洞头区高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 不等式

≤0的解集是（ ）

B．[﹣1，2]

A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2） 1，2]

2． 下列判断正确的是（ ）

C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞） D．（﹣

A．①不是棱柱 B．②是圆台C．③是棱锥D．④是棱台

2x1,x13． 设函数fx，则使得fx1的自变量的取值范围为（ ）

4x1,x1A．,20,10 B．,20,1

C．,21,10 D．2,01,10

4． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）

A．9214 B．8214 C．9224 D．8224

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.

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5． △ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，已知a3，b6，A6，则

B（ ）111]

32 B．或 C．或 D．

4344336． 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )

A．

A5 B4 C3 D2

7． 四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．

8． 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）

A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 9． 设Sn是等比数列{an}的前项和，S45S2，则此数列的公比q（ ）

A．-2或-1 B．1或2 C.1或2 D．2或-1 10．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为S1、S2、S3，则（ ）

A．S1S2S3 B．S1S2S3 C．S2S1S3 D．S2S1S3 11．已知圆M过定点(0,1)且圆心M在抛物线x2y上运动，若x轴截圆M所得的弦为|PQ|，则弦长

2|PQ|等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．与点位置有关的值

【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.

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12．下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是 （ ）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．已知集合Ax|0x≤3,xR，Bx|1≤x≤2,xR，则A∪B＝ ▲ ． 14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AC所成的角是 °．

15．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全 校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取 100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 . 16．已知函数f(x)lnx

a1，x(0,3]，其图象上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k恒 x2成立，则实数的取值范围是 ．

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．设A（x0，y0）（x0，y0≠0）是椭圆T：

+y2=1（m＞0）上一点，它关于y轴、原点、x轴的对称点依

次为B，C，D．E是椭圆T上不同于A的另外一点，且AE⊥AC，如图所示． （Ⅰ） 若点A横坐标为

，且BD∥AE，求m的值；

+y2=（

2

）上．

（Ⅱ）求证：直线BD与CE的交点Q总在椭圆

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18．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点． （Ⅰ）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE； （Ⅱ）证明：B1F∥平面A1BE；

（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体A1﹣B1BE的体积．

19．已知双曲线过点P（﹣3（1）求双曲线的标准方程；

，4），它的渐近线方程为y=±x．

（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．

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20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE平面ABCD.

（1）求证：PQ//平面SAD； （2）求证：平面SAC平面SEQ.

21．（本题满分15分）

如图，已知长方形ABCD中，将ADM沿AM折起，使得平面ADMM为DC的中点，AB2，AD1，平面ABCM．

（1）求证：ADBM；

（2）若DEDB(01)，当二面角EAMD大小为

时，求的值． 3

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．

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22．已知函数

．

（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．

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洞头区高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 【答案】D

，

【解析】解：依题意，不等式化为解得﹣1＜x≤2， 故选D

【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．

2． 【答案】C

【解析】解：①是底面为梯形的棱柱； ②的两个底面不平行，不是圆台； ③是四棱锥； ④不是由棱锥截来的， 故选：C．

3． 【答案】A 【解析】

考

点：分段函数的应用.

【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 4． 【答案】A

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5． 【答案】B 【解析】

试题分析：由正弦定理可得:3sin6362,sinB,B0,,B 或，故选B.

4sinB24考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数. 6． 【答案】C

【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3. 7． 【答案】B

【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0）， =（﹣2，0，1），

=（2，2，0），

设异面直线BE与AC所成角为θ， 则cosθ=故选：B．

=

=

．

8． 【答案】A 【解析】

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考

点：斜二测画法． 9． 【答案】D 【解析】

试题分析：当公比q1时，S45S20，成立.当q1时，S4,S2都不等于，所以

S4S2q24, S2q2,故选D.

考点：等比数列的性质. 10．【答案】A 【解析】

考

点：棱锥的结构特征． 11．【答案】A

【解析】过M作MN垂直于x轴于N，设M(x0,y0)，则N(x0,0)，在RtMNQ中，|MN|y0，MQ为圆的半径，NQ为PQ的一半，因此

222|PQ|24|NQ|24(|MQ|2|MN|2)4[x0(y01)2y0]4(x02y01)

222又点M在抛物线上，∴x02y0，∴|PQ|4(x02y01)4，∴|PQ|2.

12．【答案】D

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【解析】

考

点：平面的基本公理与推论．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．【答案】1－1，3] 【解析】

试题分析：A∪B＝x|0x≤3,xRx|1≤x≤2,xR＝1－1，3] 考点：集合运算 【方法点睛】

1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．

2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．

3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 14．【答案】 60° °．

【解析】解：连结BC1、A1C1，

a，

∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A平行且等于C1C， ∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，

因此∠BA1C1（或其补角）是异面直线A1B与AC所成的角， 设正方体的棱长为a，则△A1B1C中A1B=BC1=C1A1=∴△A1B1C是等边三角形，可得∠BA1C1=60°， 即异面直线A1B与AC所成的角等于60°． 故答案为：60°．

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【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．

15．【答案】25 【

解

析】

考

点：分层抽样方法． 16．【答案】a【解析】

1 21a12，因为x(0,3]，其图象上任意一点P(x0,y0)处的切线的斜率k恒成立，xx21a111112，x(0,3]，ax2x，x(0,3]恒成立，由x2x,a．1

2xx2222试题分析：f(x)'考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．

【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点． （2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC，

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∴BD⊥AC，可知A（故

，m=2；

），

（Ⅱ）证明：由对称性可知B（﹣x0，y0），C（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0），四边形ABCD为矩形， 设E（x1，y1），由于A，E均在椭圆T上，则

，

由②﹣①得：（x1+x0）（x1﹣x0）+（m+1）（y1+y0）（y1﹣y0）=0， 显然x1≠x0，从而

∵AE⊥AC，∴kAE•kAC=﹣1，

=

，

∴，

解得，

代入椭圆方程，知．

【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．

18．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体， ∴B1C1⊥平面ABB1A1； ∵A1B⊂平面ABB1A1， ∴B1C1⊥A1B．

又∵A1B⊥AB1，B1C1∩AB1=B1， ∴A1B⊥平面ADC1B1， ∵A1B⊂平面A1BE，

∴平面ADC1B1⊥平面A1BE； （Ⅱ）证明：连接EF，EF∥

，且EF=

，

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设AB1∩A1B=O， 则B1O∥C1D，且

∴EF∥B1O，且EF=B1O， ∴四边形B1OEF为平行四边形． ∴B1F∥OE．

又∵B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE， ∴B1F∥平面A1BE， （Ⅲ）解：

=

=

=

=．

，

19．【答案】

2

x2=λ（λ≠0），

【解析】解：（1）设双曲线的方程为y﹣代入点P（﹣3

，4），可得λ=﹣16，

∴所求求双曲线的标准方程为

（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41， 又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6， 又|F1F2|=2c=10，

2222

∴d1+d2﹣2d1d2=36即有d1+d2=36+2d1d2=118，

222

∴|F1F2|=100=d1+d2﹣2d1d2cos∠F1PF2

∴cos∠F1PF2=

【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．

20．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】

试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD中

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点F，连结AF,PF，可证明PQ//AF，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明AC平面SEQ，即平面SAC平面SEQ. 试题解析：证明：（1）取SD中点F，连结AF,PF. ∵P、F分别是棱SC、SD的中点，∴FP//CD，且FP∵在菱形ABCD中，Q是AB的中点，

1CD. 21CD，即FP//AQ且FPAQ. 2∴AQPF为平行四边形，则PQ//AF.

∵PQ平面SAD，AF平面SAD，∴PQ//平面SAD.

∴AQ//CD，且AQ

考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.

【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 21．【答案】（1）详见解析；（2）233.

【解析】（1）由于AB2，AMBM2，则BMAM，

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又∵平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM＝AM，BM平面ABCM， ∴BM平面ADM，…………3分

又∵AD平面ADM，∴有ADBM；……………6分

22．【答案】

【解析】解：（1）由已知得：f′（x）=

．

≥0在[1，+∞）上恒成立．

要使函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，只需结合a＞0可知，只需a

，x∈[1，+∞）即可．

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易知，此时=1，所以只需a≥1即可．

=0得

．

（2）结合（1），令f′（x）=

当a≥1时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上递增，所以f（x）min=f（1）=0； 当

时，

，此时在[1，）上f′（x）＜0，在上递减，在

上f′（x）＞0，

所以此时f（x）在当

时，

上递增，所以f（x）min=f（）=1﹣lna﹣；

，故此时f′（x）＜0在[1，e]上恒成立，所以f（x）在[1，e]上递减，

．

所以f（x）min=f（e）=

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．

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