2021年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列四个选项中，为负整数的是( )
A. 0 B. −0.5 C. −√2 D. −2
2. 如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且𝑎+𝑏=0，若𝐴𝐵=6，则点A表示
的数为( )
A. −3
1
2
B. 0 C. 3 D. −6
3. 方程𝑥−3=𝑥的解为( )
A. 𝑥=−6 B. 𝑥=−2 C. 𝑥=2 D. 𝑥=6
4. 下列运算正确的是( )
A. |−(−2)|=−2 C. (𝑎2𝑏3)2=𝑎4𝑏6
5. 下列命题中，为真命题的是( )
B. 3+√3=3√3 D. (𝑎−2)2=𝑎2−4
(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形 (2)对角线互相垂直的四边形是菱形 (3)对角线相等的平行四边形是菱形 (4)有一个角是直角的平行四边形是矩形
A. (1)(2) B. (1)(4) C. (2)(4) D. (3)(4)
6. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖
的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为( )
A. 3
2
B. 2
1
C. 3
1
D. 6
1
7. 一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径
是24cm，若∠𝐴𝐶𝐵=60°，则劣弧AB的长是( )
A. 8𝜋𝑐𝑚 B. 16𝜋𝑐𝑚 C. 32𝜋𝑐𝑚 D. 192𝜋𝑐𝑚
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8. 抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，则当𝑥=2
时，y的值为( )
A. −5 B. −3 C. −1 D. 5
∠𝐶=90°，𝐴𝐶=6，𝐵𝐶=8，9. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，
将△𝐴𝐵𝐶绕点A逆时针旋转得到△𝐴𝐵′𝐶′，使点𝐶′落在AB边上，连结𝐵𝐵′，则sin∠𝐵𝐵′𝐶′的值为( )
A. 5 B. 5
5
C. √55 D. 2√5
4
3
10. 在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数𝑦=𝑥(𝑥>0)的图象上，点C
在函数𝑦=−𝑥(𝑥<0)的图象上，若点B的横坐标为−2，则点A的坐标为( )
4
7
1
A. (2,2)
1
2
B. (√,√2) 2
C. (2,2)
1
2
D. (√2,√) 2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 代数式√𝑥−6在实数范围内有意义时，x应满足的条件是______ ． 12. 方程𝑥2−4𝑥=0的实数解是______ ．
13. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，∠𝐴=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、
AB于点D、E，连结𝐵𝐷.若𝐶𝐷=1，则AD的长为______ ．
14. 一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑚=0有两个相等的实数根，点𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)是反比
例函数𝑦=𝑥上的两个点，若𝑥1<𝑥2<0，则𝑦1 ______ 𝑦2(填“<”或“>”或“=”)．
15. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐵=38°，点D是边AB上一点，点B关于直线
CD的对称点为𝐵′，当𝐵′𝐷//𝐴𝐶时，则∠𝐵𝐶𝐷的度数为______ ．
𝑚
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16. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一
点，且𝐵𝐸=3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点𝐻.并与⊙𝐴交于点K，连结HG、𝐶𝐻.给出下列四个结论.其中正确的结论有______ (填写所有正确结论的序号)． (1)𝐻是FK的中点 (2)△𝐻𝐺𝐷≌△𝐻𝐸𝐶
(3)𝑆△𝐴𝐻𝐺：𝑆△𝐷𝐻𝐶=9：16(4)𝐷𝐾=5 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分） 𝑦=𝑥−4
17. 解方程组{．
𝑥+𝑦=6
F在线段BC上，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐴=∠𝐷，18. 如图，点E、
𝐵𝐸=𝐶𝐹，证明：𝐴𝐸=𝐷𝐹．
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7
𝑚𝑛3𝑚𝑛19. 已知𝐴=(−)⋅√．
𝑛
𝑚
𝑚−𝑛
(1)化简A；
(2)若𝑚+𝑛−2√3=0，求A的值．
20. 某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统
计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4 根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数 人数 1 1 2 2 3 a 4 6 5 b 6 2 (1)表格中的𝑎= ______ ，𝑏= ______ ；
(2)在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为______ ，中位数为______ ； (3)若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
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21. 民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师
傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．
(1)若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次； (2)“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
22. 如图，在四边形ABCD中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，点E是AC的
中点，且𝐴𝐶=𝐴𝐷．
(1)尺规作图：作∠𝐶𝐴𝐷的平分线AF，交CD于点F，连结EF、𝐵𝐹(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图中，若∠𝐵𝐴𝐷=45°，且∠𝐶𝐴𝐷=2∠𝐵𝐴𝐶，证明：△𝐵𝐸𝐹为等边三角形．
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23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：𝑦=2𝑥+4分别与x轴，y轴相交于A、
B两点，点𝑃(𝑥,𝑦)为直线l在第二象限的点． (1)求A、B两点的坐标；
(2)设△𝑃𝐴𝑂的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)作△𝑃𝐴𝑂的外接圆⊙𝐶，延长PC交⊙𝐶于点Q，当△𝑃𝑂𝑄的面积最小时，求⊙𝐶的半径．
1
24. 已知抛物线𝑦=𝑥2−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+3．
(1)当𝑚=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上；
(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
(3)已知点𝐸(−1,−1)、𝐹(3,7)，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
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25. 如图，在菱形ABCD中，∠𝐷𝐴𝐵=60°，𝐴𝐵=2，点E为边AB上一个动点，延长
BA到点F，使𝐴𝐹=𝐴𝐸，且CF、DE相交于点G．
(1)当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形； (2)当𝐶𝐺=2时，求AE的长；
(3)当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、0是整数，但0既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意； B、−0.5是负分数，不是整数，故此选项不符合题意； C、−√2是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意； D、−2是负整数，故此选项符合题意． 故选：D．
根据整数的概念可以解答本题．
本题主要考查了实数的分类．明确大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵𝑎+𝑏=0， ∴𝑎=−𝑏，即a与b互为相反数． 又∵𝐴𝐵=6， ∴𝑏−𝑎=6． ∴2𝑏=6． ∴𝑏=3．
∴𝑎=−3，即点A表示的数为−3． 故选：A．
𝐴𝐵=6得𝑎<0，𝑏>0，𝑏=−𝑎，根据相反数的性质，由𝑎+𝑏=0，故AB=𝑏+(−𝑎)=6.进而推断出𝑎=−3．
本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：去分母，得𝑥=2𝑥−6， ∴𝑥=6．
经检验，𝑥=6是原方程的解． 故选：D．
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求解分式方程，根据方程的解得结论．
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、|−(−2)|=2，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、3与√3不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意； C、(𝑎2𝑏3)2=𝑎4𝑏6，原计算正确，故本选项符合题意；
D、(𝑎−2)2=𝑎2−4𝑎+4，原计算错误，故本选项不符合题意． 故选：C．
根据绝对值的定义、二次根式的运算法则、幂的乘方和积的乘方的运算法则，完全平方公式等知识进行计算即可．
本题考查绝对值、二次根式、幂的乘方和积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意； (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； (3)对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意； (4)有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意， 真命题为(1)(4)， 故选：B．
利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大．
6.【答案】B
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【解析】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种， ∴恰好抽到2名女学生的概率为12=2， 故选：B．
画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6
1
7.【答案】B
【解析】解：由题意得：CA和CB分别与⊙𝑂分别相切于点A和点B， ∴𝑂𝐴⊥𝐶𝐴，𝑂𝐵⊥𝐶𝐵， ∴∠𝑂𝐴𝐶=∠𝑂𝐵𝐶=90°， ∵∠𝐴𝐶𝐵=60°， ∴∠𝐴𝑂𝐵=120°， ∴
120𝜋×24180
=16𝜋(𝑐𝑚)，
故选：B．
首先利用相切的定义得到∠𝑂𝐴𝐶=∠𝑂𝐵𝐶=90°，然后根据∠𝐴𝐶𝐵=60°求得∠𝐴𝑂𝐵=120°，从而利用弧长公式求得答案即可．
考查了弧长公式和圆周角定理，解题时，熟记弧长公式和圆周角定理即可解答，属于基础题．
8.【答案】A
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【解析】解：如图
∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)， ∴可画出上图， ∵抛物线对称轴𝑥=
−1+32
=1，
∴点(0,−5)的对称点是(2,−5)， ∴当𝑥=2时，y的值为−5． 故选：A．
根据抛物线于x周两交点，及于y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求𝑦=−5．
本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵∠𝐶=90°，𝐴𝐶=6，𝐵𝐶=8， ∴𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=√36+64=10， ∵将△𝐴𝐵𝐶绕点A逆时针旋转得到△𝐴𝐵′𝐶′，
∴𝐴𝐶=𝐴𝐶′=6，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′=8，∠𝐶=∠𝐴𝐶′𝐵′=90°， ∴𝐵𝐶′=4，
∴𝐵′𝐵=√𝐶′𝐵′2+𝐵′𝐶′2=√16+64=4√5， ∴sin∠𝐵𝐵′𝐶′=𝐵𝐵′=4故选：C．
𝐵𝐶=𝐵′𝐶′=8，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得𝐴𝐶=𝐴𝐶′=6，∠𝐶=∠𝐴𝐶′𝐵′=90°，在𝑅𝑡△𝐵𝐵′𝐶′中，由勾股定理可求𝐵𝐵′的长，即可求解．
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𝐵𝐶′
4√=
5√5， 5
本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出𝐵𝐵′长是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，作𝐴𝐷⊥𝑥轴于D，𝐶𝐸⊥𝑥轴于E，
∵四边形OABC是矩形， ∴∠𝐴𝑂𝐶=90°， ∴∠𝐴𝑂𝐷+∠𝐶𝑂𝐸=90°， ∵∠𝐴𝑂𝐷+∠𝑂𝐴𝐷=90°， ∴∠𝐶𝑂𝐸=∠𝑂𝐴𝐷， ∵∠𝐶𝐸𝑂=∠𝑂𝐷𝐴， ∴△𝐶𝑂𝐸∽△𝑂𝐴𝐷， ∴
𝑆△𝐶𝑂𝐸𝑆△𝐴𝑂𝐷
=()2，==𝑂𝐴， 𝑂𝐴𝐴𝐷𝑂𝐷
1
1
1
𝑂𝐶𝑂𝐸𝐶𝐸𝑂𝐶
∵𝑆△𝐶𝑂𝐸=2×|−4|=2，𝑆△𝐴𝑂𝐷=2×1=2， ∴
𝑂𝐸𝐴𝐷
=
𝐶𝐸𝑂𝐷
=
=，
𝑂𝐴1
𝑂𝐶2
∴𝑂𝐸=2𝐴𝐷，𝐶𝐸=2𝑂𝐷， 设𝐴(𝑚,𝑚)(𝑚>0)， ∴𝐶(−𝑚,2𝑚)， ∴𝑂𝐸=0−(−)=， 𝑚𝑚∵点B的横坐标为−2， ∴𝑚−(−2)=𝑚，
整理得2𝑚2+7𝑚−4=0， ∴𝑚1=2，𝑚2=−4(舍去)， ∴𝐴(2,2)， 故选：A．
𝐶𝐸⊥𝑥轴于E，如图，作𝐴𝐷⊥𝑥轴于D，通过证得△𝐶𝑂𝐸∽△𝑂𝐴𝐷得到𝐴𝐷=𝑂𝐷=𝑂𝐴=1，
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𝑂𝐸
𝐶𝐸
𝑂𝐶
2
1
17
2
72
2
21
则𝑂𝐸=2𝐴𝐷，𝐶𝐸=2𝑂𝐷，设𝐴(𝑚,𝑚)(𝑚>0)，则𝐶(−𝑚,2𝑚)，由𝑂𝐸=0−(−𝑚)=𝑚得到𝑚−(−2)=𝑚，解分式方程即可求得A的坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，表示出点的坐标是解题的关键．
7
2
1222
11.【答案】𝑥≥6
【解析】解：代数式√𝑥−6在实数范围内有意义时，𝑥−6≥0， 解得𝑥≥6，
∴𝑥应满足的条件是𝑥≥6． 故答案为：𝑥≥6．
二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
12.【答案】𝑥1=0，𝑥2=4
【解析】解：方程𝑥2−4𝑥=0， 分解因式得：𝑥(𝑥−4)=0， 可得𝑥=0或𝑥−4=0， 解得：𝑥1=0，𝑥2=4． 故答案为：𝑥1=0，𝑥2=4． 方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：∵𝐷𝐸垂直平分AB， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，
∵∠𝐶=90°，∠𝐴=30°，𝐶𝐷=1， ∴𝐵𝐷=2𝐶𝐷=2，
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∴𝐴𝐷=2． 故答案为2．
由线段垂直平分线的性质可得𝐴𝐷=𝐵𝐷，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD的长，进而求解．
本题主要考查线段的垂直平分线，含30°角的直角三角形的性质，求得𝐴𝐷=𝐵𝐷是解题的关键．
14.【答案】>
【解析】解：∵一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑚=0有两个相等的实数根， ∴𝛥=16−4𝑚=0， 解得𝑚=4， ∵𝑚>0，
∴反比例函数𝑦=𝑥图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少， ∵𝑥1<𝑥2<0， ∴𝑦1>𝑦2， 故答案为>．
由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数𝑦=𝑥图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论．
本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
𝑚
𝑚
15.【答案】32°
【解析】解：∵𝐴𝐶=𝐵𝐶， ∴∠𝐴=∠𝐵=38°， ∵𝐵′𝐷//𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵′=∠𝐴=38°，
∵点B关于直线CD的对称点为𝐵′，
∴∠𝐶𝐷𝐵′=∠𝐶𝐷𝐵=2(38°+180°)=109°，
∴∠𝐵𝐶𝐷=180°−∠𝐵−∠𝐶𝐷𝐵=180°−39°−109°=32°．
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1
故答案为32°．
先根据等腰三角形的性质得到∠𝐴=∠𝐵=38°，再利用平行线的性质得∠𝐴𝐷𝐵′=∠𝐴=38°，接着根据轴对称的性质得到∠𝐶𝐷𝐵′=∠𝐶𝐷𝐵，则可出∠𝐶𝐷𝐵的度数，然后利用三角形内角和计算出∠𝐵𝐶𝐷的度数．
本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．
16.【答案】(1)(3)(4)
【解析】解：(1)在△𝐴𝐵𝐸与△𝐷𝐴𝐹中， 𝐴𝐷=𝐴𝐵
{∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐴𝐵𝐸， 𝐴𝐹=𝐵𝐸
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐴𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐴𝐸𝐵，
∴∠𝐴𝐹𝐷+∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐵𝐴𝐸=90°， ∴𝐴𝐻⊥𝐹𝐾， 由垂径定理， 得：𝐹𝐻=𝐻𝐾，
即H是FK的中点，故(1)正确；
(2)如图，过H分别作𝐻𝑀⊥𝐴𝐷于M，𝐻𝑁⊥𝐵𝐶于N，
∵𝐴𝐵=4，𝐵𝐸=3， ∴𝐴𝐸=√𝐴𝐵2+𝐵𝐸2=5， ∵∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐻𝐴𝐹=∠𝐴𝐻𝑀，
∴cos∠𝐵𝐴𝐸=cos∠𝐻𝐴𝐹=cos∠𝐴𝐻𝑀， ∴
𝐴𝑀𝐴𝐻
=𝐴𝐹=𝐴𝐸=5，
𝐴𝐻𝐴𝐵4
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∴𝐴𝐻=
12
，𝐻𝑀=25， 5
4825
48
∴𝐻𝑁=4−=
5225
，
即𝐻𝑀≠𝐻𝑁， ∵𝑀𝑁//𝐶𝐷， ∴𝑀𝐷=𝐶𝑁，
∵𝐻𝐷=√𝐻𝑀2+𝑀𝐷2， 𝐻𝐶=√𝐻𝑁2+𝐶𝑁2， ∴𝐻𝐶≠𝐻𝐷，
∴△𝐻𝐺𝐷≌△𝐻𝐸𝐶是错误的，故(2)不正确； (3)由(2)知，𝐴𝑀=√𝐴𝐻2−𝐻𝑀2=25， ∴𝐷𝑀=4−
3625
36
=
6425
，
∵𝑀𝑁//𝐶𝐷， ∴𝑀𝐷=𝐻𝑇=25， ∴
𝑆△𝐴𝐻𝐺𝑆△𝐻𝐶𝐷
64
=
1
𝐴𝐺⋅𝐻𝑀21𝐶𝐷⋅𝐻𝑇2=
9
16
，故(3)正确；
9
(4)由(2)知，𝐻𝐹=√𝐴𝐹2−𝐴𝐻2=5， ∴𝐹𝐾=2𝐻𝐹=
185
，
7
∴𝐷𝐾=𝐷𝐹−𝐹𝐾=5，故(4)正确．
(1)先证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐴𝐹，得∠𝐴𝐹𝐷+∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐵𝐴𝐸=90°，𝐴𝐻⊥𝐹𝐾，由垂径定理，得：𝐹𝐻=𝐻𝐾，即H是FK的中点； (2)只要证明题干任意一组对应边不相等即可；
(3)分别过H分别作𝐻𝑀⊥𝐴𝐷于M，𝐻𝑁⊥𝐵𝐶于N，由余弦三角函数和勾股定理算出了HM，HT，再算面积，即得𝑆△𝐴𝐻𝐺：𝑆△𝐷𝐻𝐶=9：16； (4)余弦三角函数和勾股定理算出了FK，即可得DK．
本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，数学应用三角函数快速计算是本题关键．
17.【答案】解：{
𝑦=𝑥−4①
，
𝑥+𝑦=6②
将①代入②得，𝑥+(𝑥−4)=6， ∴𝑥=5，
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将𝑥=5代入①得，𝑦=1， 𝑥=5
∴方程组的解为{．
𝑦=1
【解析】用代入消元法解二元一次方程组即可．
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】证明：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴∠𝐵=∠𝐶． 在△𝐴𝐵𝐸和△𝐷𝐶𝐹中，
∠𝐴=∠𝐷,{∠𝐵=∠𝐶, 𝐵𝐸=𝐶𝐹,
∴△𝐴𝐵𝐸≌𝐷𝐶𝐹(𝐴𝐴𝑆)． ∴𝐴𝐸=𝐷𝐹．
【解析】欲证𝐴𝐸=𝐷𝐹，可证△𝐴𝐵𝐸≌𝐷𝐶𝐹.由𝐴𝐵//𝐶𝐷，得∠𝐵=∠𝐶.又因为∠𝐴=∠𝐷，𝐵𝐸=𝐶𝐹，所以△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹．
本题主要考查平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
𝑛√3𝑚𝑛19.【答案】解：(1)𝐴=(𝑚 −)⋅
𝑛𝑚𝑚−𝑛
𝑚2−𝑛2√3𝑚𝑛 =⋅
𝑚𝑛𝑚−𝑛=
=√3(𝑚+𝑛)；
(2)∵𝑚+𝑛−2√3=0， ∴𝑚+𝑛=2√3，
当𝑚+𝑛=2√3时，𝐴=√3×2√3=6．
(𝑚+𝑛)(𝑚−𝑛)√3𝑚𝑛 ⋅
𝑚𝑛𝑚−𝑛
【解析】(1)根据分式的减法和除法可以化简A；
(2)根据𝑚+𝑛−2√3=0，可以得到𝑚+𝑛=2√3，然后代入(1)中化简后的A，即可求得A的值．
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本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．
20.【答案】4 5 4 4
【解析】解：(1)由该20名学生参加志愿者活动的次数得：𝑎=4，𝑏=5， 故答案为：4，5；
(2)该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6， ∵4出现的最多，由6次，
∴众数为4，中位数为第10，第11个数的平均数故答案为：4，4； (3)300×20=90(人)．
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人． (1)由题中的数据即可求解；
(2)根据中位数、众数的定义，即可解答； (3)根据样本估计总体，即可解答．
此题考查了频数分布表，众数、中位数，样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，众数是一组数据中出现次数最多的数．
6
4+42
=4，
21.【答案】解：(1)设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今
年计划新增加培训2x万人次， 依题意得：31+2𝑥+𝑥=100， 解得：𝑥=23．
答：“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次． (2)设李某的年工资收入增长率为m， 依题意得：9.6(1+𝑚)≥12.48， 解得：𝑚≥0.3=30%．
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
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【解析】(1)设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，根据今年计划新增加培训共100万人次，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)设李某的年工资收入增长率为m，利用李某今年的年工资收入=李某去年的年工资收入×(1+增长率)，结合预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】(1)解：如图，图形如图所示．
(2)证明：∵𝐴𝐶=𝐴𝐷，AF平分∠𝐶𝐴𝐷， ∴∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐷𝐴𝐹，𝐴𝐹⊥𝐶𝐷， ∵∠𝐶𝐴𝐷=2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=45°， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐹𝐴𝐷=15°， ∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐹𝐶=90°，𝐴𝐸=𝐸𝐶， ∵𝐵𝐸=𝐴𝐸=𝐸𝐶，𝐸𝐹=𝐴𝐸=𝐸𝐶，
∴𝐸𝐵=𝐸𝐹，∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐸𝐵𝐴=15°，∠𝐸𝐴𝐹=∠𝐸𝐹𝐴=15°， ∴∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐸𝐵𝐴=30°，∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐸𝐴𝐹+∠𝐸𝐹𝐴=30°， ∴∠𝐵𝐸𝐹=60°， ∴△𝐵𝐸𝐹是等边三角形．
【解析】(1)根据要求作出图形即可．
(2)想办法证明𝐸𝐵=𝐸𝐹，∠𝐵𝐸𝐹=60°，可得结论．
本题考查作图−基本作图，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解
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题的关键是证明𝐸𝐵=𝐸𝐹，∠𝐵𝐸𝐹=60°．
23.【答案】解：(1)∵直线𝑦=2𝑥+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，
∴当𝑥=0时，𝑦=4； 当𝑦=0时，𝑥=−8， ∴𝐴(−8,0)，𝐵(0,4)；
(2)∵点𝑃(𝑥,𝑦)为直线l在第二象限的点， ∴𝑃(𝑥,𝑥+4)，
21
1
∴𝑆△𝐴𝑃𝑂=𝑂𝐴×(𝑥+4)=4×(𝑥+4)=2𝑥+16(−8<𝑥<0)；
2
2
2
111
∴𝑆=2𝑥+16(−8<𝑥<0)； (3)∵𝐴(−8,0)，𝐵(0,4)， ∴𝑂𝐴=8，𝑂𝐵=4，
在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐵中，由勾股定理得： 𝐴𝐵=√𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=√82+42=4√5， 在⊙𝐶中，∵𝑃𝑄是直径， ∴∠𝑃𝑄𝑂=90°， ∵∠𝐵𝐴𝑂=∠𝑄， ∴𝑡𝑎𝑛𝑄=tan∠𝐵𝐴𝑂=，
2∴𝑂𝑄=2， ∴𝑂𝑄=2𝑂𝑃，
∴𝑆△𝑃𝑂𝑄=𝑂𝑃×𝑂𝑄=𝑂𝑃×2𝑂𝑃=𝑂𝑃2，
2
2
1
1
𝑃𝑂
1
1
∴当𝑆△𝑃𝑂𝑄最小，则OP最小时， ∵点P在线段AB上运动， ∴当𝑂𝑃⊥𝐴𝐵时，OP最小，
∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=2×𝑂𝐴×𝑂𝐵=2×𝐴𝐵×𝑂𝑃， ∴𝑂𝑃=
𝑂𝐴×𝑂𝐵𝐴𝐵1
1
=48×4√=58√5， 5
∵𝑠𝑖𝑛𝑄=sin∠𝐵𝐴𝑂， ∴𝑃𝑄=𝐴𝐵，
𝑂𝑃
𝑂𝐵
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∴
8√55𝑃𝑄
=
44√5，
∴𝑃𝑄=8， ∴⊙𝐶半径为4．
y轴相交于A、B两点，(1)根据直线𝑦=2𝑥+4分别与x轴，【解析】令𝑥=0，则𝑦=4；令𝑦=0，则𝑥=−8，即得A，B的坐标；
(2)设𝑃(𝑥,2𝑥+4)，根据三角形面积公式，表示出S关于x的函数解析式，根据P在线段AB上得出x的取值范围；
(3)将𝑆△𝑃𝑂𝑄表示为𝑂𝑃2，从而当△𝑃𝑂𝑄的面积最小时，此时OP最小，而𝑂𝑃⊥𝐴𝐵时，OP最小，借助三角函数求出此时的直径即可解决问题．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征、圆的性质、以及三角函数的知识，将𝑆△𝑃𝑂𝑄表示为𝑂𝑃2是解决问题的关键．
1
1
24.【答案】解：(1)当𝑚=0时，抛物线为𝑦=𝑥2−𝑥+3，
将𝑥=2代入得𝑦=4−2+3=5， ∴点(2,4)不在抛物线上；
(2)抛物线𝑦=𝑥2−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+3的顶点为(化简得(
𝑚+1−𝑚2+6𝑚+112
𝑚+14(2𝑚+3)−[−(𝑚+1)]22
,
4
)，
,
4
)，
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大， 而
−𝑚2+6𝑚+11
4
=−4(𝑚−3)2+5，
1
∴𝑚=3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处， 此时顶点坐标为：(2,5)；
(3)设直线EF解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，将𝐸(−1,−1)、𝐹(3,7)代入得： −1=−𝑘+𝑏𝑘=2
{，解得{， 7=3𝑘+𝑏𝑏=1∴直线EF的解析式为𝑦=2𝑥+1，
𝑦=2𝑥+1𝑥=2𝑥=𝑚+1由{得：{或{， 2𝑦=5𝑦=2𝑚+3𝑦=𝑥−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+3
∴直线𝑦=2𝑥+1与抛物线𝑦=𝑥2−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+3的交点为：(2,5)和(𝑚+1,2𝑚+3)，
而(2,5)在线段EF上，
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∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则(𝑚+1,2𝑚+3)不在线段EF上，或(2,5)与(𝑚+1,2𝑚+3)重合，
∴𝑚+1<−1或𝑚+1>3或𝑚+1=2(此时2𝑚+3=5)， ∴此时抛物线顶点横坐标𝑥顶点=
𝑚+12
<−2或𝑥顶点=
1𝑚+12
>2或𝑥顶点=
3𝑚+12
=
1+12
=1．
【解析】(1)当𝑚=0时，抛物线为𝑦=𝑥2−𝑥+3，将𝑥=2代入得𝑦=5，故点(2,4)不在抛物线上；
(2)抛物线𝑦=𝑥2−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+3的顶点为(
14
𝑚+1−𝑚2+6𝑚+112
,
4
)，而
−𝑚2+6𝑚+11
4
=
−(𝑚−3)2+5，即得𝑚=3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：(2,5)；
𝑦=2𝑥+1(3)求出直线EF的解析式为𝑦=2𝑥+1，由{得直线𝑦=
𝑦=𝑥2−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+32𝑥+1与抛物线𝑦=𝑥2−(𝑚+1)𝑥+2𝑚+3的交点为：(2,5)和(𝑚+1,2𝑚+3)，因(2,5)在线段EF上，由已知可得(𝑚+1,2𝑚+3)不在线段EF上，即是𝑚+1<−1或𝑚+1>3，或(2,5)与(𝑚+1,2𝑚+3)重合，可得抛物线顶点横坐标𝑥顶点=
𝑚+12
𝑚+12
1
<−2或𝑥顶点=
>2或𝑥顶点=1．
3
本题考查二次函数的综合应用，涉及图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与线段交点等知识，解题的关键是用m的代数式表示抛物线与直线交点的坐标．
25.【答案】解：(1)连接DF，CE，如图所示：
，
∵𝐸为AB中点， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐹=2𝐴𝐵， ∴𝐸𝐹=𝐴𝐵，
∵四边形ABCD是菱形， ∴𝐸𝐹//𝐴𝐵，
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1
∴四边形DFEC是平行四边形．
(2)作𝐶𝐻⊥𝐵𝐻，设𝐴𝐸=𝐹𝐴=𝑚，如图所示，
，
∵四边形ABCD是菱形， ∴𝐶𝐷//𝐸𝐹， ∴△𝐶𝐷𝐺∽△𝐹𝐸𝐺， ∴𝐶𝐺=𝐹𝐺， ∴𝐹𝐺=2𝑚，
在𝑅𝑡△𝐶𝐵𝐻中，∠𝐶𝐵𝐻=60°，𝐵𝐶=2， 𝑠𝑖𝑛60°=𝐵𝐶，𝐶𝐻=√3， 𝑐𝑜𝑠60°=
𝐵𝐻𝐵𝐶𝐶𝐻
𝐶𝐷
𝐸𝐹
，𝐵𝐶=1，
在𝑅𝑡△𝐶𝐹𝐻中，𝐶𝐹=2+2𝑚，𝐶𝐻=√3，𝐹𝐻=3+𝑚， 𝐶𝐹²=𝐶𝐻²+𝐹𝐻²，
即(2+2𝑚)²=(√3)²+(3+𝑚)²， 整理得：3𝑚²+2𝑚−8=0， 解得：𝑚1=3，𝑚2=−2(舍去)， ∴𝐴𝐸=．
3
(3)因H点沿线段AB直线运动，F点沿线段BA的延长线直线运动，并且𝐶𝐷//𝐴𝐵，线段ED与线段CF的交点G点运动轨迹为线段AG，运动刚开始时，A、F、H、G四点重合，当H点与B点重合时，G点运动到极限位置，所以G点轨迹为线段AG， 如图所示，作𝐺𝐻⊥𝐴𝐵，
4
4
第23页，共24页
∵四边形ABCD为菱形，∠𝐷𝐴𝐵=60°，𝐴𝐵=2， ∴𝐶𝐷//𝐵𝐹，𝐵𝐷=2， ∴△𝐶𝐷𝐺∽△𝐹𝐵𝐺， ∴
𝐶𝐷𝐵𝐹
=
𝐷𝐺𝐵𝐺
，即𝐵𝐺=2𝐷𝐺，
∵𝐵𝐺+𝐷𝐺=𝐵𝐷=2， ∴𝐵𝐺=3，
在𝑅𝑡△𝐺𝐻𝐵中，𝐵𝐺=3，∠𝐷𝐵𝐴=60°， 𝑠𝑖𝑛60°=𝑐𝑜𝑠60°=
𝐺𝐻
4
4
，𝐺𝐻=𝐵𝐺
𝐵𝐻
2√332
，
，𝐵𝐻=3， 𝐵𝐺
2
4
2√3， 3
在𝑅𝑡△𝐴𝐻𝐺中，𝐴𝐻=2−3=3，𝐺𝐻=𝐴𝐺²=()²+(
34
2√3)²3
=
289
，
∴𝐴𝐺=
2√7． 3
2√73
∴𝐺点路径长度为
．
【解析】(1)利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形， (2)利用三角形相似，求出此时FG的长，再借助直角三角形勾股定理求解， (3)利用图形法，判断G点轨迹为一条线段，在对应点处求解．
本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和勾股定理求解．
第24页，共24页
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