基本不等式—最值—对勾函数-耐克函数(学案 附答案)

基本不等式——形式一：ab2ab(a>0,b>0)

2ab____a（b ）

——形式二：

abab___2(a>0, b>0)2abab2 (a__0,b__0)

ab ——形式三：ab（ ） 2

通常我们把上式写作：abab(a>0,b>0) 2问：由不等式的性质证明基本不等ab用分析法证明：要证

ab？ 2abab （1） 2只要证 ab （2）

要证（2），只要证ab____0 （3） 要证（3），只 要证(__________)20 （4）

显然（4）是成立的. 当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.

探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等

1思考：（1）已知y=x+ ( x>0 ) ，求y的范围.

x1（2）已知y=x+ ( x≠0 ) ，求y的范围.

x

例题拓展

【例1 】已知x>0，则23x4的最小值是________。 x

【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ）

A．xy2xy B．x C．x2y22xy D．

12 xxy1 2xyxy

【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）

2abx222 B. A. a,b均为负数，则2 2b2ax1C. D．aR,(3a)(1)0

x3a222,xR x C专题：利用基本不等式的求最值 基础回顾

1、对于____ _ a,b,有a2b2____2ab,当且仅当____ _ 时，等号成立.

2、基本不等式：对于____ _ a,b,则时，不等式取等号.

ab_____ab，当且仅当___ _2注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _

题型1 当积ab为定值时,求和ab最小值 【例1 】（1）已知x0，且y = x＋

81，x=_________时，y取最小值 x（2）已知x>0，则23x4的最小值是________。 x3x2（3）y2的最小值是 21x

（4）a+b=2，则3a+3b的最小值是______________

（5）a+2b=4，则3a+9b的最小值是______________

【 例2】设x，y为正数， 求(xy)(

1x4)的最小值 y

【例4 】若x0,y0,且

211，则x2y的最小值为________ xy

练兵场：

1、函数y=1x3+ x (x>3) 的最小值是_________。 2、y=sinx22sinx(03、已知x0，则23x4x的最大值是________。

4、下列函数中最小值是4的是（ ） A．yx4x B．ysinx4sinx C．D．yx21x213,(x0)

5、已知a,b为正实数，且a2b1,则11ab的最小值为_______

6、已知x0,y0且满足2x8y1,求xy的最小值。

题型2 当和ab为定值时, 求积ab最大值

【例4】已知x,y都是正数

（1）若积xy是定值p，求xy的最小值；

y21x21x （2）若和xy是定值s，求xy的最大值。

拓展归纳：最值定理 设x,y0,由xy2xy （1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有___________ （2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有___________

【例5】一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

【例6】已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值。

，则xy的最大值是 。 变式1、已知x,yR，且x4y1



变式2、设x＞0，y＞0且3x+2y=12，则xy的最大值是___________。

【小秘书】分离系数法是处理参数取值范围的常用方法。 试一试：

1、当x＞2时，使不等式x

2、已知x0,y0,且围是_____ 1 a恒成立的实数a的取值范围是 。

x2211, 若x2ym22m 恒成立, 则实数m的取值范xy C专题：对勾函数——基本不等式的应用

实例思考分析

思考1：反比例函数yk(k0)，x的范围，图象特征，y的范围？ x

思考2：已知y=x+

思考3：已知y=2x+

4 ( x≠0 ) ，y的范围，图象特征？ x4 ( x≠0 ) ，y的范围，图象特征？ x 归纳总结

拓展应用

备注：“值域”，即y的范围，用区间或集合形式表示

【例1】（1）函数yx

（2）函数yx

（3）函数yx

（4）函数yx

4 的值域为_________________ （x1）x43,x0,的值域为_________________ x24,x,1的值域为_________________ x4,x13的值域为_________________ ，x

（5）函数yx

4,x0或x4的值域为_________________ xx24x33【例2】（1）函数y,x0,的值域为_________________

x2

（2）函数yx

（3）函数yx

43,x0,的值域为_________________ x1243,x-10，的值域为_________________ 1x

2【例3】当x(1,2)，不等式xmx40恒成立，求实数m的范围．

1练习：已知不等式x2ax20对于x[,）恒成立，求实数a的取值范围.

2

补充练习（基本不等式）

每一天都是全新的一天，每一天都是进步的一天。

从今天起步，在明天收获！

1.在下列函数中，最小值为2的是( ) 1

A．y＝x＋

xB．y＝3＋3

1

C．y＝lg x＋(0＜x＜1)

lg xπ1

0＜x＜D．y＝sin x＋ 2sin x

ab2．若a＋b＝2，则3＋3的最小值是( )

4

A．18 B．6 C．23 D．23

x－x

11

3．已知x<，则函数y＝2x＋的最大值是( )

22x－1

A．2 B．1 C．－1 D．－2

111

4. 若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值

2ab为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

4122

5．已知圆x＋y＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)对称，则＋的

ab最小值是( )

A．4 B．6 C．8 D．9

＋

6．已知x，y∈R，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________．

7．当a>0，a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点A，若点A在直线mxmn－y＋n＝0上，则4＋2的最小值是________．

8.如下图，某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个10克的砝码，一个患者想要买20克的中药，售货员先将砝码放在左盘上，放置药品于右盘上，待平衡后交给患者；然后又将砝码放在右盘上，放置药品于左盘上，待平衡后再交给患者．设患者一次实际

购买的药量为m(克)，则m________20克．(请选择填“>”或“<”或“＝”)

9．(2008年高考广东卷)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用

) 建筑总面积

参考答案

1．B 2.解析：选B.3＋3≥23·3＝23＝6.

11

3.解析：选C.y＝2x＋＝－[(1－2x)＋]＋1，

2x－11－2x111由x<可得1－2x>0，根据基本不等式可得(1－2x)＋≥2，当且仅当1－2x＝21－2x1－2x即x＝0时取等号，

则ymax＝－1.正确答案为C.

1111ba4. 解析：选D.因为a＋b＝1，所以α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝1＋1＋＋1＋≥5，

ababa＋bababab故选D.

5.解析：选D.由圆的对称性可得，直线2ax－by＋2＝0必过圆心(－1,2)， 所以a＋b＝1.

414(a＋b)a＋b4ba4ba所以＋＝＋＝＋＋5≥2·＋5＝9，

ababa4ba当且仅当＝，即a＝2b时取等号，故选D.

ab6.1 16

mnabb7.解析：A(2,1)，故2m＋n＝1. ∴4＋2≥24·2＝22

11mn当且仅当4＝2，即2m＝n，即n＝，m＝时取等号．

24∴4＋2的最小值为22. 答案：22

8.解析：设两次售货员分别在盘中放置m1、m2克药品， 10a＝m1b，

则10b＝m2a，m＝m1＋m2，

mnmn2m＋n＝22.

前两个式子相乘，得100ab＝m1m2·ab， 得m1m2＝100，因为m1≠m2，

所以m＝m1＋m2>2m1m2＝20，所以填“>”． 答案：>

2160×1010800

9.解：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝. 2000xx10800225

∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋＝560＋48(x＋)．

4

xx225

当x＋取最小值时，y有最小值．

x225

∵x>0， ∴x＋≥2xx·225

＝30，

x225

当且仅当x＝， 即x＝15时，上式等号成立．

x所以当x＝15时，y有最小值2000元．

因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．