1、 假定到期收益率曲线是水平的，都是5%。一个债券票面利率为6%，每年支付一次利息，期限3年。如果到期收益率曲线平行上升一个百分点，请计算债券价格的变化。
债券原价格
P=
66106++=102.7223 1.051.051.05
新价格
P=
66106++=100
1.061.0621.063
债券价格下降2.72元
2、 假定某债券面值为100元，期限为3年，票面利率为年6%，一年支付两次利息。请计算债券本息累积到第3年年底的总价值（再投资收益率为半年3%）。
=3(1+3%)5+(1+3%)4+(1+3%)3+(1+3%)2+(1+3%)1+(1+3%)0+100
=119.4
3、假定某债券面值为100元，期限为3年，票面利率为年6%，一年支付两次利息。投资者购买价格为103元，请计算在再投资收益率为年4%的情况下投资者的年收益率。
[]总收益
543210
⎤=3⎡(1+2%)+(1+2%)+(1+2%)+(1+2%)+(1+2%)+(1+2%)⎣⎦+100
=118.92收益率
1
3
y=(118.92/103)−1=4.91%
4、一个投资者按85元的价格购买了面值为100元的两年期零息债券。投资者预计这两年的通货膨胀率将分别为4%和5%。请计算该投资者购买这张债券的真实到期收益率。
因为
2
（（（=1+i真）*1+4%）*1+5%）
100
85
所以
i真=3.8%
5、一个债券期限为5年，票面利率为5%，面值为100元，一年支付利息两次，目前的价格为105元。求该债券的到期收益率和年有效收益率。 约当收益率=2*1.94%=3.88% 年有效收益率=3.92%
(1+1.94%)2−1=3.92%
1
6、一个20年期限的债券，面值100元，现在价格110元，票面利率6%，一年两次付息。5年后可以按面值回购，计算该债券的到期收益率和至第一回购日的到期收益率。 到期收益率（b.e.b.）=2.6%*2=5.2% 至第一回购日的到期收益率=1.89%*2=3.98%
7、某投资者购买一张债券，面值为1000元，价格为1100元。偿还期为8年，票面利率为8%（一年支付两次）。求该债券的到期收益率(bond equivalent basis)，并分解到期收益率的构成（利息、利息的利息、资本利得）。
第一步，求到期收益率，半年为3.19%，年到期收益率(bond equivalent basis)为6.38%。 总收益为
1100×(1+3.19%)16=1818
利息为16*40=640 利息的利息为
⎡(1+y)n−1⎤
C⎢−nC⎥y⎣⎦
⎡(1+0.0319)16−1⎤=40⎢⎥−16×40
0.0319⎣⎦=178.47
资本利得为-100
收益中利息占89.13%（640/718），利息的利息占24.79%（178/718），资本利得为-13.93%（-100/718）
8、假定利率期限结构是水平的，为10%（按年复利计息）。假设你可以按这一利率借入和贷
出资金。市场上有另外三种无风险债券出售，其价格都是100元。债券A是二年期零息债券，在二年后支付550元。债券B和C都是一年期零息债券。债券B在一年后支付225元，债券C一年后支付450元。（请注意：水平的利率期限结构是由政府零息债券得到的，与债券A、B和C无关）
a.计算每个债券的年到期收益率（按年复利计息）。请说明该到期收益率并不是一个可靠的投资决策指标。也就是，说明具有最高到期收益率的债券并不是被低估得最多的债券。 b.一个可能的投资策略是买入债券A和C；另一个是买入债券B和C。计算这两个组合的到期收益率（按年复利计息）。 c.比较这两个投资组合，并且说明到期收益率并不是一个可靠的投资决策指标。同时请说明，可以通过加总各个组成成分的净现值来获得组合的净现值。而组合的到期收益率并不等于其各个成分的到期收益率的简单加权平均。 1（a）、 A债券：
2
100=r0,2
550(1+r0,2)2 =135%225(1+r0,1)1
B债券：
100=
r0,1=125%
B债券：
100=
450(1+r0,1)1 r0,1=350%
550
=454.54
(1+10%)2
225
=204.54
(1+10%)
450
=404.54
(1+10%)
市场价值
PA=
PB=
PC=
债券A最为低估，而债券C的到期收益率最高。
（b） A与C组合产生的到期收益率
200=
450550
+
(1+r)(1+r)2 r=213%
B与C组合产生的到期收益率
200=
675(1+r)
r=237.5%
组合的市场价值
PA+C=454.54+404.54=959.08 PB+C=204.54+404.54=609.08
9、当期的平价到期收益曲线1如下： 1
平价收益率是指证券价格等于面值时的到期收益率
3
到期日 平价收益率
10% 1 15% 2 20% 3 23% 4 25% 5 假设平价到期收益率的单位为年，按年复利计息。
利用上面提供的信息，计算以下债券在零期的价格，该债券获得的现金流如下： C1 =10元, C2 = 10元, C3 = 110元，其中Ct是在第t期获得的现金收入。
我们需要得到 r1, r2 , r3 . 由于1年期恒定利率债券就是1年期零息债券，所以 r1 = 10%.
从平价到期收益率曲线可知
100=
15115
+
1.1(1+r2)2
r2= 15.39%
相似，从平价到期收益率曲线得到
100=
2020120
++
1.1(1.1539)2(1+r3)3
r3= 21.56%
债券的价值为
1010110++=77.84 231.1(1.1539)(1.2156)
10、一张90天的T-bill的交易价格为4.25%，投资者可以用30天的回购交易来融资，回购利率为4%。请计算该笔交易中的T-bill所产生的未来60天的均衡利率。 解答：
假设30天之后10 T-bill的交易价格为P，目前T-bill的交易价格为B 那么
30）=P 360
30
如果P>B×，则交易商将挣钱； ）（1+4%×
36030
如果P 交易价格（收益率）为4.25%，则 4 d= 100−B100×360 90 =4.25% B=98.9375 均衡价格为 P=B×（1+4%× 30360 ）=98.9375×(1+4%×30360 ) =99.267360天的T-bill卖99.2673，收益率为 d= 100−99.2673100×360 90 =4.396% 第三章计算题答案 习题1、 答案 1、 a. 在0时点，该债券的价值是862.85 20 P=80∑dt+1000×d20=862.85 t=1 时间点 到期收益率 折现因子 0 1 0.5 8.0825% 0.9619 1 8.1632% 0.9245 1.5 8.2422% 0.8880 2 8.3194% 0.8523 2.5 8.3950% 0.8175 3 8.4688% 0.7836 3.5 8.5408% 0.7506 4 8.6111% 0.7186 4.5 8.6797% 0.6876 5 8.7465% 0.6575 5.5 8.8116% 0.6285 6 8.8750% 0.6004 6.5 8.9366% 0.5733 7 8.9965% 0.5472 7.5 9.0547% 0.5220 8 9.1111% 0.4978 8.5 9.1658% 0.4745 9 9.2188% 0.4522 9.5 9.2700% 0.4308 10 9.3194% 0.4102 5 现金流量 0 0 80 0 80 0 80 0 80 0 80 0 80 0 80 0 80 0 80 0 80 现金流量现值 0 - 73.96 - 68.18 - 62.69 - 57.49 - 52.60 - 48.03 - 43.77 - 39.82 - 36.18 - 32.82 10.5 9.3672% 0.3906 11 9.4132% 0.3717 11.5 9.4575% 0.3537 12 9.5000% 0.3365 12.5 9.5408% 0.3201 13 9.5799% 0.3044 13.5 9.6172% 0.2895 14 9.6528% 0.2752 14.5 9.6866% 0.2617 15 9.7188% 0.2488 15.5 9.7491% 0.2365 16 9.7778% 0.2248 16.5 9.8047% 0.2137 17 9.8299% 0.2031 17.5 9.8533% 0.1931 18 9.8750% 0.1836 18.5 9.8950% 0.1745 19 9.9132% 0.1660 19.5 9.9297% 0.1579 20 9.9444% 0.1502 在0.5时点，即半年后，该债券价值为903.92 时间点 到期收益率 折现因子 现金流量 0 1 0.5 8.0825% 0.9619 1 8.1632% 0.9245 1.5 8.2422% 0.8880 2 8.3194% 0.8523 2.5 8.3950% 0.8175 3 8.4688% 0.7836 3.5 8.5408% 0.7506 4 8.6111% 0.7186 4.5 8.6797% 0.6876 5 8.7465% 0.6575 5.5 8.8116% 0.6285 6 8.8750% 0.6004 6.5 8.9366% 0.5733 7 8.9965% 0.5472 7.5 9.0547% 0.5220 8 9.1111% 0.4978 8.5 9.1658% 0.4745 6 0 - 80 29.74 0 - 80 26.92 0 - 80 24.36 0 - 80 22.02 0 - 80 19.90 0 - 80 17.98 0 - 80 16.25 0 - 80 14.69 0 - 80 13.28 0 - 1080 162.17 862.85 现金流量现值 080 76.95 0 -80 71.04 0 -80 65.40 0 -80 60.05 0 -80 55.01 0 -80 50.28 0 -80 45.86 0 -80 41.76 0 -80 37.96 0 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 9.2188% 9.2700% 9.3194% 9.3672% 9.4132% 9.4575% 9.5000% 9.5408% 9.5799% 0.4522 0.4308 0.4102 0.3906 0.3717 0.3537 0.3365 0.3201 0.3044 0800800800800 - 34.46 - 31.24 - 28.30 - 25.61 -13.5 9.6172% 0.2895 8014 9.6528% 0.2752 014.5 9.6866% 0.2617 8015 9.7188% 0.2488 015.5 9.7491% 0.2365 8016 9.7778% 0.2248 016.5 9.8047% 0.2137 8017 9.8299% 0.2031 017.5 9.8533% 0.1931 8018 9.8750% 0.1836 018.5 9.8950% 0.1745 8019 9.9132% 0.1660 019.5 9.9297% 0.1579 108020 9.9444% 0.1502 0 在时点1，该债券价值为866.66。 时间点 到期收益率 折现因子 现金流量 0 1 0.5 8.0825% 0.9619 1 8.1632% 0.9245 1.5 8.2422% 0.8880 2 8.3194% 0.8523 2.5 8.3950% 0.8175 3 8.4688% 0.7836 3.5 8.5408% 0.7506 4 8.6111% 0.7186 4.5 8.6797% 0.6876 5 8.7465% 0.6575 5.5 8.8116% 0.6285 6 8.8750% 0.6004 6.5 8.9366% 0.5733 7 8.9965% 0.5472 7.5 9.0547% 0.5220 8 9.1111% 0.4978 7 23.16 - 20.93 - 18.92 - 17.09 - 15.45 - 13.96 - 170.48 - 903.92 现金流量现值 00 -80 73.96 0 -80 68.18 0 -80 62.69 0 -80 57.49 0 -80 52.60 0 -80 48.03 0 -80 43.77 0 -80 39.82 0 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 19.5 20 9.1658% 9.2188% 9.2700% 9.3194% 9.3672% 9.4132% 9.4575% 9.5000% 9.5408% 9.5799% 9.6172% 9.6528% 9.6866% 9.7188% 9.7491% 9.7778% 9.8047% 9.8299% 9.8533% 9.8750% 9.8950% 9.9132% 9.9297% 9.9444% 0.4745 0.4522 0.4308 0.4102 0.3906 0.3717 0.3537 0.3365 0.3201 0.3044 0.2895 0.2752 0.2617 0.2488 0.2365 0.2248 0.2137 0.2031 0.1931 0.1836 0.1745 0.1660 0.1579 0.1502 0800800800800800800800800800800108000 - 36.18 - 32.82 - 29.74 - 26.92 - 24.36 - 22.02 - 19.90 - 17.98 - 16.25 - 14.69 - 179.26 - - 866.66 b. 到期收益率曲线下降1个百分点的情况下， t=0, P=944.76 t=0.5,P=985.42 t=1,P=947.53 c. 到期收益率曲线上升1个百分点的情况下， t=0, P=791.61 t=0.5,P=832.90 t=1,P=796.05 Part d 短期利率 时间点 0.0 0.5 1.0 Short-Term Rate: 944.76 985.42 7.16% 947.53 862.65 903.92 8.16% 866.66 791.61 832.90 9.16% 796.05 8 100090080070060050040030020010007.16%8.16%S19.16%系列1系列2系列3S3S2 习题二、 很明显，如果债券 A 和 B 定价合理，那么 0d1=0.905，0d2 = 0.8.可以计算债券C的价格为：0.905× 100 + 0.8×1110 = 978.5。而实际上债券C的价格仅为955。这说明存在着套利机会。为了获得套利收益，应该买入债券C，卖空债券A和B。 买入1000张C债券，价值955,000元，那么在时点1获得10万元，而在时点2获得110万元。卖空100张A债券，同时卖空1100张B债券，将产生970,500元的收入，其中95.5万元用来购买C债券。这将获得15,500的套利收益。 习题三、 如果债券定价合理，那么附息债券的价格应该为 11*93+96=1119 而实际价格为1100元，低估了。办法是，卖空两个零息债券B和C，具体是卖空11个C，1个B，买入一个A。可以获得19元的收益。 习题四、 100=6∑dt+100d5 t=1 5 94=3∑dt+100d10 t=1 5 两个等式相减，得 6=3∑dt t=1 5 因此 9 2=∑dt t=1 5 100×d5=88 C债券的价格应该为 5×∑dt+100×d5=98 t=1 5 而实际上，C债券的价格为99，高估了。 习题五、 如果这四个债券按照上表中的价格来交易，就存在着套利机会。我们可以通过折现因子的求取，然后给其他债券定价。如果定价的结果与市场价格不一致，那么就产生了套利机会。 B债券属于一年期的零息债券，可以计算，d1=0.93。 93=100×d1d1=0.93 C债券是2年期附息债券，通过计算，d2=0.84 92.85=0.93∗5+d2×105d2=0.84 A债券是3年期附息债券，通过计算，d3=0.75 100.2=0.93∗10+0.84×10+d3×110d3=0.75 由于各个时点上的折现因子都已经得到，我们就可以给D债券定价，价格为125.4。而市场价格却是121.2，很明显D的定价偏低了，存在套利机会。 套利的办法是购买D，发行或者卖空A、B、C的某种组合，该组合的现金流量与D的现金流量完全一样，即 10NA+100NB+5NC=2010NA+105NC=20110NA=120 得 10 NA=1.091NB=0.08657 NC=0.08657 习题六、 如果有零息债券，那么简单购买1年期债券面值270，价值245.46；2年期债券面值470，价值376；3年期债券面值548，价值391.4；4年期债券面值612，价值399.02；投入的总价值为1411.9元。 如果没有零息债券，只有附息债券，那么构建下面组合。 11NA+12NB+8NC+36ND=270111NA+12NB+8NC+36ND=4700NA+112NB+8NC+36ND=5480NA+0NB+108NC+36ND=612 NA=2NB=3NC=4ND=5 总价值为1413元。 习题七、 使下面目标函数达到极小 Z=93.32×NAa+90.41×NBa+86.65×NCa+108.02×NDa+112.7×NEa -91.81×NAb-88.97×NBb -84.14×NCb-105.07×NDb-110.9×NEb 这里， NAa、NBa、NCa、NDa、NEa分别为投资者A、B、C、D、E债券买入的数量； NAb、NBb 、NCb、NDb、NEb分别为投资者A、B、C、D、E债券卖出的数量。 约束条件 100×NAa+8×NDa+12×NEa-100×NAb-8×NDb -12×NEb≥50 100×NBa+8×NDa+112×NEa-100×NBb-8×NDb -112×NEb≥200 100×NCa+108×NDa-100×NCb -108×NDb≥160 NAa、NBa、NCa、NDa、NEa、NAb、NBb 、NCb、NDb、NEb≥0 我们用ECELL求解线性规划问题，得到Z=365.73 此时 11 NAa=0.3815,NBa=1.8815,NDa=1.4815NCa=NEa=NAb=NBb =NCb=NDb=NEb=0 12 第四章习题答案 一、计算题 一个债券当前价格为102.5,如果利率上升0.5个百分点，价格降到100；如果 利率下降0.5个百分点，价格上升到105.5.请计算该债券的有效持续期。 1、 105.5−100 =5.37% 102.5 一个债券当前价格为102.5,如果利率上升0.5个百分点，价格降到100；如果 利率下降0.5个百分点，价格上升到105.5.请计算该债券在利率下降1个百分点时的价格。 2、 5.37%*1=5.37%（上升） 债券价格=102.5（1+5.37%）=108 一个6年期浮动利率债券，半年支付一次利息。假定到期收益率曲线是水平的， 为6%。请说明该债券的比率持续期是接近0.3，还是0.5,还是6？ 0.5%，因为是浮动利率债券，而且支付利息的频率是0.5年。 一个债券的持续期是5.47%,价格是98.63。估计在市场利率上升2个百分点债 券价格的变化。 5.47%*2*98.63=10.79 5、投资者目前的资产负债内容为 资产 负债 200个3年期的零息债券 185个单位的20年期附息债券 价值20000 价值18500 权益1500 根据目前的利率期限结构，计算这些债券的金额持续期，结果如下： 债券 3年零息 20年零息 20年附息 金额持续期 3 20 9 3、 4、 投资者的目标是用持续期避险，即组合的金额持续期为零。他希望持有20年的附息债券，但愿意调整3年期零息债券的头寸。投资者也愿意购买或者发行20年期的零息债券（价格也是100元）。请问该投资者应该如何调整自己的资产和负债？ 投资者的目标是要让权益的持续期为0。 由于 Δ3=3Δ20=20 Δ20C=9 13 为了让组合资产与负债在持续期上匹配，要实现 资产的价值-负债的价值=1500 资产的金额持续期-负债的金额持续期=0 即 100N3+100N20−185×100=15003N3+20N20−185×9=0得到 N3=137.35N20=62.65 所以，投资者拥有3年期零息债券的数量为137.35个单位，价值为13735；拥有20年期零息债券是数量是62.65个单位，价值为6265。 7、.已知一年期零息债券的连续复利到期收益率为5.02%时，某债券价值为51.60元。一年期零息债券连续复利到期收益率为4.98%时，该债券价值为51.98元。那么，当一年期零息债券的连续复利到期收益率为5.00%时，该债券的金额持续期近似为多少？ Δ5%= 51.98−51.60 =9.5 5.02−4.98 8、已知当一年期零息债券的连续复利到期收益率为5.02%时，某债券价值为51.60。当一年期零息债券的连续复利到期收益率为5.06%时，该债券价值为51.40。那么，当一年期零息债券的连续复利到期收益率为5.04%时，该债券的金额持续期近似为多少？ Δ5%= 51.60−51.40 =5 5.06−5.02 9、利用7和8中的信息，当一年期零息债券的连续复利到期收益率为5.02%时，该债券的凸性近似为多少？ Γ5.02%=− Δ5.04%−Δ5.00%5−9.5 =−=112.5 5.04−5.005.04−5.00 10、当前，一年期零息债券的连续复利到期收益率为14%。考虑三个金融债券： （1）2年期零息债券，在到期日支付1,000元，当前价值为770.05元。其金额持续期为15.4210，其金额凸性为0.41。 （2）4年期零息债券，在到期日支付1,000元，当前价值为645.04元。其金额持续期为25.7615，其金额凸性为1.04。 （3）7年期零息债券，在到期日支付1,000元，当前价值为573.21元。其金额持续期为39.9846，其金额凸性为2.90。 （4）一家金融公司的资产负债表中，资产包括1,000份的2年期零息债券，250份的4年期零息债券，负债为1300份的7年期零息债券。 问： a.只使用关于金额持续期的信息，近似刻画资产负债表资产净值与利率的关系图。你只需考虑横轴上的三个点，即一年期零息债券的连续复利到期收益率分别为11%，14%和17%。 14 Δequity=1000Δ2+250Δ4−1300Δ7 =1000×15.421+250×25.7615−1300×39.9846 =−30118.605 Γequity=1000Γ2+250Γ4−1300Γ7=1000×0.41+250×1.4−1300×2.90 =−3100 Vequity=1000×770.05+250×645.04−1300×573.21 =186137 净权益的变化 =−Δequity× ( 的变化) =30118.6×3 =90355.8 如果利率上移动300 个基点，即利率达到17%的水平，净权益要上升；如果利率向下移动300 个基点，净权益要下降。这都是由于组合权益的持续期为负的结果。 30000025000020000015000010000050000011%14%17% b.只使用关于金额持续期和金额凸性的信息，近似刻画资产负债表资产净值的关系图。你只需考虑横轴上的三个点：一年期连续复利到期收益率分别为11%，14%和17%。 267192.8186137系列195781.2权益变化 = −Δ$×(Δr) +0.5Γ×(Δr)2 但由于组合权益的凸性是负的，组合权益的价值会降低。 15 30000025000020000015000010000050000011%14%17% 11、一家公司3年后要支付出去2000万元，7年后要支付1000万元。你是该公司的财务总监，要确保未来的现金支付。你需要构建一个资产组合，其中可供选择的资产包括下面2种债券： （1）2年期零息债券，价格为82.645（100元面值）； （2）10年的零息债券，价格为38.554（100元面值）。 请计算： a.资产组合的价值是多少？ 由于2年期零息债券的价格为82.645，年有效收益率为10%；而10年期债券的价格为38.554，年有效收益率也是10%，所以，到期收益率为水平的10%,因此，资产和负债的折现率都是10%。 负债的价值为 253242.8186137系列181831.220001000 +=1502.63+513.16=2015.79 1.131.17 组合的价值也应该是2015.79 b.每种债券投资多少？ 为了避险，要让资产的持续期等于负债的持续期 2年期负债的持续期为2，7年期负债的持续期为7，加权平均的持续期为 3*1502.63/2015.79+7*513.16/2015.79=4.02 令2年期债券投资比重为X，10年期债券投资比重围1-X，则 2X+10（1−X）=4.02 X=74.4%；1-X=25.6% c.如果利率突然上升，你构建的组合是赢还是亏，还是无所谓？ 如果利率突然上升，由于组合的凸性大于负债的凸性，所以，组合会额外的利益。 12、有下面三种债券 偿还期（年） 票面利率（一年支付一次） 价格（100元面值） 16 1 0% 2 9.5% 3 0% 94.30 105.403 80.496 a.请构建3年期的即期利率曲线。收益率用年有效收益率表示。 1年期的收益率为6%，即 100/94.34-1=6% 3年期的收益率为7.5%，即 （ 1001/3 ）−1=7.5% 80.496 2年期的收益率为7%，即 105.403=y2=7% 9.59.5109.5 ++2 1.06（1+y2）1.0753 b.请计算暗含的远期利率0f1,2，0f2,3。 0 0 1.072 f1,2=−1=8.01% 1.06 3 1.075f2,3=−1=8.51%2 1.07 c.在0时点你订立一个远期合约。合约规定，在1时点你购买票面利率8%（一年支付一次）、期限2年的债券，总面值100万元。请计算在无套利情况下远期价格是多少？ 8108 +=99.56 1.08011.0801×1.0851 d.在0时点，你投资了100万元购买了3年期、票面利率7%的债券（年付息），并打算再时点2卖掉。在出卖债券的时候，你得到了利息，也就是说，还剩下一次利息支付了。利用前面计算的结果，计算在持有债券2年内，你的持有收益率是多少？（提醒：先计算出债券购买的面值，然后计算在时点2债券的价格，根据你投资的总收益（利用远期利率，计算投资收益），再计算你的持有收益率）。 面值的计算 100= 0.07×F0.07×F1.07×F ++1.061.0721.0753 F=101.16 出售价格的计算 1.07×101.16 =99.76 1.0851 第一个利息与利息的利息 0.07*101.16*1.0801=7.65 第二个利息 0.07*101.16=7.08 总收益为114.50 收益率为7%。 17 e.计算3年期、票面利率7%债券的修正持续期。 该债券的到期收益率为7.44%， 修正持续期是现金流的加权平均，即 （ 7×17×2107×3 ++）/（98.85×1.0744）=2.61 23 1.07441.07441.0744 其中98.8是面值为100万元的债券的价格。 f.估计在利率水平移动1个百分点时，该债券价格波动比率。 价格波动2.61%。 g.对于债券价格的实际波动，你预期比（f.）计算结果是高还是低？原因是什么？ 价格波动要小一些，因为有凸性的作用。 二、判断如下命题正确与否，并作简要解释。 1、对 价格大致变化 =−550×0.20− 1 ×20×0.202=−110.4 2 2、错 Γ只是衡量在某一点performance profile的弯度。根据一个点的凸性值，很难得出performance profile就是直线。 3、错。 Γ是delta profile的负斜率。 4、错 Γ计量是100个基点，而不是一个基点变化时持续期的变化。根据Γ预测新的持续期为 750-150/100=748.5 由于凸性本质上是利率的微小变化导致持续期发生多大变化，即 Γ= ΔDD1−D2 = Δy Δy D1=D2+Γ⋅Δy 如果是一个百分点的利率变化，那么 D1=D2+Γ⋅Δy=D1+Γ 5、对。 如果卖空方支付一个平价债券，那么这个远期合约的价值将永远是0，而与利率水平无关。0的现值也是0。 6、对。 从多头的角度来看，他得支付110元来购买价值只是100元的东西。这说明多头负债10元。未来价值10元的现值会随着利率的变化而变化。这相当于他发行了一张零息债券，凸性是负的。 18 7、错。 一般情况下，固定收益证券组合是凸性不是0。既然一个远期合约相当于某些债券的组合，其凸性也应该不为0。 19 第五章习题答案 1、根据下面内容计算暗含远期利率、折现因子，并确定互换比率（固定利率支付方的利率水平）。 确定日 2/14/04 3/14/04 6/13/04 9/19/04 12/19/04 3/13/05 6/19/05 9/18/05 12/18/05 解答： 确定日 2/14/04 3/14/04 6/13/04 9/19/04 12/19/04 3/13/05 6/19/05 9/18/05 12/18/05 支付日 2/16/04 3/16/04 6/15/04 9/21/04 12/21/04 3/15/05 6/21/05 9/20/05 12/20/05 3/20/06 天数 28 91 98 91 84 98 91 91 91 到期日的期货价格 95.25 95.22 94.88 94.48 94.30 94.06 93.25 93.59 暗含远期利率% 4 折现因子 支付日 2/16/04 3/16/04 6/15/04 9/21/04 12/21/04 3/15/05 6/21/05 9/20/05 12/20/05 3/20/06 天数 28 91 98 91 84 98 91 91 91 到期日的期货价格 95.25 95.22 94.88 94.48 94.30 94.06 93.25 93.59 暗含远期利率% 4 4.75 4.78 5.12 5.52 5.7 5.94 6.75 6.41 折现因子 0.9969 0.9851 0.9725 0.9600 0.9478 0.9333 0.9195 0.9041 0.8897 0.9969= 1 28 (1+0.04×()) 360 0.9851= 1 2891⎡⎤⎡⎤ 1+0.04××1+0.0475×⎢360⎥360⎥⎣⎦⎢⎣⎦ …… 20 1000000×R×[0.9969×( 28919891)+0.9851×()+0.9725×()+0.9600×()360360360360 84989191 )+0.9333×()+0.9195×()+0.9041×()+0.9478×( 36036036036091 )]+0.8897×1000000=1000000+0.8897×(360 R=5.53% 3、有下面互换：名义本金1亿元，互换期限5年，6个月互换一次。做市商支付固定利率，为8%(b.e.b)，同时收取浮动利率（按照6个月的LIBOR收取）。在很短时间内，做市商无法冲销互换头寸。他想利用债券市场避险，因此购买面值1亿元，期限为5年，票面利率8%，平价交易的国债。购买债券的资金来自于出售6个月的T-bill，价格1亿元（6个月的到期收益率为5%（b.e.b）。当互换合约签定后，很快利率下降，其中5年期债券的到期收益率降低到6%（b.e.b），6个月的到期收益率降低到3%（b.e.b）。请计算互换合约本身给做市商带来的损失？如果做市商一周后找到了互换对手，可以对冲前面的互换，并假定一周内利率不再发生变化，请具体分析做市商的避险效果受哪些因素的影响。 解答：（本题主要参考教材P259例5-7） 8%的债券是平价交易的，因此到期收益率也是8%。如果5年期债券的到期收益率下降到6%，那么债券的价格为10853万美元，即 P= 40040010400 （万美元） ++L+=10853（万元） 1.031.0321.0310 这样，做市商持有债券获得了853万美元的利益。但前面的互换合约给做市商带来了损失，因为银行要支付固定利率8%给客户，支付的现金流的价值也上升了，完全抵消了持有债券给做市商带来的利益。 由于购买5年期债券的资金来自于出售6个月的债券，市场利率下降后，6个月的债券的价格也会上升。投资者要用更高的价格买会债券。 （注：我们需弄清做市商买卖5年期国债获得的利益比他在国库券上先卖后买遭受到的损失要大的多。） 可能影响因素： （1）找到新的互换对手，支付给银行的固定利率降低； （2）利率期限结构的问题 （3）某些互换现金流不稳定 21 4、某银行作为利率互换的中介，它既做固定利率支付方，也做浮动利率支付方。他目前有两个互换，见下表: 互换1：银行支付固定利率 名义本金4亿元人民币 期限4年 支付6%固定利率（半年支付一次） 收取浮动利率LIBOR，每半年确定一次 互换2：银行支付浮动利率 名义本金4亿元人民币 期限5年 收取6.25%固定利率（半年支付一次） 支付浮动利率LIBOR，每半年确定一次 假定收益率曲线为水平的。 请计算： a. 画图说明银行的互换头寸情况，简要说明互换给银行带来的好处。 b. 解释银行承受的利率风险，即当利率瞬间发生变动，银行的损益状况如何？ c. 如果银行利用欧洲美元期货避险，银行应该持有欧洲美元期货的多头还是空头？ 解答： a. 1-4年，银行获得0.25%的互换利差。利率风险被抵消。 公司A 6.25% 银行 6% 公司B LIBOR LIBOR 在第5年， 银行单方面地支付浮动利率，支付固定利率。存在利率风险。 公司A 6.25% 银行 LIBOR b.利率瞬间变化，例如利率上升一个百分点，那么互换会给银行带来损失，因为利率变化后，银行找交易对手的成本更高。具体而言，银行支付的固定利率要增大。如果利率上升一个百分点，银行在时点4.5和5上，分别多支付200万元（1%*40000*1/2）。再根据折现因子，可以把这两个价值换算成为0时点的价值。 c.因为银行相当于持有两个零息债券，为了锁定这两个零息债券的价格，银行需要通过出售欧洲美元期货的办法来避险。 22 理解：因为银行在第5年需支付浮动利率，收到固定利率，因此当利率上升，银行需支付更多，而同时其得到的固定利率支付现值变少，因此银行需在第五年以前，签订一个于第五年执行的欧洲美元期货，银行需为空头方，在第5年以某个约定利率价格卖出欧洲美元，从而当第五年利率上升，银行的欧洲美元期货可以为银行获利。 23 第6章习题答案 一、计算题 1、投资者出售一份欧洲美元期货合约，价格为95.25，交付月份为2005年12月。假定在交付日90天欧洲美元的利率为5.25%。请计算在考虑到期货合约损益状况情况下，该投资者实际借款利率。 解答： 暗含的单利利率为100-95.25 = 4.75%. 出售期货合约锁定了借款利率，因此你可以赚取 (525-475)$25=$1,250, 这笔钱你会在12月份的到期日得到。 在12月，你可以按照当期利率5.25%, 借入1百万美元，期限为90天。90天之后你支付本息1,000,000(1 + 0.0525(90)/360) = $1,013,125. 在12月,你收到的资金为: $1,000,000+[(525-475)$25] = $1,001,250. 有效利率 (基于360天) 为：$1,001,250(1 + r(90)/360) = 1,013,125 r = 4.744% (与期货合约的报价4.75% 非常接近。 注：每张欧洲美元期货合约意味着期限3个月、面值100万欧洲美元的定期存单，利率由期货合约规定。 2、假定今天2.5年期零息国债的到期收益率为5% (b.e.b，半年支付一次),该国债的面值为100万美元。6个月回购协议的利率为年4% (基于30/360的计息规则)。请用回购协议锁定从0.5年2.5年的远期融资利率（投资者处于空头地位），并计算锁定后的融资利率是多少（b.e.b）。 解答： 用6个月的逆回购协议借出资金,得到期限2.5年的国债(抵押品)。卖掉该债券,并将资金借给做市商. 6个月后,收回借款,得到利息,但欠人家2年期的国债。这就是空头地位。 $0（88.3854-88.3854） +90.1531 -100 0 .5 2.5 (OWE T -bond) 融资利率大约为5.32% 注：通过回购协议可以构建多头头寸，例题见书P289。 3、假定一个15年期的债券，票面利率7%（1年两次支付利息），面值100元。该债券下一个付息日是6个月之后。目前该债券价格为95元。在期货合约中，该债券可以用来交易。投资者借入资金的利率是年9%，借出资金的利率是年5%。如果投资者参与期货交易，交割期是6个月。利率均采用单利。问该期货交易的合理价格区间是什么？如果该债券的期货价格为97元，有无套利机会？如何实现套利？ 解答： 合理定价区间：F=P+Pt(r-c),得区间93.875——95.775 如果债券的期货价格为97元，那么有套利机会，做法是： 0时点： 卖期货合约 借入资金95 买债券支付95元 24 6个月后 履行期货合约义务，交出债券 得资金97元，利息3.5元，共100.5元。 还钱99.275元（95*（1+9%/2）） 净收益1.225元 4、你管理10亿元人民币的债券组合，你担心利率风险。你估计你的债券组合的修正持续期为3.2。你也估计了未来利率变化的概率分布，见下图。 概率0.30.260.250.20.150.10.050-2.5-1.5-0.5-2-10.51.52.50120.160.120.050.160.120.050.010.030.030.01 a.利用持续期的近似公式，估计在90%置信度下你的组合的风险价值（value at risk） d. 你打算通过缩短修正持续期来降低债券组合风险，但希望推迟资本利得实现的时间。为了达到这样的目的，你订立了一份总收益互换协议（total rate of return swap）,以总面值为1亿元人民币的高级别公司债券为标的资产。该债券在你的债券组合之中，票面利率8.5%（半年付息），期限5年。根据互换协议，你收取浮动利率，标准是6个月的LIBOR+0.2%，同时你支付那个公司债券的利息。互换期限为4年。请画图表示该互换的现金流，并说明为什么降低了利率风险。 解答： a.在90% 置信度下，利率大约上升1个百分点（实际上介于1-1.5%之间）。由于有效持续期为3.2，所以，利率变动1个百分点，债券组合价值波动3.2个百分点。 b.互换现金流（持续4年） 你自己 4.25% 公司B LIBOR+0.2% 之所以互换降低了风险价值，是因为互换降低了组合的持续期。你已经把期限较长，修正持 25 续期为3.2年的资产组合，转换成了偿还期只有6个月的资产。实际上，你的违约风险也下降了。 5、假定今天是2007年3月1日，也是某种国债期货合约的到期日，期货的收盘价格是102美元。空头方可以选择以下债券来交付，见下表。 偿还期 票面利率 价格（美元） 18 6.0% 105 16 5.5% 96.05 问：空头方交付哪种债券最为便宜？ 解答： 转换系数的计算。 18年偿还期，票面利率6%的债权的转换系数为1。 16年偿还期，票面利率5.5%的债权的转换系数为： 32 12.75100 )=×(∑+ 100100t=1(1+3%)t(1+3%)3294.903= 100=0.94903 Py=6% 交付18年票面利率6%的债券的损失为3，即 105-102=3 交付16年票面利率5.5%的债券却有收益，为0.753，即 96.05-102*0.94903= -0.753 注：国债期货报价为面值100美元，到期收益率6%的国债的价格。 26 第八章习题答案 二、计算题 1、一个60天的欧式call option，允许购买者购买100股A公司股票，其中：股票现价7元，执行价格6.5元，融资成本为5%，股票波动率为年20%。在未来60天内，A公司不会支付股息。请计算： (1)公司选择权的价值； （2）在到期时该期权内在价值为正（in-the-money）的概率又多大？ （3）避险组合的权重。 根据Black-Scholes模型， C=SN(d1)−Ke−rTN(d2) ln(S/K)+(r+σ2/2)Td1= σTd2=d1−σT 其中N(d2)为到期日选择权由正的内在价值的概率。如果发送内在价值为正的情形，期权拥有者支付执行价格，该执行价格的现值为Ke−rTN(d2)。所以，Black-Scholes模型中的第二项内容是用概率来加权的负债金额。第一项内容权益风险暴露股票当期价格与避险组合权重的乘积。 根据题中给出的参数， ln(S/K)+(r+σ2/2)Td1= σTln(7/6.5)+(0.05+0.20×0.20/2)×60/365= 0.2060/365=1.056 N(d1)=0.8554 d2=d1−σT=1.056−0.260/360 =0.9744N(d2)=0.835 即在到期时该期权内在价值为正（in-the-money）的概率为0.835。 C=SN(d1)−Ke−rTN(d2) =7×1.056−6.5×e−0.05×60/365×0.835 =2.01 期权费为2.01元。100股A股票的期权价值为201元。避险权重为0.8554。 27 2、有下面互换：名义本金10000元，期限3年。固定利率支付方每年支付6%，同时收取浮动利率。他拥有选择权，使他随时可以终结互换。利率路径（上升、下降的概率均是50%）如下： 8% 7% 6% 6% 5% 4% 请计算这一互换选择权的价值。 答： （本题参见教材P364例题） 步骤一、在时点2： （1）利率为8%，固定利率支付方最后支付的现值为1060/1.08=981.48，浮动利率支付方的支付的现值为1000。结论是不执行，期权的价值为0。 （2）利率为6%，固定利率支付方最后支付的现值为1060/1.06=1000，浮动利率支付方的支付的现值为1000。结论是执行与不执行无所谓，期权的价值为0。 （3）利率为4%，固定利率支付方最后支付的现值为1060/1.04=1019.23，浮动利率支付方的支付的现值为1000。结论是执行，期权的价值为19.23。 步骤二、在时点1： （1）利率为7%，固定利率支付方的剩余现金流的现值60/1.07+0.5（1060/1.08+1060/1.06）/1.07=982，浮动利率支付方支付的现值为1000。结论是不执行，期权的价值为0。 同时，固定利率支付方选择权（等待的价值）为0。 （2）利率为5%，固定利率支付方的剩余现金流的现值60/1.05+0.5（1060/1.06+1060/1.04）/1.05=1018.68，浮动利率支付方的支付的现值为1000。结论是执行，期权的价值为18.68。 同时，固定利率支付方选择权（等待的价值）为0.5（0+19.23）/1.05=9.16。等待的价值小于执行的价值，所以选择权的价值为18.68。 步骤三、在时点0：（有1/2的可能在时点1选择支付利息） 固定利率支付支付固定利率的价值就相当于一个付息债券的价值， （1）时点3，包括本金1000和利息60的价值为： [10601060106010600.5×(+)/1.07+0.5×(+)/1.05]×0.5/1.06 1.081.061.041.06 =890.31 （2）在时点2的利息的现值： 60600.5×(+)/1.06 1.071.05=53.40 （3）在时点1的利息： 60 =56.60 1.06 从而支付利息现值为：890.31+53.40+56.60=1000.31 步骤四、0时点期权的价值为0.5（0+18.68）/1.06=8.81。 结果：该互换选择权的价值为8.81。 28 3、利率路径（上升、下降的概率均是50%）如下： 6.5% 5.5 % 4.6% 银行给你的公司1百万元人民币的贷款，该贷款是浮动利率贷款，但有箍（collar）的规定，最高利率为6.25%，最低利率为4.75%。 e. 画图说明你的公司在时点0、1、2的现金流量。 f. 计算这笔贷款的在0时点的价值。 g. 你的公司需要支付银行多少钱，就与获得不含箍的贷款一样了。 答： 步骤一、首先画出利率的2期树图： 6.5% 5.5 % 4.6% T=1 T=2 银行在t=0时刻贷款给公司100万，在t=1时刻公司需还款100*5.5 %=5.5万，在t=2时刻公司需还款：情况（1）利率为6.5%，则公司还款100*6.25 %=6.25万；（2）利率为4.6%，则公司还款100*4.75 %=4.75万;同时还有本金的100万。 步骤二、在0时点的价值为： 100*5.5%106.25104.75 +1/2()+1/2()=99.957 1+5.5%(1+5.5%)(1+6.5%)(1+5.5%)(1+4.6%) 步骤三：公司需支付0.043*10000=430元。 习题四、已知利率波动树图如下: 23.50% 19.42% 14.32% 15.80% 10% 13.77% 9.79% 12.70% 9.76% 9.50% 该树图为风险中性的利率树图，并且在任何一年利率短期（1年期利率）上升和下降的概率都是 50%。一张债券的面值为100元，到期期限为4年，票面利率为12%。第一年的回购价格为103元。第二年的回购价格为102元，第三年的回购价格为101元，第四年的回购价格当然为100元。请计算该回购债券的价格。 答： 29 步骤一，首先计算出不含权债券在各结点的价值： V=88.52 V=90.69 C=12 23.50% V=91.52 19.42% V=98.78 14.32% V=96.73 V=96.72 C=12 15.80% 10% V=101.80 13.77% 9.79% V=102.80 V=99.38 C=12 12.70% 9.76% V=102.28 C=12 9.50% 在第四年年初，债券价值分别为： （1）23.50%： 100+12 =90.69 1.235 其余的以此类推，见上图。 在第三年年初，债券价值分别为： (1) 1/2(90.69+96.72)+12 =88.52 1+19.42% 其余的以此类推，见上图。 步骤二： 计算出在第三年回购价格为101元时的回购选择权价值：（见下图） V=0 V=0 C=12 23.50% V=0 19.42% V=0.12 14.32% V=0 V=0 C=12 15.80% 10% V=0.26 13.77% 9.79% V=0.58 V=0 C=12 12.70% 9.76% V=1.28 C=12 9.50% 计算出在第2年回购价格为102元时的回购选择权价值：（见下图） V=0 V=0 C=12 23.50% V=0 19.42% V=0.16 14.32% V=0 V=0 C=12 15.80% 10% V=0.36 13.77% 9.79% V=max{0.58,0.8} V=0 C=12 12.70% 9.76% V=1.28 C=12 9.50% 由于在第1年回购价格为103元时，回购选择权价值为0，因此美式回购选择权的价值为0.16（0.17也可以，小数位数带来的偏差），最终可回购债券的价值为98.61(或98.62) 30 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容