圆的切线方程公式证明

直线CP的斜率:k1 = (y0 - b) / (x0 - a)

因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b)

根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0)

y - y0 = [- (x0 - a) / (y0 - b)] (x - x0)

整理得:(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (注意:这式也是很好用的切线方程公式) 展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x0² - y0² = 0 ~ (1)

因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程: (x0 - a)² + (y0 - b)² = r²

化简: x0² - 2ax0 + a² + y1² - 2by0 + b² = r²

移项: - x0² - y0² = -2ax0 - 2by0 + a² + b² - r² ~ (2)

由(2)代入(1), 得: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a² + b² - r²) = 0 化简, (x0x - ax - ax0 + a²) + (y0y - yb - by0 + b²) = r² 整理, (x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r²

类似地, 对於圆的一般方程:x² + y² + Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程. 2. 已知:圆的方程为:x² + y² + Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P(x0, y0) 解:圆心C( -D/2, -E/2 )

直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2)

因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2)

根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0)

y - y0 = [- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)] (x - x0)

整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x0² - y0² = 0 ~ (3)

因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程: x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F = 0

移项: - x0² - y0² = Dx0 + Ey0 + F ~ (4)

由(4)代入(3), 得: x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 + Dx0 + Ey0 + F = 0 整理, x0x + y0y + D(x + x0)/2 + E(y + y0)/2 + F = 0

3a. 已知:圆的方程为:(x - a)² + (y - b)² = r² , 圆外一点P(x0, y0) 解: 圆心C(a, b), 设切点为M

则切线长PM = √ (CP² - MC²) (根据勾股定理)

= √ [(x0 - a)² + (y0 - b)² - r²] (CP:两点间距离公式求得, MC:半径长)

类似地, 对於圆的一般方程:x² + y² + Dx + Ey + F = 0, 过圆外的点的切线长.... 3b. 已知:圆的方程为:x² + y² + Dx + Ey + F = 0 , 圆外一点P(x0, y0) 解: 圆心C( -D/2, -E/2 ), 设切点为M

则切线长PM = √ (CP² - MC²) (根据勾股定理)

= √ [ (x0 + D/2)² + (y0 + E/2)² - ((√(D²+E²-4F))/2)² ]

(半径:r=(√(D²+E²-4F)) / 2)

= √ (x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F)