一、单选题（共11题；共22分）
1.（2020·新课标Ⅲ·理）设双曲线C：
−𝑏2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心𝑎2𝑥2
𝑦2
率为 √5 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2.（2020·新课标Ⅲ·理）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）
A. （ 4 ，0） B. （ 2 ，0） C. （1，0） D. （2，0） 3.（2020·新课标Ⅱ·理）设O为坐标原点，直线 𝑥=𝑎 与双曲线 𝐶:
𝑥2𝑎
2−
11
𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0) 的两条渐近
线分别交于 𝐷,𝐸 两点，若 △𝑂𝐷𝐸 的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4.（2020·天津）设双曲线 𝐶 的方程为
𝑥2𝑎2过抛物线 𝑦2=4𝑥 的焦点和点 (0,𝑏) 的−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0) ，
𝑦2
直线为l．若C的一条渐近线与 𝑙 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ） A.
𝑥24
−
𝑦24
=1 B. 𝑥2−
𝑦24
=1 C.
𝑥24
−𝑦2=1 D. 𝑥2−𝑦2=1
𝑥2𝑎
2−
5.（2019·天津）已知抛物线 的焦点为F，准线为l.若与双曲线
𝑦2𝑏2
=1(𝑎>0,𝑏>0) 的两条
渐近线分别交于点A和点B ， 且 |𝐴𝐵|=4|𝑂𝐹| （O为原点），则双曲线的离心率为（ ） A. √2 B. √3 C. 2 D. √5
6.（2020·北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 𝑃𝑄⊥𝑙 于Q，则线段 𝐹𝑄 的垂直平分线（ ）．
A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线 𝑂𝑃 D. 垂直于直线 𝑂𝑃
7.（2019·天津）已知抛物线 𝑦=4𝑥 的焦点为 𝐹 ，准线为 𝑙 ，若 𝑙 与双曲线 𝑎2−𝑏2=1 (𝑎>0,𝑏>0) 的两条渐近线分别交于点 𝐴 和点 𝐵 ，且 |𝐴𝐵|=4|𝑂𝐹| （ 𝑂 为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. √2 B. √3 C. 2 D. √5 8.（2019·全国Ⅲ卷理）双曲线 𝐶:
𝑥24
2
𝑥2
𝑦2
−
𝑦22
=1 的右焦点为F,点P 在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若
|PO|=|PF|,则△PFO的面积为（ ）
A. 3√2 B. 3√2 C. 2√2 D. 3√2
4
2
9.已知椭圆𝐸:
+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B
𝑎2
4
𝑥2𝑦2
两点．若|AF+BF|=4，点M到直线l的距离不小于5 ， 则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
- 1 -
A. (0,√3] B. (0,4] C. [√3.1) D. [4,1)
2
2
33
10.将离心率为𝑒1的双曲线𝑐1的实半轴长𝑎和虚半轴长𝑏(𝑎≠𝑏)同时增加𝑚(𝑚>0)个单位长度，得到离心率为𝑒2的双曲线𝑐2 ， 则（ ）
A. 对任意的𝑎,𝑏 ， 𝑒1>𝑒2 B. 当𝑎>𝑏时，𝑒1>𝑒2；当𝑎<𝑏时，𝑒1<𝑒2 C. 对任意的𝑎,𝑏 ， 𝑒1<𝑒2 D. 当𝑎>𝑏时，𝑒1<𝑒2；当𝑎<𝑏时，𝑒1>𝑒2
11.将离心率为𝑒1的双曲线𝑐1的实半轴长𝑎和虚半轴长𝑏(𝑎≠𝑏)同时增加(𝑚>0)个单位长度，得到离心率为𝑒2的双曲线𝑐2 ， 则（ ）
A. 对任意的𝑎,𝑏,𝑒1>𝑒2 B. 当𝑎>𝑏时，𝑒1>𝑒2；当𝑎<𝑏时，𝑒1<𝑒2 C. 对任意的𝑎,𝑏,𝑒1<𝑒2 D. 当𝑎>𝑏时，𝑒1<𝑒2；当𝑎<𝑏时，𝑒1>𝑒2
二、填空题（共5题；共6分）
12.（2020·新课标Ⅰ·理）已知F为双曲线 𝐶:
𝑥2𝑎
2−
𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0) 的右焦点，A为C的右顶点，B为C
上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________.
13.（2019·江苏）在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，P是曲线 𝑦=𝑥+𝑥(𝑥>0) 上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________. 14.（2019·浙江）已知椭圆
𝑥29
4
+
𝑦25
=1 的左焦点为F，点P在椭圆且在x轴上方，若线段PF的中点在以
原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________ 15.（2018·北京）已知椭圆 𝑀:
𝑥2𝑎2
+
𝑦2𝑏2
=1(𝑎>𝑏>0) ,双曲线 𝑁:
𝑥2𝑚2
−
𝑦2𝑛2
=1 . 若双曲线N的两条渐近线
与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________
16.（2017·江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线
𝑥23
﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，
Q，其焦点是F1 ， F2 ， 则四边形F1PF2Q的面积是________．
三、解答题（共9题；共85分）
17.（2020·新课标Ⅲ·理）已知椭圆 𝐶:顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线 𝑥=6 上，且 |𝐵𝑃|=|𝐵𝑄| ， 𝐵𝑃⊥𝐵𝑄 ，求 △𝐴𝑃𝑄 的面积．
𝑥225
+
𝑦2𝑚2
=1(0<𝑚<5) 的离心率为
√15 4
，A，B分别为C的左、右
- 2 -
18.（2020·新课标Ⅱ·文）已知椭圆C1：
+𝑏2=1 (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心𝑎24
𝑥2𝑦2
与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= 3 |AB|． （1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
19.（2020·新课标Ⅰ·理）已知A、B分别为椭圆E：
𝑥2𝑎2
+𝑦2=1 （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ =8 ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． 𝐴𝐺𝐺𝐵（1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点.
20.（2020·新高考Ⅱ）已知椭圆C： 斜率为 2 ， （1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
1
𝑥2𝑎2+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0) 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的
𝑦2
- 3 -
21.（2019·天津）设椭圆
𝑥2
+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0) 的左焦点为 𝐹 ，左顶点为 𝐴 ，顶点为B.已知 √3|𝑂𝐴|=𝑎2𝑦2
2|𝑂𝐵| （ 𝑂 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 𝐹 且斜率为 4 的直线 𝑙 与椭圆在 𝑥 轴上方的交点为 𝑝 ，圆 𝐶 同时与 𝑥 轴和直线 𝑙 相切，圆心 𝐶 在直线 𝑥=4 上，且 𝑂𝐶∥𝐴𝑃 ，求椭圆的方程.
22.（2019·全国Ⅲ卷文）已知曲线C：y= 别为A ， B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0， 2 )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.
23.（2019·全国Ⅲ卷理）已知曲线C: 𝑦=为A，B.
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E（0， 2 ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
5
𝑥22
5
𝑥22
3
，D为直线y= −2 上的动点，过D作C的两条切线，切点分
1
，D为直线y=- 2 的动点，过D作C的两条切线，切点分别
1
- 4 -
24.（2019·全国Ⅱ卷文）已知 𝐹1,𝐹2 是椭圆C： 点， 𝑂 为坐标原点。
+𝑏2=1 (𝑎>𝑏>0) 的两个焦点， 𝑃 为 𝐶 上的𝑎2𝑥2𝑦2
（1）若 △𝑃𝑂𝐹2 为等边三角形，求 𝐶 的离心率；
（2）如果存在点P，使得 𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2 ，且 △𝐹1𝑃𝐹2 的面积等于16，求 𝑏 的值和a的取值范围。
25.（2019·全国Ⅱ卷理）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− 2 .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： △𝑃𝑄𝐺 是直角三角形； （ii）求 △𝑃𝑄𝐺 面积的最大值.
1
- 5 -
答案解析部分
一、单选题 1.【答案】 A
【解析】【解答】 ∵𝑎=√5 ， ∴𝑐=√5𝑎 ，根据双曲线的定义可得 ||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=2𝑎 ， 𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=4 ，即 |𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=8 ，
21
𝑐
∵𝐹1𝑃⊥𝐹2𝑃 ， ∴|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=(2𝑐)2 ，
∴(|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|)2+2|𝑃𝐹1|⋅|𝑃𝐹2|=4𝑐2 ，即 𝑎2−5𝑎2+4=0 ，解得 𝑎=1 ， 故答案为：A.
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 2.【答案】 B
【解析】【解答】因为直线 𝑥=2 与抛物线 𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0) 交于 𝐶,𝐷 两点，且 𝑂𝐷⊥𝑂𝐸 ， 根据抛物线的对称性可以确定 ∠𝐷𝑂𝑥=∠𝐶𝑂𝑥=4 ，所以 𝐶(2,2) ， 代入抛物线方程 4=4𝑝 ，求得 𝑝=1 ，所以其焦点坐标为 (2,0) ， 故答案为：B.
【分析】根据题中所给的条件 𝑂𝐷⊥𝑂𝐸 ，结合抛物线的对称性，可知 ∠𝐶𝑂𝑥=∠𝐶𝑂𝑥=4 ，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 3.【答案】 B 【解析】【解答】 ∵𝐶:
𝑥2
𝜋
1
𝜋
−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0) 𝑎2𝑏
𝑦2
∴ 双曲线的渐近线方程是 𝑦=±𝑎𝑥 ∵ 直线 𝑥=𝑎 与双曲线 𝐶:
𝑥2𝑎2
−
𝑦2𝑏2
=1(𝑎>0,𝑏>0) 的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设 𝐷 为在第一象限， 𝐸 在第四象限
𝑥=𝑎𝑥=𝑎
联立 {𝑦=𝑏𝑥 ，解得 {𝑦=𝑏
𝑎故 𝐷(𝑎,𝑏)
𝑥=𝑎𝑥=𝑎
联立 {𝑦=−𝑏𝑥 ，解得 {𝑦=−𝑏
𝑎故 𝐸(𝑎,−𝑏)
∴|𝐸𝐷|=2𝑏
∴△𝑂𝐷𝐸 面积为： 𝑆△𝑂𝐷𝐸=2𝑎×2𝑏=𝑎𝑏=8 ∵ 双曲线 𝐶:
𝑥2𝑎21
−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)
𝑦2
- 6 -
∴ 其焦距为 2𝑐=2√𝑎2+𝑏2≥2√2𝑎𝑏=2√16=8 当且仅当 𝑎=𝑏=2√2 取等号 ∴ C的焦距的最小值： 8 故答案为：B. 【分析】因为 𝐶:
−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0) ，可得双曲线的渐近线方程是 𝑦=±𝑎𝑥 ，与直线 𝑥=𝑎 联立𝑎2
𝑥2
𝑦2
𝑏
E两点坐标，方程求得D，即可求得 |𝐸𝐷| ，根据 △𝑂𝐷𝐸 的面积为8，可得 𝑎𝑏 值，根据 2𝑐=2√𝑎2+𝑏2 ，结合均值不等式，即可求得答案. 4.【答案】 D
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为 (1,0) ，所以直线 𝑙 的方程为 𝑥+𝑏=1 ，即直线的斜率为 −𝑏 ，
−𝑏×=−1 ，又双曲线的渐近线的方程为 𝑦=±𝑎𝑥 ，所以 −𝑏=−𝑎 ，因为 𝑎>0,𝑏>0 ，解得 𝑎=𝑎1,𝑏=1 ． 故答案为：D．
【分析】由抛物线的焦点 (1,0) 可求得直线 𝑙 的方程为 𝑥+𝑏=1 ，即得直线的斜率为-b，再根据双曲线的渐近线的方程为 𝑦=±𝑎𝑥 ，可得 −𝑏=−𝑎 ， −𝑏×𝑎=−1 即可求出 𝑎,𝑏 ，得到双曲线的方程． 5.【答案】 D 【解析】【解答】抛物线 ∵ 抛物线
的准线为F，
∴|𝑂𝐹|=1
∵抛物线
的准线与双曲线
𝑥2𝑎
2−
𝑦
𝑏𝑏𝑏
𝑦
𝑏𝑏𝑏
的准线 𝑙 ： 𝑥=−1
𝑦2𝑏2
=1(𝑎>0,𝑏>0) 的两条渐近线分别交于A，B两点，且
|𝐴𝐵|=4|𝑂𝐹|=4 ，
∴ 𝐴(−1，2) ， 𝐵(−1，−2) ，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得 𝑎=2 ， ∴ 𝑏2=4𝑎2 ， ∴ 4𝑎2=𝑐2−𝑎2 ， 即 5𝑎2=𝑐2 ， ∴ 𝑒=𝑎=√5 . 故答案为：D.
B的坐标， |𝐴𝐵|=4|𝑂𝐹| 得出弦长|AB|【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合 𝑎,𝑏,𝑐 的关系式得出出 𝑎,𝑐 的关系，即可求得离心率。
6.【答案】 B
- 7 -
𝑐
𝑏
【解析】【解答】如图所示：
．
因为线段 𝐹𝑄 的垂直平分线上的点到 𝐹,𝑄 的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知， |𝑃𝑄|=|𝑃𝐹| ，所以线段 𝐹𝑄 的垂直平分线经过点P. 故答案为：B.
【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段 𝐹𝑄 的垂直平分线经过点P，即求解. 7.【答案】 D
【解析】【解答】抛物线 𝑦2=4𝑥 的准线 𝑙 ： 𝑥=−1 ∵ 抛物线 𝑦2=4𝑥 的准线为F，
∴|𝑂𝐹|=1
∵抛物线 𝑦2=4𝑥 的准线与双曲线 |𝐴𝐵|=4|𝑂𝐹|=4 ，
∴ 𝐴(−1，2) ， 𝐵(−1，−2) ，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得 𝑎=2 ， ∴ 𝑏2=4𝑎2 ， ∴ 4𝑎2=𝑐2−𝑎2 ， 即 5𝑎2=𝑐2 ， ∴ 𝑒=𝑎=√5 . 故答案为：D.
B的坐标， |𝐴𝐵|=4|𝑂𝐹| 得出弦长|AB|【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合 𝑎,𝑏,𝑐 的关系式得出出 𝑎,𝑐 的关系，即可求得离心率。 8.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵双曲线C：
2程为 y=±√x ，
2
2设P在渐进线 y=√x 上，过P作 PM⊥OF ，如图：
2
𝑥24
𝑐
𝑏
−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0) 的两条渐近线分别交于A，B两点，且 𝑎2
𝑥2𝑦2
−
𝑦22
=1，则 a=2,b=√2 ，∴ c=√6 ， F(√6,0) ，渐近线方
- 8 -
∵ |𝑃𝑂|=|𝑃𝐹| ，∴△POF是等腰三角形，∴ M(√,0) ，代入渐进线方程 y=√x 中，可得 |PM|=√ ，
222∴ S△
PFO
623=|OF|·|PM|=
2
1
3√2 4
，
故答案为：A.
【分析】由已知得到 F(√6,0) ，过P作 PM⊥OF ，由 |𝑃𝑂|=|𝑃𝐹| ，得到△POF是等腰三角形，求出 |PM|=
√3 2
，即可求出△PFO的面积.
9.【答案】 A
【解析】【解答】设左焦点为F，连接AF1,BF1．则四边形BF1AF是平行四边形，故|AF1|＝|BF|,所以|AF|+|AF1|=4=2a,所以a=2,设M(0,b),则5≥5,故b≥1,从而𝑎2−𝑐2≥1,0<𝑐2≤3 ， 0<𝑐≤√3 ， 所以椭圆E的离心率的取值范围是(0,√]，故选A。
234𝑏
4
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，将|𝐴𝐹+𝐵𝐹
|=4转化为|AF|+|AF1|=4=2a，进而确定a 的
值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概念的重要性，属于难题．求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量a，b，c满足的不等量关系，以确定𝑎的取值范围． 10.【答案】 D
【解析】 【解答】依题意，𝑒1=√𝑎𝑎𝑏+𝑏𝑚−𝑎𝑏−𝑎𝑚𝑎(𝑎+𝑚)
2
𝑚(𝑏−𝑎)
2+𝑏2𝑐
𝑎
√(𝑎+𝑚)+(𝑏+𝑚)𝑏𝑏+𝑚
=√1+(),𝑒2==√1+(),因为𝑎−𝑎+𝑚=𝑎𝑎+𝑚𝑎+𝑚
𝑏
𝑏+𝑚
𝑏
𝑏+𝑚
2
2222𝑏𝑏+𝑚
𝑏
=𝑎(𝑎+𝑚),由于𝑚>0,𝑎>0,𝑏>0,所以当𝑎>𝑏时，0<<1,0<<1,<,()<𝑎𝑎+𝑚𝑎𝑎+𝑚𝑎
𝑏
𝑏+𝑚
𝑏
𝑏+𝑚
2
2
𝑏+𝑚
当𝑎<𝑏时,𝑎>1,𝑎+𝑚>1,而𝑎>𝑎+𝑚,所以(𝑏)>(𝑏+𝑚),所以𝑒1>𝑒2。所以当𝑎>𝑏时，(𝑎+𝑚),所以𝑒1<𝑒2；𝑎𝑎+𝑚
𝑒1<𝑒2；当𝑎<𝑏时，𝑒1>𝑒2。
【分析】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
11.【答案】 D
- 9 -
【解析】【解答】不妨设双曲线𝑐1的焦点在𝑥轴上，即其方程为：2−
𝑎
𝑥2𝑦2𝑏2=1,则双曲线𝑐2的方程为：(𝑎+𝑚)2−
𝑏+𝑚
𝑏
𝑥2
=1 ， 所以𝑒1=√𝑎(𝑏+𝑚)2(𝑏+𝑚)𝑎−𝑏(𝑎+𝑚)
(𝑎+𝑚)𝑎(𝑏+𝑚)𝑎−𝑏(𝑎+𝑚)
(𝑎+𝑚)𝑎
(𝑎−𝑏)𝑚
𝑦2
2+𝑏2𝑎
=√1+𝑎2,𝑒2=
𝑏+𝑚
𝑏
𝑏2√(𝑎+𝑚)2+(𝑏+𝑚)2𝑎+𝑚2
2
=√1+(𝑎+𝑚)2,当𝑎>𝑏时，𝑎+𝑚−𝑎=
𝑏+𝑚
𝑏
(𝑏+𝑚)2
=(𝑎+𝑚)𝑎>0所以
(𝑎−𝑏)𝑚
>,所以(𝑏+𝑚)>(𝑏),所以𝑒2>𝑒1;当𝑎<𝑏时，−=𝑎+𝑚𝑎𝑎+𝑚𝑎𝑎+𝑚𝑎
𝑏+𝑚𝑏
<,所以<()(),所以𝑒2<𝑒1;故应选D. 𝑎+𝑚𝑎
𝑎+𝑚
𝑎
𝑏+𝑚
𝑏
2
2
=(𝑎+𝑚)𝑎<0,所以
【分析】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性. 二、填空题 12.【答案】 2
【解析】【解答】依题可得， |𝐴𝐹|=3 ，而 |𝐵𝐹|=
|𝐵𝐹|
𝑏2𝑎
， |𝐴𝐹|=𝑐−𝑎 ，即
𝑏2
𝑎
𝑐−𝑎
22
=3 ，变形得 𝑐−𝑎=
3𝑎𝑐−3𝑎2 ，化简可得， 𝑒2−3𝑒+2=0 ，解得 𝑒=2 或 𝑒=1 （舍去）． 故答案为： 2 ．
【分析】根据双曲线的几何性质可知， |𝐵𝐹|=13.【答案】 4 【解析】【解答】
∵P是曲线 𝑦=𝑥+𝑥(𝑥>0) 上的一个动点， ∴ 设 𝑃(𝑥,𝑥+𝑥),𝑥>0 ,设P到直线x+y=0的距离为 𝑑, 利用点到直线的距离公式，得： 𝑑=又 ∵𝑥>0,∴𝑑=
2𝑥+√24𝑥𝑏2𝑎
， |𝐴𝐹|=𝑐−𝑎 ，即可根据斜率列出等式求解即可．
44
|𝑥+𝑥+|
4𝑥√12+12=
|2𝑥+|√24𝑥, =√2𝑥+
2√2, 𝑥
利用均值不等式，得: 𝑑=√2𝑥+2√2≥2×√√2𝑥×2√2=2×√4=4,
𝑥
𝑥
∴𝑑最小值=4，∴ 点P到直线x+y=0的距离的最小值是4。
【分析】利用P是曲线 𝑦=𝑥+𝑥(𝑥>0) 上的一个动点设出动点P的坐标，再利用点到直线的距离公式结合均值不等式求最值的方法求出点P到直线x+y=0的距离的最小值。 14.【答案】√15 【解析】【解答】解：设P（m，n），则
𝑚29
4
+
𝑛25
=1 （1）
𝑚−2𝑛2
根据椭圆的方程，得F（-2,0），故PF的中点为（
,2 ），
𝑚−22
)2
根据中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，得 (
315将（1）和（2）联立得 𝑚=−,𝑛=√ ，
2
2
+(2)2=4 （2）
𝑛
- 10 -
故直线PF的斜率为 故答案为.
√15−023−−(−2)2=√15 .
【分析】根据椭圆的方程F的坐标，设出P，结合题意，求出P点坐标，即可得到PF的斜率. 15.【答案】√3−1；2
𝑐3【解析】【解答】解：图中A (,√𝑐) ，设椭圆焦距为2c,
2
2
又 |𝐴𝐹2|=𝐶⋅|𝐴𝐹1|=√3𝑐 。
∴ 𝑐+√3𝑐=2𝑎⇒𝑎=√3+1=√3−1 ， 又 𝑚=√3⇒𝑛=√3𝑚 ，
∴ 𝑚2+𝑛2=4𝑚2 ，即双曲线离心率为 故答案为： √3−1 ，2.
【分析】从椭圆的半焦距c出发，先分析正六边形，再由椭圆的定义得到a,c之间关系，求出椭圆离心率，再由A点坐标得到渐近线，得到m,n的关系，从而得到双曲线离心率。 16.【答案】 2 √3
【解析】【解答】解：双曲线
33所以P（ 2 ， √ ），Q（ 2 ，﹣ √ ），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．
2
2
3
3
𝑥23
3
2𝑚𝑚
𝑛
𝑐
2=2
﹣y2=1的右准线：x= 2 ，双曲线渐近线方程为：y= √ x，
3
3则四边形F1PF2Q的面积是： 2×4×√3 =2 √3 ． 故答案为：2 √3 ．
【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．三、解答题
- 11 -
1
17.【答案】 （1）解： ∵𝐶:𝑥2
+𝑦2
25
𝑚2=1(0<𝑚<5) ∴𝑎=5 ， 𝑏=𝑚 ， 根据离心率 𝑒=
𝑐=√1−(𝑏𝑚
√15𝑎
𝑎)2=√1−(5)2=4
，
解得 𝑚=5
5
4 或 𝑚=−4 (舍)， ∴ C的方程为： 𝑥2𝑦2
25+(5)2=1 ，
4即 𝑥2
+16𝑦225
25
=1
（2）解： ∵ 点P在C上，点Q在直线 𝑥=6 上，且 |𝐵𝑃|=|𝐵𝑄| ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 𝑥=6 与x轴交点为N 根据题意画出图形，如图
∵|𝐵𝑃|=|𝐵𝑄| ， 𝐵𝑃⊥𝐵𝑄 ， ∠𝑃𝑀𝐵=∠𝑄𝑁𝐵=90° ， 又 ∵∠𝑃𝐵𝑀+∠𝑄𝐵𝑁=90° ， ∠𝐵𝑄𝑁+∠𝑄𝐵𝑁=90° ， ∴∠𝑃𝐵𝑀=∠𝐵𝑄𝑁 ， 根据三角形全等条件“ 𝐴𝐴𝑆 ”， 可得： △𝑃𝑀𝐵≅△𝐵𝑁𝑄 ， ∵𝑥2
16𝑦225+
25
=1 ，
∴𝐵(5,0) ，
∴|𝑃𝑀|=|𝐵𝑁|=6−5=1 ， 设 𝑃 点为 (𝑥𝑃,𝑦𝑃) ，
可得 𝑃 点纵坐标为 𝑦𝑃=1 ，将其代入 𝑥2225
+
16𝑦25
=1 ，
可得：
𝑥𝑃2
25
+16
25=1 ，
解得： 𝑥𝑃=3 或 𝑥𝑃=−3 ， ∴ P点为 (3,1) 或 (−3,1) ， ①当 𝑃 点为 (3,1) 时， 故 |𝑀𝐵|=5−3=2 ， ∵△𝑃𝑀𝐵≅△𝐵𝑁𝑄 ，
- 12 -
𝐵𝑃⊥𝐵𝑄 ， ∴|𝑀𝐵|=|𝑁𝑄|=2 ， 可得：Q点为 (6,2) ， 画出图象，如图
∵𝐴(−5,0) , 𝑄(6,2) ，
可求得直线 𝐴𝑄 的直线方程为： 2𝑥−11𝑦+10=0 ， 根据点到直线距离公式可得 𝑃 到直线 𝐴𝑄 的距离为： 𝑑=
|2×3−11×1+10|√22+112=
|5|√125=
√5 5
，
根据两点间距离公式可得： |𝐴𝑄|=√(6+5)2+(2−0)2=5√5 ， ∴△𝐴𝑃𝑄 面积为： 1×5√5×√5=5 ；
2
5
2
②当 𝑃 点为 (−3,1) 时， 故 |𝑀𝐵|=5+3=8 ， ∵△𝑃𝑀𝐵≅△𝐵𝑁𝑄 ， ∴|𝑀𝐵|=|𝑁𝑄|=8 ， 可得：Q点为 (6,8) ， 画出图象，如图
∵𝐴(−5,0) , 𝑄(6,8) ，
可求得直线 𝐴𝑄 的直线方程为： 8𝑥−11𝑦+40=0 ， 根据点到直线距离公式可得 𝑃 到直线 𝐴𝑄 的距离为： 𝑑=
|8×(−3)−11×1+40|√82+112=
|5|√=1855√185 ，
根据两点间距离公式可得： |𝐴𝑄|=√(6+5)2+(8−0)2=√185 ， ∴△𝐴𝑃𝑄 面积为： 2×√185×√185=2 ， 综上所述， △𝐴𝑃𝑄 面积为： 2 .
5
1
55
- 13 -
【解析】【分析】（1）因为 𝐶:
𝑥2
+𝑚2=1(0<𝑚<5) ，可得 𝑎=5 ， 𝑏=𝑚 ，根据离心率公式，结25
𝑦2
合已知，即可求得答案；（2）点P在C上，点Q在直线 𝑥=6 上，且 |𝐵𝑃|=|𝐵𝑄| ， 𝐵𝑃⊥𝐵𝑄 ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 𝑥=6 与x轴交点为N，可得 △𝑃𝑀𝐵≅△𝐵𝑁𝑄 ，可求得P点坐标，求出直线 𝐴𝑄 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 △𝐴𝑃𝑄 的面积.
18.【答案】 （1）解：因为椭圆 𝐶1 的右焦点坐标为： 𝐹(𝑐,0) ,所以抛物线 𝐶2 的方程为 𝑦2=4𝑐𝑥 ，其中 𝑐=√𝑎2−𝑏2 .
不妨设 𝐴,𝐶 在第一象限，因为椭圆 𝐶1 的方程为： 所以当 𝑥=𝑐 时，有
𝑐2𝑎2𝑥2
𝑦2
+𝑏2=1 ， 𝑎2
𝑏2𝑎
+𝑏2𝑦2
=1⇒𝑦=±𝑎 ，因此 𝐴,𝐵 的纵坐标分别为
𝑏2
， − ；
𝑎
𝑏2
又因为抛物线 𝐶2 的方程为 𝑦2=4𝑐𝑥 ，所以当 𝑥=𝑐 时，有 𝑦2=4𝑐⋅𝑐⇒𝑦=±2𝑐 ， 所以 𝐶,𝐷 的纵坐标分别为 2𝑐 ， −2𝑐 ，故 |𝐴𝐵|=由 |𝐶𝐷|=3|𝐴𝐵| 得 4𝑐=所以 𝐶1 的离心率为 2 .
𝑏=√3𝑐 ，（2）解：由（1）知 𝑎=2𝑐 ，故 𝐶1:
𝑥24𝑐2
1
4
8𝑏23𝑎
𝑐
𝑐
2𝑏2𝑎
， |𝐶𝐷|=4𝑐 .
𝑐
𝑐
1
，即 3⋅𝑎=2−2(𝑎)2 ，解得 𝑎=−2 （舍去）， 𝑎=2 .
+
𝑦23𝑐2
所以 𝐶1 的四个顶点坐标分别为 𝛥𝐴𝐵𝐶 ，=1 ，
(−2𝑐,0) ， (0,√3𝑐) ， (0,−√3𝑐) ， 𝐶2 的准线为 𝑥=−𝑐 . 由已知得 3𝑐+𝑐+𝑐+𝑐=12 ，即 𝑐=2 . 所以 𝐶1 的标准方程为
𝑥216
𝑦212
+
=1 ， 𝐶2 的标准方程为 𝑦2=8𝑥 .
【解析】【分析】（1）根据题意求出 𝐶2 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 𝐴,𝐶 在第一象限，运用代入法求出 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 点的纵坐标，根据 |𝐶𝐷|=3|𝐴𝐵| ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；
19.【答案】 （1）解：依据题意作出如下图象：
4
由椭圆方程 𝐸:
𝑥2𝑎2
+𝑦2=1(𝑎>1) 可得： 𝐴(−𝑎,0) ， 𝐵(𝑎,0) ， 𝐺(0,1)
⃗⃗⃗⃗ =(𝑎,1) ， ⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑎,−1) ∴⃗𝐴𝐺𝐺𝐵
- 14 -
⃗⃗⃗⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎2−1=8 ， ∴𝑎2=9 ∴⃗𝐴𝐺𝐺𝐵∴ 椭圆方程为：
（2）证明：设 𝑃(6,𝑦0) ，
则直线 𝐴𝑃 的方程为： 𝑦=6−(−3)(𝑥+3) ，即： 𝑦=
𝑥29
𝑦0−0
𝑦09
𝑥29
+𝑦2=1
(𝑥+3)
，整理得： 联立直线 𝐴𝑃 的方程与椭圆方程可得： {𝑦0
𝑦=(𝑥+3)
9
+𝑦2=1
(𝑦0
2
+9)𝑥2+6𝑦0
−3𝑦0𝑦0
2+272+9
2
𝑥+9𝑦0
2
−81=0 ，解得： 𝑥=−3 或 𝑥=(𝑥+3) 可得： 𝑦=𝑦
2+9
−3𝑦0𝑦0
2+272+9
将 𝑥=
代入直线 𝑦=
−3𝑦0𝑦0
2+272+9
𝑦09
6𝑦0
0
2+9
所以点 𝐶 的坐标为 (,
6𝑦0𝑦0
) .
2+1
同理可得：点 𝐷 的坐标为 (𝑦0
0
3𝑦
2−32+1
,𝑦
−2𝑦0
0
)
(𝑥−
3𝑦0𝑦0
2−32+1
∴ 直线 𝐶𝐷 的方程为： 𝑦−(𝑦整理可得： 𝑦+𝑦
2𝑦0
2+1=
−2𝑦0
0
2+1
)=
6𝑦0−2𝑦0−()𝑦02+9𝑦02+1−3𝑦02+273𝑦02−3
−𝑦02+9𝑦02+1) ，
2−32+1
8𝑦0(𝑦06(9−𝑦0
2𝑦0𝑦0
2+3)4)
0
(𝑥−
3𝑦0𝑦0
0
2+1)=6(3−𝑦
0
2−3
8𝑦
2)(𝑥−
3𝑦0𝑦0
)
整理得： 𝑦=3(3−𝑦
4𝑦0
0
2)
𝑥+
2−3
=
4𝑦03(3−𝑦0
(𝑥−) 2)2
3
故直线 𝐶𝐷 过定点 (2,0)
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎2−1 ，【解析】【分析】（1）由已知可得： 𝐴(−𝑎,0) ， 𝐵(𝑎,0) ， 𝐺(0,1) ，即可求得 𝐴𝐺结合已知即可求得： 𝑎2=9 ，问题得解.（2）设 𝑃(6,𝑦0) ，可得直线 𝐴𝑃 的方程为： 𝑦=联立直线 𝐴𝑃 的方程与椭圆方程即可求得点 𝐶 的坐标为 ((𝑦
3𝑦0
0
2−32+1
3
𝑦09
(𝑥+3) ，
−3𝑦0𝑦0
2+272+9
,𝑦
6𝑦0
0
2+9
) ，同理可得点 𝐷 的坐标为
4𝑦0
0
2)(𝑥−2) ，命
,𝑦
−2𝑦0
0
𝑦=3(3−𝑦2+1) ，即可表示出直线 𝐶𝐷 的方程，整理直线 𝐶𝐷 的方程可得：
3
题得证.
20.【答案】 （1）解：由题意可知直线AM的方程为： 𝑦−3=2(𝑥−2) ，即 𝑥−2𝑦=−4 . 当y=0时，解得 𝑥=−4 ，所以a=4， 椭圆 𝐶:
+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0) 过点M(2，3)，可得 16+𝑏2=1 ， 𝑎2
𝑥2
𝑦2
4
9
1
解得b2=12. 所以C的方程：
（2）解：设与直线AM平行的直线方程为： 𝑥−2𝑦=𝑚 ，
- 15 -
𝑥2
+12=1 . 16
𝑦2
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程 𝑥−2𝑦=𝑚 与椭圆方程 可得： 3(𝑚+2𝑦)2+4𝑦2=48 ，
𝑥2
+12=1 ， 16
𝑦2
化简可得： 16𝑦2+12𝑚𝑦+3𝑚2−48=0 ，
所以 𝛥=144𝑚2−4×16(3𝑚2−48)=0 ，即m2=64，解得m=±8， 与AM距离比较远的直线方程： 𝑥−2𝑦=8 ， 直线AM方程为： 𝑥−2𝑦=−4 ，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得： 𝑑=
8+4√=1+412√5 5
，
由两点之间距离公式可得 |𝐴𝑀|=√(2+4)2+32=3√5 . 所以△AMN的面积的最大值： ×3√5×
21
12√55
=18 .
【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
21.【答案】 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 𝑐 ，由已知有 √3𝑎=2𝑏 ，又由 𝑎2=𝑏2+𝑐2 ，消去 𝑏 得 𝑎2=(2𝑎)+𝑐2 ，解得 𝑎=2 . 所以，椭圆的离心率为 2 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 𝑎=2𝑐 ， 𝑏=√3𝑐 ，故椭圆方程为
3
1
√3𝑐
1
+3𝑐2=1 .由题意， 𝐹(−𝑐,0) ，则直线 𝑙 的4𝑐2
并化简，得到 7𝑥2+6𝑥−13𝑐2=0 ，解
9
𝑥2𝑦2
，消去 方程为 𝑦=4(𝑥+𝑐) .点P的坐标满足 {3
𝑦=4(𝑥+𝑐)得 𝑥1=𝑐,𝑥2=−
13𝑐7
3
+3𝑐2=14𝑐2
𝑥2𝑦2
，代入到 𝑙 的方程，解得 𝑦1=2𝑐,𝑦2=−14𝑐 .因为点 𝑝 在 𝑥 轴上方，所以
- 16 -
𝑃(𝑐,𝑐) .由圆心 𝐶 在直线 𝑥=4 上，可设 𝐶(4,𝑡) .因为 𝑂𝐶∥𝐴𝑃 ，且由（Ⅰ）知 𝐴(−2𝑐,0) ，故 =
24
3𝑐2
3𝑡
𝑐+2𝑐
，解得 𝑡=2 .因为圆 𝐶 与 𝑥 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 𝐶 与 𝑙 相切，得
|(4+𝑐)−2|√1+()24334=2 ，
可得 𝑐=2 . 所以，椭圆的方程为
𝑥216
+
𝑦212
=1
【解析】【分析】（Ⅰ）由 √3|𝑂𝐴|=2|𝑂𝐵| |得， √3𝑎=2𝑏 ，又 𝑎2=𝑏2+𝑐2 ，即可求椭圆的离心率；（Ⅱ）点斜式设出直线 𝑙 的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用 𝑐 表示出点P,再由圆心 𝐶 在直线 𝑥=4 上，设 𝐶(4,𝑡) ，由 𝑂𝐶∥𝐴𝑃 ，列出关于等式 4=
3
𝑐2𝑡
𝑐+2𝑐
，求出 𝑡 ，再由圆 𝐶 与 𝑥 轴相切求出 𝑐 ，即可求出椭圆的方程．
222.【答案】 （1）解：设 𝐷(𝑡,−2), 𝐴(𝑥1,𝑦1) ，则 𝑥1=2𝑦1 .
1
由于 𝑦′=𝑥 ，所以切线DA的斜率为 𝑥1 ，故 整理得 2𝑡𝑥1−2 𝑦1+1=0.
设 𝐵(𝑥2,𝑦2) ，同理可得 2𝑡𝑥2−2 𝑦2+1=0 . 故直线AB的方程为 2𝑡𝑥−2𝑦+1=0 . 所以直线AB过定点 (0,2) .
（2）由（1）得直线AB的方程为 𝑦=𝑡𝑥+2 . 𝑦=𝑡𝑥+2
，可得 𝑥2−2𝑡𝑥−1=0 . 由 {𝑥2
𝑦=2
1
1
1
𝑦1+
12
𝑥1−𝑡
=𝑥1 .
于是 𝑥1+𝑥2=2𝑡,𝑦1+𝑦2=𝑡(𝑥1+𝑥2)+1=2𝑡2+1 . 设M为线段AB的中点，则 𝑀(𝑡,𝑡2+2) .
⃗ ，而 𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量 (1, 𝑡) 平行，所以 𝑡+(𝑡2−2)𝑡=0 .解得t=0或 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑡,𝑡2−2) ， 𝐴𝐵由于 𝐸𝑀𝐴𝐵𝑡=±1 .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，所求圆的方程为 𝑥2+(𝑦−5)2=4 ； 当 𝑡 =0时，|𝐸𝑀2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2 ， 所求圆的方程为 𝑥2+(𝑦−)2=2 . 当 𝑡=±1 时，|𝐸𝑀2
【解析】【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量 (1, 𝑡) 平行列式，解出t的值，过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，由 𝐴𝐵即可求出该圆的方程.
223.【答案】 （1）解：设 𝐷(𝑡,−2), 𝐴(𝑥1,𝑦1) ，则 𝑥1=2𝑦1 .
1
5
1
- 17 -
由于 𝑦′=𝑥 ，所以切线DA的斜率为 𝑥1 ，故 整理得 2𝑡𝑥1−2 𝑦1+1=0.
设 𝐵(𝑥2,𝑦2) ，同理可得 2𝑡𝑥2−2 𝑦2+1=0 . 故直线AB的方程为 2𝑡𝑥−2𝑦+1=0 . 所以直线AB过定点 (0,2) .
（2）由（1）得直线AB的方程为 𝑦=𝑡𝑥+2 . 𝑦=𝑡𝑥+2
，可得 𝑥2−2𝑡𝑥−1=0 . 由 {𝑥2
𝑦=
21
1
1
𝑦1+
12𝑥1−𝑡
=𝑥1 .
2
于是 𝑥1+𝑥2=2𝑡, 𝑥1𝑥2=−1, 𝑦1+𝑦2=𝑡(𝑥1+𝑥2)+1=2𝑡+1 ，
|𝐴𝐵|=√1+𝑡2|𝑥1−𝑥2|=√1+𝑡2×√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=2(𝑡2+1) . 设 𝑑1,𝑑2 分别为点D ， E到直线AB的距离，则 𝑑1=√𝑡2+1, 𝑑2=√𝑡2+1 . 因此，四边形ADBE的面积 𝑆=2|𝐴𝐵|(𝑑1+𝑑2)=(𝑡2+3)√𝑡2+1 . 设M为线段AB的中点，则 𝑀(𝑡,𝑡2+2) .
⃗ ，而 𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量 (1, 𝑡) 平行，所以 𝑡+(𝑡2−2)𝑡=0 .解得t=0或 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑡,𝑡2−2) ， 𝐴𝐵由于 𝐸𝑀𝐴𝐵𝑡=±1 .
当 𝑡 =0时，S=3；当 𝑡=±1 时， 𝑆=4√2 . 因此，四边形ADBE的面积为3或 4√2 .
【解析】【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式，分别⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量 (1, 𝑡) 平行列式，即可求出四边形ADBE的面积. 得到|AB|与点D，E到直线AB的距离，由 𝐴𝐵
24.【答案】 （1）解：连结 𝑃𝐹1 ，由 △𝑃𝑂𝐹2 为等边三角形可知在 △𝐹1𝑃𝐹2 中， ∠𝐹1𝑃𝐹2=90° ， |𝑃𝐹2|=𝑐 ， |𝑃𝐹1|=√3𝑐 ，于是 2𝑎=|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=(√3+1)𝑐 ，故 𝐶 的离心率是 𝑒=𝑎=√3−1 . 𝑥+𝑐⋅𝑥−𝑐=−1 ， （2）由题意可知，满足条件的点 𝑃(𝑥,𝑦) 存在当且仅当 2|𝑦|⋅2𝑐=16 ，即 𝑐|𝑦|=16 ，① 𝑥2+𝑦2=𝑐2 ，②
𝑥2
𝑦2
1
𝑦
𝑦
𝑥2𝑎2𝑐
1
1
2+
𝑦2𝑏2=1 ，
+𝑏2=1 ，③ 𝑎2由②③及 𝑎2=𝑏2+𝑐2 得 𝑦2=2 ，又由①知 𝑦2=
𝑐
2
𝑎2
𝑏4
162𝑐2
，故 𝑏=4 .
由②③得 𝑥=2(𝑐2−𝑏2) ，所以 𝑐2≥𝑏2 ，从而 𝑎2=𝑏2+𝑐2≥2𝑏2=32, 故 𝑎≥4√2 .
𝑐当 𝑏=4 ， 𝑎≥4√2 时，存在满足条件的点P.
- 18 -
所以 𝑏=4 ， 𝑎 的取值范围为 [4√2,+∞) .
【解析】【分析】（1）首先设出椭圆的坐标，再由等边三角形可得出边之间的关系，利用勾股定理再结合解三角形的知识即可求出离心率的值。（2）结合已知求出三角形面积公式的代数式，结合椭圆的定义以及直角三角形的边的关系，求出b的值再由椭圆的几何意义进而求出a的取值范围即可。 25.【答案】 （1）解：由题设得 𝑥+2⋅𝑥−2=−2 ，化简得 点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k ， 则其方程为 𝑦=𝑘𝑥(𝑘>0) ． 由 {
𝑦=𝑘𝑥
4𝑥2
𝑦222𝑦
𝑦
1
𝑥24
+
𝑦22
=1(|𝑥|≠2) ，所以C为中心在坐标原
+
得 𝑥=± ．
√1+2𝑘2=1
2记 𝑢=√1+2𝑘2 ，则 𝑃(𝑢,𝑢𝑘),𝑄(−𝑢,−𝑢𝑘),𝐸(𝑢,0) ． 于是直线 𝑄𝐺 的斜率为 2 ，方程为 𝑦=2(𝑥−𝑢) ． 𝑦=(𝑥−𝑢),
2
得 由 {𝑥2𝑦2
+2=14
(2+𝑘2)𝑥2−2𝑢𝑘2𝑥+𝑘2𝑢2−8=0 ．①
设 𝐺(𝑥𝐺,𝑦𝐺) ，则 −𝑢 和 𝑥𝐺 是方程①的解，故 𝑥𝐺=从而直线 𝑃𝐺 的斜率为
𝑢𝑘3
−𝑢𝑘2+𝑘2𝑢(3𝑘2+2)
−𝑢2+𝑘2𝑘𝑘
𝑘
𝑢(3𝑘2+2)2+𝑘2
，由此得 𝑦𝐺=
𝑢𝑘32+𝑘2
．
=−𝑘 ．
1
所以 𝑃𝑄⊥𝑃𝐺 ，即 △𝑃𝑄𝐺 是直角三角形．
（ii）由（i）得 |𝑃𝑄|=2𝑢√1+𝑘2 ， |𝑃𝐺|=2𝑢𝑘√𝑘2+1 ，
2+𝑘
2所以△PQG的面积 𝑆=2|𝑃𝑄‖𝑃𝐺|=(1+2𝑘2)(2+𝑘2)=
1
1
8𝑘(1+𝑘2)
1𝑘11+2(+𝑘)2
𝑘8(+𝑘) ．
设t=k+ 𝑘 ，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．
因为 𝑆=1+2𝑡2 在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为 因此，△PQG面积的最大值为
169
8𝑡
169
．
．
1
【解析】【分析】（1）根据AM，BM斜率之积为 −2 ，列出等式，即可得到曲线C为焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设出PQ解析式，联立PQ解析式与曲线C，得到P、Q两点坐标，即可得到E点坐标，根据Q、E两点坐标得到QE的解析式，联立QE与曲线C，可得G点坐标，再根据G、P点坐标，得到PG斜率。化简可得 kPQ·kPG=−1 ，得证 𝛥PQG 为直角三角形。
（ii）由（i）知， PG⊥PQ ，所以， S△PQG=2|PQ||PG| ，由（i）分别求出， |PQ| ， |PG| 化简S可得关于K的函数表达式，考虑K的取值范围，即可得出S的最大值。
- 19 -
1
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