４５—４９（ｉｎ　Ｃｈｉ－　ｎｅｓｅ））　９胡绚，罗贵火，高德平．反向旋转双转子稳态响应计算分　析与试验．航空动力学报，２００７，２２（７）：１０４４～１０４９（Ｈｕ　Ｘ，Ｌｕｏ　Ｇ　Ｈ，Ｇａｏ　Ｄ　Ｐ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ　ｏｆ　ｃｏｕｎｔｅｒ—ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｄｕａｌ－ｒｏｔｏｒ’Ｓ　ｓｔｅａｄｙ—ｓｔａｔｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ．Ｊｏｕｒ—　ｎａｌ　ｆｏ　Ａｅｒｏｓｐａｃｅ　Ｐｏｗｅｒ，２００７，２２（７）：１４０４～１０４９（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ））　１０罗贵火．反向旋转双转子振动特性分析与实验研究　［博士学位论文］．南京：南京航天航空大学，１９９９（Ｌｕｏ　Ｇ　Ｈ．Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｄｙｎａｍｉｃａｌ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｃｏｕｎｔｅｒ—　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｄｕａｌ—ｒｏｔｏｒ　ｓｙｓｔｅｍ［ＰｈＤ　Ｔｈｅｓｉｓ］．Ｎａｎｊｉｎｇ：Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，１９９９（ｉｎ　Ｃｈｉ—　ｎｅｓｅ））　１１　申苗，唐驾时，李克安等．航空发动机双转子系统的模　态分析．兵工自动化，２０１０，２９（２）：３４—３６（Ｓｈｅｎ　Ｍ，　Ｔａｎｇ　Ｊ　Ｓ，Ｌｉ　Ｋ　Ａ，ｅｔ　ａ１．Ｍｏｄａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　ｄｕａｌ－ｒｏｔｏｒ　ｓｙｓ－　ｔｅｍ　ｏｆ　ａｅｒｏ—ｅｎｇｉｎｅ．Ｏｒｄｎａｎｃｅ　Ｉｎｄｕｓｔｒｙ　Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，２０１０，　２９（２）：３４～３６（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ））　１２　Ｇｌａｓｇｏｗ　Ｄ　Ａ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｒｏｔｏｒ—ｂｅａｒｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｕ—　ｓｉｎｇ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ｍｏｄｅ　ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＡＳＭＥ，　１９８０，１０２：３５２—３５９　１３　Ｇｕｎｔｅｒ　Ｅ　Ｊ．Ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｑｕｅｅｚｅ－ｉｆｌｍ　ｄａｍｐｅｒｓ　ｆｏｒ　ａｉｒｃｒａｆｔ　ｅｎｇｉｎｅｓ．Ｊｏｕｒａｎｌ　ｏｆ　Ｌｕｂｒｉｃａｔｉｏｎ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，９９　（１）：５７—６４　第１期　张欢等：航空发动机转子系统的动态响应计算　４３　１４张华彪．航空发动机转子系统碰摩的非线性动力学研　究［博士学位论文］．哈尔滨：哈尔滨工业大学．２０１２　（Ｚｈａｎｇ　Ｈ　Ｂ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃａｌ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｉｍｐａｃｔ－ｒｕｂ　ａｃｔｉｏｎｓ　ｏｆＮａｎｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ＆Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ．　２０１２，２９（１）：３３～３９　１７莫延或，李全通等．某型航空发动机双转子系统动力　学特性计算．机械设计与制造，２０１１（７）：１１７—１１９（Ｍｏ　Ｙ　Ｙ，Ｌｉ　Ｑ　Ｔ，ｅｔ　ａ１．Ｄｙｎａｍｉｃａｌ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｅｎｇｉｎｅ　Ｓ　ｄｏｕｂｌｅ　ｒｏｔｏｒｓ　ｓｙｓｔｅｍ．Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ　Ｄｅｓｉｇｎ　ａｎｄ　ｏｆ　ｒｏｔｏｒ［ＰｈＤ　Ｔｈｅｓｉｓ］．Ｈａｒｂｉｎ：Ｈａｒｂｉｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏ—　ｇＹ．２０１２（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ））　１５陈予恕，张华彪等．航空发动机整机动力学研究进展与　展望．航空学报，２０１１，３２（１）：１～２２（Ｃｈｅｎ　Ｙ　Ｓ，Ｚｈａｎｇ　Ｈ　Ｂ．ｅｔ　ａ１．Ｒｅｖｉｅｗ　ａｎｄ　ｐｒｏｓｐｅｃｔ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｆ　ｄｙｎａｍ－　Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ，２０１１（７）：１１７—１１９（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ））　１８温登哲，陈予恕．航空发动机机匣动力学研究进展与展　ｉｃｓ　ｏｆ　ｗｈｏｌｅ　ａｅｒｏ—ｅｎｇｉｎｅ　ｓｙｓｔｅｍ．Ａｃｔａ　Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａ　ｅｔ　Ａｓｔｒｏ—　望．动力学与控制学报，２０１３，１１（１）：１２～１９（Ｗｅｎ　Ｄ　ｚ，　ｎａｕｔｉｃａ　Ｓｉｎｉｃａ，２０１１，３２（１）：１—２２（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ））　Ｃｈｅｎ　Ｙ　Ｓ．Ｒｅｖｉｅｗ　ａｎｄ　ｐｒｏｓｐｅｃｔ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｆ　ａｅｒｏ．ｅｎ．　１６　Ｆｅｎｇ　Ｇ　Ｑ，ｚｈｏｕ　Ｂ　Ｚ，ｅｔ　ａ１．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｉｎｖｅｓ—　ｇｉｎｅ　ｃａｓｉｎｇ　ｄｙｎａｍｉｃｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｄｙｎａｍｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｎｔｒｏｌ，　ｔｉｇａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｏｕｎｔｅｒ—ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｄｕａｌ—ｒｏｔｏｒ　ｉｎ　ａｅｒｏ－ｅｎｇｉｎｅ．Ｔｒａｎｓ—　２０１３，１１（１）：１２～１９（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ））　ＤＹＮＡＭＩＣ　ＲＥＳＰｏＮＳＥ　ＣＡＬＣＵＬＡＴＩｏＮ　ｏＦ　Ａ　ＡＥＲｏ．ＥＮＧＩＮＥ’Ｓ　ＤＵＡＬ．ＲｏＴｏＲ　ＳＹＳＴＥＭ　Ｚｈａｎｇ　Ｈｕａｎ十Ｃｈｅｎ　Ｙｕｓｈｕ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＡｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｈａｒｂｉｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ　１５０００１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｅ　ｃｏｕｐｌｉｎｇ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｄｕａｌ－ｒｏｔｏｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗａｓ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄ　ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｓｐｅｅｄ　ｏｆ　ｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｍｏｄｅ　ｓｈａｐｅ　ｗｅｒｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｏｆｔｗａｒｅ　ＭＡＴ．　ＬＡＢ．Ｉｎ　ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｕｎｂａｌａｎｃｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ　ｏｆ　ｄｕａｌ－ｒｏｔｏｒ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗｅｒｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓ　ｉｎ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｓｐｅｅｄｓ　ｏｆ　ｄｕａｌ－ｒｏｔｏｒ－ｃａｓｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｅｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ａ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ｂａｓｉｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｅ．　ｓｉｇｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｕａｌ－ｒｏｔｏｒｓ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｎ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　ｄｕａｌ。ｒｏｔｏｒ　ｃａｓｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ，ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ，ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｓｐｅｅｄ，ｕｎｂａｌａｎｃｅｓ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　Ｒｅｃｅｉｖｅｄ　２　Ｊｕｎｅ　２０１３，ｒｅｖｉｓｅｄ　１３　Ｊｕｎｅ　２０１３．　Ｔｈｅ　ｐｒｏｊｅｃｔ　ｓｕｐｐｏｓｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ（１０６３２０４０）　十Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ａｕｔｈｏｒ　Ｅ・ｍａｉｌ：ｈｕａｎ—ｈｉｔ＠１６３．ｃｏｒｎ