晋源区第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． （2011辽宁）设sin（A．﹣　

2． 若复数z=A．3

B．6

B．﹣

+θ）=，则sin2θ=（

C．

）

D．

）

（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ C．9

D．12

3． 已知在平面直角坐标系xOy中，点A(0,n)，B(0,n)（n0）.命题p：若存在点P在圆

(x3)2(y1)21上，使得APB2，则1n3；命题：函数f(x)4log3x在区间xD．(p)q(3,4)内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）

A．p(q) 4． 求值：

B．pq =（

）

C．(p)q

A．tan 38°B．C．D．﹣　

5． 设i是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6． 函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（ A．（0，1）B．（1，2）C．（2.3）

）

D．（3，4）

）

7． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）

A.4 能力．

B.25C. 5D. 225【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算8． 已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（

）

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A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥α

C．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β　

9． 下列函数中，为偶函数的是（ ）A．y=x+1　

10．已知点P（x，y）的坐标满足条件）A．

B．

C．﹣6

D．6

对称”是“θ=﹣

”的（

）

，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，则k的值为（

B．y=

C．y=x4

D．y=x5

11．若f（x）=sin（2x+θ），则“f（x）的图象关于x=A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

）

C．充要条件D．既不充分又不必要条件12．函数y=2|x|的图象是（

A．B．C．D．

二、填空题

13．函数yfx图象上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2处的切线的斜率分别是kA，kB，规定

A,BkAkB（AB为线段AB的长度）叫做曲线yfx在点A与点B之间的“弯曲度”，给AB32出以下命题：

①函数yxx1图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则A,B②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A,B是抛物线yx1上不同的两点，则A,B2；

23；④设曲线ye（e是自然对数的底数）上不同两点Ax1,y1,Bx2,y2,且x1x21，若tA,B1x恒成立，则实数t的取值范围是,1.

2其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）

14．已知a[2,2]，不等式x(a4)x42a0恒成立，则的取值范围为__________.

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15．已知函数f（x）=

（写出你认为正确的所有结论的序号）

，则关于函数F（x）=f（f（x））的零点个数，正确的结论是　　．①k=0时，F（x）恰有一个零点．②k＜0时，F（x）恰有2个零点．③k＞0时，F（x）恰有3个零点．④k＞0时，F（x）恰有4个零点．　

16．在（1+x）（x2+）6的展开式中，x3的系数是　　．17．在直角梯形ABCD,ABAD,DC//AB,ADDC1,AB2,E,F分别为AB,AC的中点，

点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动（如图所示）．若APEDAF，其中,R，则2的取值范围是___________．

18．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且x(0,2)时f(x)x21，则f(7)的值为 ▲ ．三、解答题

19．设不等式

的解集为.

与

的大小。

（1）求集合；（2）若，∈，试比较

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20．（本小题满分12分）1111]

1已知函数fxalnxa0，aR．

x（1）若a1，求函数fx的极值和单调区间；

（2）若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得fx00成立，求实数的取值范围．

21．（1）已知f（x）的定义域为[﹣2，1]，求函数f（3x﹣1）的定义域；（2）已知f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，求函数f（x）的定义域．

22．在平面直角坐标系xOy中，经过点和Q．

（Ⅰ）求k的取值范围；

且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P

（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

与共线？

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23．等差数列{an} 中，a1=1，前n项和Sn满足条件（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式和Sn；

（Ⅱ）记bn=an2n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．

，

24．设M是焦距为2的椭圆E： +

．

=1（a＞b＞0）A、B是椭圆E的左、上一点，右顶点，直线MA

与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣（1）求椭圆E的方程；（2）已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）上点N（x0，y0）处切线方程为

+=1，若P

是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．　

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晋源区第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：由sin（+θ）=sincosθ+cossinθ=（sinθ+cosθ）=，

两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．故选A

【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．　

2． 【答案】A【解析】解：复数z=由条件复数z=解得a=3．故选：A．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．　

3． 【答案】A【解析】

试题分析：命题p：APB=

=

．

（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，

2,则以AB为直径的圆必与圆x3y1221有公共点,所以

n12n1,解得1n3,因此,命题p是真命题.命题：函数fx44x，f41log30,log3x4log330,且fx在3,4上是连续不断的曲线,所以函数fx在区间3,4内有零点，因此,命题是3假命题.因此只有p(q)为真命题．故选A．f3考点：复合命题的真假．

【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P满足APB2,因此在以AB为直径的圆上,又点P在圆

(x3)2(y1)21上，因此P为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数

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f(x)4log3x是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.x4． 【答案】C

【解析】解：故选：C．

=tan（49°+11°）=tan60°=，

【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．　

5． 【答案】B

【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ），且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限，∴故选：B．

【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．　

6． 【答案】A

【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，

∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．故选A

【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．　

7． 【答案】B

，∴θ为第二象限角，

8． 【答案】D

【解析】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；

在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．

【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　

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9． 【答案】C

【解析】解：对于A，既不是奇函数，也不是偶函数，对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，

对于C，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），则是偶函数，对于D，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，故选：C．

【点评】本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．　

10．【答案】 B

【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，由（

，解得y=0，x=，

，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣

，

故选B．

【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．　

11．【答案】B

【解析】解：若f（x）的图象关于x=则2×

+θ=

+kπ，

对称，

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解得θ=﹣+kπ，k∈Z，此时θ=﹣不一定成立，

反之成立，

即“f（x）的图象关于x=故选：B

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．　

12．【答案】B

【解析】解：∵f（﹣x）=2|﹣x|=2|x|=f（x）∴y=2|x|是偶函数，

又∵函数y=2|x|在[0，+∞）上单调递增，故C错误．且当x=0时，y=1；x=1时，y=2，故A，D错误故选B

【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中根据函数的解析式，分析出函数的性质，进而得到函数的形状是解答本题的关键．　

对称”是“θ=﹣

”的必要不充分条件，

二、填空题

13．【答案】②③【解析】

试题分析：①错：A(1,1),B(2,5),|AB|17,|kAkB|7,(A,B)②对：如y1；③对；(A,B)④错；(A,B)73；172|2xA2xB|(xAxB)(xx)x2222A22B21(xAxB)，2；

|ex1ex2|(x1x2)(ee)2x1|ex1ex2|1(ee)x1x221(ex1ex2)2111t11,因为恒成立，故t1.故答案为②③.111]

(A,B)(A,B)|ex1ex2|(ex1ex2)2考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.14．【答案】(,0)(4,)第 9 页，共 16 页

【解析】

2]时恒成立,只要满足在a[-2，2]时直线在轴上方试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在a[-2，2]，即可，设关于的函数yf(x)x(a4)x42a(x2)ax4x4对任意的a[-2，当a-222时，yf(a)f(2)x(24)x440，即f(2)x6x80，解得x2或x4；当a222时，yf(2)x(24)x440，即f(2)x2x0，解得x0或x2，∴的取值范围是

22{x|x0或x4}；故答案为：(,0)(4,)．

考点：换主元法解决不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简

2]时恒成立,只要满足在a[-2，2]时直线在轴洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在a[-2，上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.

15．【答案】　②④　

【解析】解：①当k=0时，

此时有无穷多个零点，故①错误；

②当k＜0时，（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=kx+1≥1，此时f（f（x））=f（kx+1）=（Ⅱ）当0＜x≤1时，f（f（x））=f（（Ⅲ）当x＞1时，

）=

，此时

，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；

，此时f（f（x））=f（

）=k

+1＞0，此时无零点．

，令f（f（x））=0，可得：x=0；，当x≤0时，f（x）=1，则f（f（x））=f（1）=

=0，

综上可得，当k＜0时，函数有两零点，故②正确；③当k＞0时，（Ⅰ）当x≤令f（f（x））=0，可得：（Ⅱ）当x=0，满足；

时，kx+1≤0，此时f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，

，满足；

，令f（f（x））=0，可得：

时，kx+1＞0，此时f（f（x））=f（kx+1）=

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（Ⅲ）当0＜x≤1时，可得：x=

，满足；

，此时f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，

（Ⅳ）当x＞1时，＞1，满足；

，此时f（f（x））=f（）=k+1，令f（f（x））=0得x=：

综上可得：当k＞0时，函数有4个零点．故③错误，④正确．故答案为：②④．

【点评】本题考查复合函数的零点问题．考查了分类讨论和转化的思想方法，要求比较高，属于难题．

16．【答案】　20　．

【解析】解：（1+x）（x2+）6的展开式中，

x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；又（x2+）6的展开式中，通项公式为 Tr+1=

•x12﹣3r，

令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意；令12﹣3r=2，解得r=

，不合题意，舍去；

=20．

所以展开式中x3的系数是故答案为：20．　

17．【答案】1,1【解析】

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考

点：向量运算．

【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．18．【答案】2【解析】1111]

试题分析：f(x4)f(x)T4,所以f(7)f(1)f(1)2.考点：利用函数性质求值

三、解答题

19．【答案】（1）（2）

【解析】（1）由所以

（2）由（1）和所以故

1；（2）20．【答案】（1）极小值为，单调递增区间为1，，单调递减区间为0，，

1a，e，．

e【解析】

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11x12．令f'x0x1．再利用导数工具可得：极小值和x2xx11单调区间；（2）求导并令f'x0x，再将命题转化为fx在区间(0，e]上的最小值小于．当x0，

aa试题分析：（1）由a1f'x即a0时，f'x0恒成立，即fx在区间(0，e]上单调递减，再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111]

①

1，则f'x0对x(0，e]成立，所以fx在区间(0，e]上单调递减，a11则fx在区间(0，e]上的最小值为fealnea0，

ee若e显然，fx在区间(0，e]的最小值小于0不成立．②若0

f'xfx11e，即a时，则有ae10，a-↘

1a0极小值

1，ea+

↗

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11所以fx在区间(0，e]上的最小值为faaln，

aa11由faalna1lna0，得1lna0，解得ae，即ae，，

aa1综上，由①②可知，a，e，符合题意．……………………………………12分

e考点：1、函数的极值；2、函数的单调性；3、函数与不等式.

【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.21．【答案】

【解析】解：（1）∵函数y=f（x）的定义域为[﹣2，1]，由﹣2≤3x﹣1≤1得：x∈[﹣，]，

故函数y=f（3x﹣1）的定义域为[﹣，]；’（2）∵函数f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，∴x∈[﹣1，4]，∴2x+5∈[3，13]，

故函数f（x）的定义域为：[3，13]．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为代入椭圆方程得整理得

．①

，

．

，

，

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=解得

或

．即k的取值范围为

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程①，又

． ②． ③

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而所以

与

共线等价于

．，

将②③代入上式，解得由（Ⅰ）知

或

．

，

故没有符合题意的常数k．

【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由

=4得

=4，

所以a2=3a1=3且d=a2﹣a1=2，所以an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，

=

（Ⅱ）由bn=an2n﹣1，得bn=（2n﹣1）2n﹣1．所以Tn=1+321+522+…+（2n﹣1）2n﹣1

①

②

2Tn=2+322+523+…+（2n﹣3）2n﹣1+（2n﹣1）2n ①﹣②得：﹣Tn=1+22+222+…+22n﹣1﹣（2n﹣1）2n=2（1+2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n﹣1=2×

=2n（3﹣2n）﹣3．∴Tn=（2n﹣3）2n+3．

【点评】本题主要考查数列求和的错位相减，错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点．　

24．【答案】

【解析】（1）解：设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则即n2=b2•由k1k2=﹣

，即

，•

=﹣

，

+

=1，

﹣（2n﹣1）2n﹣1

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即有=﹣，

即为a2=2b2，又c2=a2﹣b2=1，解得a2=2，b2=1．即有椭圆E的方程为

+y2=1；

（2）证明：设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），则两切线方程PC，PD分别为：

+y1y=1，

+y2y=1，+y1y=1，

+y2y=1，

由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足得：x1+y1t=1，x2+y2t=1，

故C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程x+ty=1，即x+ty=1为CD的直线方程．令y=0，则x=1，故CD过定点（1，0）．

【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．　

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