2018-2019学年广东省佛山市南海一中高一下学期第二次段考数学试题(解析版)

考数学试题

一、单选题

rrrr 1．若向量a(x4,x3)，向量b(3x9,3)，且向量a向量b，则x值为（ ）

A．3 【答案】C

B．5

C．3或5

D．-3或-5

rrrra(x4,x3)【解析】已知，b(3x9,3)，且ab，根据两个向量垂直，数量积为0，结合向量的数量积公式，我们易构造关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】

rrrr因为a(x4,x3)，b(3x9,3)，且ab， 所以(x4)(3x9)(x3)(3)0， 即x28x150， 解得：x3或x5. 故选:C. 【点睛】

本题考查的知识点是数量积判断两个向量的垂直关系，再结合两个向量垂直，数量积为0，构造关于x的方程，是解答本题的关键． 2．若三个实数a，b，c成等比数列，其中A．2 【答案】C

【解析】由实数a，b，c成等比数列，得【详解】

由实数a，b，c成等比数列，得所以故选C. 【点睛】

本题主要考查了等比数列的基本性质，属于基础题.

3．已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了

.

.

,从而得解.

B．－2

，C．±2

，则b＝（ ）

D．4

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解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )

A．100，8 【答案】A

B．80，20 C．100，20 D．80，8

【解析】由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是n100，其中对四居室满意的人数为2001004008，应选答案A．

004．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理2017年12个月期间甲、乙两地月接待游客量（单位：万人）的数据的茎叶图如下图，则甲、乙两地游客数量方差的大小（ ）

A．甲比乙小 【答案】A

B．乙比甲小 C．甲、乙相等 D．无法确定

【解析】分析：通过数据分布的集中程度与分散情况，可直接判断方差的大小。 详解：由茎叶图可知，甲地游客数量从中间向两边逐月递减，乙地各月游客数量分散 由方差的意义可知，甲地方差较小，乙地方差较大 所以选A

点睛：本题考查了依据茎叶图直接判断方差大小的方法，关键是看清数据的离散情况，属于基础题。 5．若x>0，y>0，且

281，则xy有( ) xy第 2 页 共 16 页

A．最大值64 【答案】D

B．最小值

1 64C．最小值

1 2D．最小值64

【解析】解：因为x0,y0，且

2828281112?8xyxyxyxy， xy64因此选D

6．不等式ax2xc0的解集为x|2x1，函数yax2xc的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用根与系数的关系x1x2【详解】

由题知，2和1是ax2xc0的两根， 由根与系数的关系知21求得：a1，c2，

所以yxx2，开口向下，

令y0，即x2x20，解得两个根分别为-2,1. 故选:A． 【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法和二次函数的图象，还结合根与系数的关系求解．

2cb，x1gx2结合二次函数的图象得结果． aac1，21，

aa第 3 页 共 16 页

7．等差数列an的前n项和为Sn，若a5a618，则S10的值为（ ） A．35 【答案】D

【解析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出． 【详解】

因为an为等差数列，且a5a618， 则S1010(a1a10)5(a5a6)51890． 2B．54 C．72 D．90

故选:D． 【点睛】

本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

rrrrrrrr8．若向量a和向量b满足向量|a|2|b|2，|a4b|27，则向量a在向量b方

向上的投影的为（ ） A．2 【答案】D

【解析】把已知向量等式两边平方，代入数量积公式可求夹角． 【详解】

B．3 C．1

D．-1

rr设向量a,b的夹角为，

rrrr因为|a|2,|b|1,|a4b|27，

rrrrrrrrrrrrb16b2|a|28|a||b|cos16|b|228． 所以|a4b|2(a4b)2a28ag则4821cos16128，解得cos1． 2vvv1向量a在向量b方向上的投影为：acos21.

2故选:D. 【点睛】

本题考查平面向量的数量积运算，向量的夹角以及向量投影的运算.

9．在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(2ac)cosBbcosC0，角B的值为（ ） A．

 6B．

 3C．

2 3D．

5 6第 4 页 共 16 页

【答案】C

【解析】由正弦定理、诱导公式、两角和差的正弦公式可将(2ac)cosBbcosC0化2sinAcosBsinA0，可得cosB【详解】

由题意得，在ABC中，(2ac)cosBbcosC0， 即2acosBccosBbcosC0，

由正弦定理边化角化简得：2sinAcosBsinCcosBsinBcosC0， 可得2sinAcosBsin(BC)0，

即2sinAcosBsinA0，又因为sinA0 则cosB故选:C. 【点睛】

本题主要考查正弦定理中的边化角公式和诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，属于常考题.

AC与BD交于点O，E是线段OD上的一点，10．在平行四边形ABCD中，且DE1，由此求得B的值． 212. ，所以B231OD，4uuurruuurruuurAE的延长线交CD于F，若ACa，BDb，则AF（ ）

3r4rA．ab

77【答案】C

3r4rB．ab

774r3rC．ab

774r3rD．ab

77【解析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交

AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果．

【详解】

由题可知，DF:BADE:BE1:7，作FG平行BD交AC于点G， FG:DO6:7，CG:CO6:7，

uuur6uuur6r3r所以GFBDbb，

14147uuuruuuruuur1r1r4rAGAOOGaaa，

2147uuuruuuruuur4r3r则AFAGGFab.

77故选:C．

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【点睛】

本题考查向量的加减运算和相似三角性质的应用，同时考查数形结合的思想． 11．知x与y之间的一组数据：则y与x的线性回归方程ybxa必过点（ ） x y

A．(2,6) 【答案】B

【解析】求出样本中心即可得到回归方程为ybxa必过点． 【详解】 由题意可得：xB．(2.5,6)

C．(3,8)

D．(3.5,8)

1 3 2 5 3 7 4 9 123435796， 2.5，y44样本中心坐标(2.5,6)，

所以y与x的线性回归方程为ybxa必过点：(2.5,6)． 故选:B． 【点睛】

本题考查线性回归方程的简单应用和样本中心点x,y. 12．若一元二次不等式2kxkxA．(3,0) 【答案】A

【解析】由一元二次不等式，可知k0，所以【详解】

因为一元二次不等式2kxkx223 0对一切实数x都成立,则k的取值范围为（ ）

8C．(3,0]

D．[3,0)

B．[3,0]

k0，得到k的范围.

030，对一切实数x都成立， 8第 6 页 共 16 页

k0k0k0 所以，即2，解得33k00k42k80所以k的取值范围为3k0 故选A项. 【点睛】

本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.

二、填空题

rrrr13．已知两个单位向量a，b夹角为60，则|a2b|=________．

【答案】7

rr2rr【解析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出|a2b|的值，从而得到|a2b| 的

值． 【详解】

Q两个单位向量a，b的夹角是60，

r2r2r2rrr|a2b|a4agb4b1411cos6047，

rrrr故|a2b|7，

故答案为:7． 【点睛】

本题主要考查两个向量的数量积公式，以及单位向量的定义，属于基础题． 14．等比数列{an}中，a4,a8是关于x的方程x210x40两个实根，则

a2a6a10=________.

【答案】8

【解析】由a4a8a2a10a6,根据a4,a8是关于x的方程x210x40的两个实根，利用韦达定理可得结果. 【详解】

因为等比数列an中， a4a8a2a10a6,

22a4,a8是关于x的方程x210x40的两个实根，

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则a4a84，a4a810，

2则a40,a80,则有a6a4q0,

因为a64，所以a62，

2a2a6a10a68，故答案为8.

【点睛】

本题主要考查等比数列的性质，涉及一元二次方程中根与系数的关系，属于基础题. 等比数列最主要的性质是下标性质：解答等比数列问题要注意应用等比数列的性质：若

3pqmn2r则apaqamanar2.

15．袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于______． 【答案】

3 5【解析】分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率.

详解：设3个黑球用A，B，C表示；2个白球用甲，乙表示，

摸出2个球的所有情况：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，

所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为P故答案为

63. 1053. 5点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用.

16．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据得cos ．

【答案】31

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【解析】∵DBC45,DAC15,∴BDA300,在ABD中,由正弦定理有

ABBD,代入,计算得出BD25(62),在BCD中,由正弦定理

sinADBsinBADCDBD,代入,计算得出sinBCD31,所以有

sinDBCsinBCDcossin(BCD)sinBCD31.

【详解】

∵DBC45,DAC15,∴BDA300,在ABD中,由正弦定理有

ABBD,代入,计算得出BD25(62),在BCD中,由正弦定理

sinADBsinBADCDBD,代入,计算得出sinBCD31,所以有

sinDBCsinBCDcossin(BCD)sinBCD31.

【考点】解三角形的实际应用.

三、解答题

17．市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位：t），频数分布如下： 分[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)[2.5,3)[3,3.5)[3.5,4)[4,4.5] 组 频数

4 8 15 22 25 14 6 4 2

（1）根据所给数据将频率分布直方图补充完整（不必说明理由）； （2）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数；

（3）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代表）.

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【答案】（1）直方图见解析；（2）2.02；（3）2.02.

【解析】分析：（1）根据表格中数据，求出所缺区间的纵坐标，即可将频率分布直方图补充完整；（2）根据直方图可判断中位数应在2,2.5组内，设中位数为x，则

0.49x20.500.5，解得x2.02；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵

坐标相乘后求和，即可得到本市居民月均用水量的平均数. 详解：（1）频率分布直方图如图所示:

（2）∵0.04＋0.08＋0.15＋0.22＝0.49＜0.5， 0.04＋0.08＋0.15＋0.22＋0.25＝0.74＞0.5， ∴中位数应在[2，2.5)组内，设中位数为x， 0.50＝0.5， 则0.49＋(x－2)×解得x＝2.02．

故本市居民月均用水量的中位数的估计值为2.02．

0.04＋0.75×0.08＋1.25×0.15＋1.75×0.22＋2.25×0.25 （3）0.25×

0.14＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02 ＋2.75×

＝2.02． 故本市居民月均用水量的平均数的估计值为2.02．

点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.

18．已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4．（1）求an的通项公式；

（2）设cnanbn，求数列cn的前n项和．

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3n1 【答案】（1）an2n1；（2）n22【解析】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，运用通项公式，可得q3,d2，进而得到所求通项公式；

n1（2）由（1）求得cnanbn(2n1)3，运用等差数列和等比数列的求和公式，

即可得到数列cn和． 【详解】

（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q， 因为b23,b39，可得qb33，所以bnb2qn233n23n1， b2又由a1b11,a14b427，所以da14a12，

141所以数列an的通项公式为ana1(n1)d12(n1)2n1．

n1（2）由题意知cnanbn(2n1)3，

则数列cn的前n项和为

n(12n1)13n3n12． [13L(2n1)](139L3)n2132n1【点睛】

本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

B，C的对边分别是a，b，c，19．已知ABC中，角A，且2acosAccosBbcosC．（1）求cosA的值；

（2）若b2c24，求ABC的面积． 【答案】（1）

13. ；（2）24【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinAcosAsinA，又0A，即可求得cosA的值．

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（2）由同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由于顶点在单位圆上的ABC中，利用正弦定理得式即可得解． 【详解】

（1）因为2acosAccosBbcosC，

由正弦定理得：2sinAcosAsinCcosBsinBcosC 2sinAcosAsin(BC)sinA，

a2，可求a，利用余弦定理可得bc的值，利用三角形面积公sinA又因为0AsinA0， 所以2cosA1cosA1． 2（2）由cosA13， sinA22由于顶点在单位圆上的ABC中，2R2， 利用正弦定理可得：

a2a2sinA3． sinA由余弦定理可得：a2b2c22bccosAbcb2c2a2431. 1133所以SABCbcsinAg．

2224【点睛】

本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，考查了转化思想和数形结合思想的应用．

20．已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00-99编号，并且按编号顺序平均分成10组，现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样．

（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；

（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩的茎叶图如图所示，这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154的概率．

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【答案】（1）3；02，12，22，32，42，52，62，72，82，92；（2）

7. 10【解析】（1）根据系统抽样的定义和方法，各组抽出的样本的编号构成以10为公差的等差数列，从而得出结论．

（2）用列举法求得从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有10种不同的取法，而成绩之和不小于154分的有7种，从而求得抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率． 【详解】

（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3，

因为210(31)22，所以第1组抽出的号码应该为02，

抽出的10名学生的号码依次分别为：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92． （2）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：

(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)， (78,79)，(78,81)，(79,81)．

其中成绩之和不小于154分的有如下7种：(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，

(78,79)，(78,81)，(79,81)，

故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：p【点睛】

本题主要考查茎叶图和系统抽样的定义及求法，古典概率及其计算公式．

21．已知某手机品牌公司的年固定成本为40万元，每生产1万部手机还需要另投入16万元，设该公句一年内生产x万部并全部销售完，每1万部手机的销售收入为Rx万

7． 104006x,0x40元，且R(x)840040000．

,x40x2x（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；

（2）当年产量多少万部时，公司在该款手机生产获得最大利润，并求出最大利润．

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6x2384x40,0x„40 ；【答案】（1）y40000（2）50；6760.

16x8360,x40x【解析】（1）根据利润公式分段求解函数得出解析式；

（2）利用分段函数，结合二次函数的最值以及基本不等式求解x40时的最大利润，从而得出结论． 【详解】

（1）设年利润为y万元，

当0x„40时，yx(4006x)16x406x2384x40， 当x40时，yx(84004000040000)16x4016x8360， xx2x6x2384x40,0x„40所以y40000．

16x8360,x40x（2）①当0x„40时，y6(x32)26104， 所以当x32时，y取得最大值6104， ②当x40时，y当且仅当

400004000016x8360„2g16x83606760． xx4000016x即x50时取等号， x所以当x50时，y取得最大值6760，

综合①②知，

当年产量为50万部时所获利润最大，最大利润为6760万元． 【点睛】

本题考查了分段函数模型的应用，函数最值的计算，二次函数的性质以及基本不等式的应用，属于中档题．

22．为了实现绿色发展，避免浪费能源，某市政府计划对居民用电实行阶梯收费的方法．为此，相关部门随机调查了20户居民六月分的月用电量（单位：kwh）和家庭月收入（单位：方元）月用电量数据如下18，63，72，82，93，98，106，10，18，130，134，139，147，163，180，194，212，237，260，324家庭月收入数据如下0.21，0.24，0.35，0．40，0.52，0.60，0.58，0.65，0．65，0.63，0.68，0.80，0.83，0.93，0.97，0.96，1.1，1.2，1.5，1.8

（1）根据国家发改委的指示精神，该市实行3阶阶梯电价，使7%的用户在第一档，

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电价为0.56元/kwh，20%的用户在第二档，电价为0.61元/kwh，5%的用户在第三档，电价为0.86元/kwh，试求出居民用电费用Q与用电量x间的函数关系式；

（2）以家庭月收入t为横坐标，电量x为纵坐标作出散点图（如图）求出x关于t的回归直线方程（系数四舍五入保留整数）；

（3）小明家庭月收入7000元，按上述关系，估计小明家月支出电费多少元？

0x1800.56x,ˆ181t3；【答案】1）Qx0.61x9,180x260；（2）x（3）72.8.

0.86x74,x260【解析】（1）因为2075%=15,2095%=19， 所以从用电量数据中得到第一档的临界值为第15个样本，即180，第二档的临界值为第19个样本，即260．由此，可求居民用电费用Q与用电量x间的函数关系式；

（2）计算可得x144，t0.78，代入公式可求x关于t的回归直线方程 （3）把t0.7代入回归直线方程求出x，再把x代入（1）函数解析式即可. 【详解】

（1）因为2075%15,2095%19， 所以从用电量数据中得到第一档的临界值为第15个样本，即180， 第二档的临界值为第19个样本，即260．因此，

0x180，0.56x, 所以，Qx0.61x9,180x260，0.86x74,x260.1202880x（2）由于xi2144， 20i1第 15 页 共 16 页

12015,45tt0.78， i20i120xtnxt2803.2201440.78i1iiˆb180.66, n22215.2520.78i1tintnˆ144180.660.783.085， 所以aˆxbtˆ181t3． 从而回归直线方程为x（3）当t0.7时，x1810.73129.7130，

Qx1300.5672.8，所以，小明家月支出电费72.8元．

【点睛】

本题考查分段函数解析式的求法以及散点图和回归直线方程及其应用，需要学生具备一定的逻辑分析能力.

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