2020-2021学年河南省洛阳市汝阳县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的，将正确的答案代号字母填入题后括号内．每小题3分，共30分．）
1．（3分）在下列各数中是无理数的有（ ） ﹣0.111…，
，
，3π，3.1415926，2.010101…（相邻两个0之间有1个1），
．
C．5个
D．6个
76.01020304050607…，A．3个
B．4个
2．（3分）下列计算中正确的是（ ） A．a3•a3＝a9
B．（a3）2＝a5
C．a2+a3＝2a5
D．（﹣a2）3＝﹣a6
3．（3分）计算6m6÷（﹣2m2）3的结果为（ ） A．﹣m
B．﹣1
C．
D．﹣
4．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 C．x2+4x+4＝（x+2）2
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．ax2﹣a＝a（x2﹣1）
5．（3分）等腰三角形两条边长分别为12、15，则这个三角形的周长为（ ） A．27
B．39
C．42
D．39或42
6．（3分）如图，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，则下列补充条件中不能说明△ABD≌△ACE的是（ ）
A．AD＝AE
B．∠C＝∠B
C．CE＝BD
D．∠ADB＝∠AEC
7．（3分）已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为3，斜边为4，则另一个直角三角形斜边上的高为（ ） A．
B．
C．
D．6
8．（3分）如图，边长为（m+5）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为5，则另一边长是（ ）
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A．m+3
B．m+5
C．2m+5
D．2m+10
9．（3分）如图所示，把△ABC绕C点旋转35°，得到△A'B'C，A'B'交AC于点D，若∠A'DC＝90°，则∠A等于（ ）
A．35°
B．65°
C．55°
D．45°
10．（3分）如图1，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是（ ）
A．n
B．2n﹣1
C．
D．3（n+1）
二、填空题（每小题3分，共15分．） 11．（3分）是 的平方根．
12．（3分）命题“根据客观事实能够判断一件事情真假的语句，叫做命题．”是 命题（填“真”或“假”）．
13．（3分）阅读理解：引入新数i，新数i可以与实数进行四则运算，且已知i2＝﹣1，那么（1+i）（1﹣i）＝ ． •14．（3分）|﹣5|+（﹣2）2+
﹣
＝ ．
15．（3分）中国古代称直角三角形为勾股形，其中直角边中较小者为勾，另一长直角边为
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股，斜边为弦，有一个基本的几何定理，称之为勾股定理．它指直角三角形的两条直角边长（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达a2+b2＝c2，这是一个基本事实．利用这个基本事实解决下列问题．
如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处，如果小强同学站在平安路与新兴大街的交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为 m．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．要求写出必要的规范的解答步骤．） 16．（8分）计算：a6b8÷（﹣ab2）2﹣a2•（﹣6ab2）2．
17．（9分）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝﹣1． 18．（9分）用简便方法计算（结果用科学记数法表示）： （1）0.259×220×259×643； （2）20012﹣4002+1．
19．（9分）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4）． 乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： （1）m3﹣2m2﹣4m+8． （2）x2﹣2xy+y2﹣9．
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20．（9分）现有两张铁皮，长方形铁皮的长为x+2y，宽为x﹣2y（x﹣2y＞0）；正方形铁皮的边长为2（x﹣y）．现根据需要，要把两张铁皮焊接成一张新的长方形铁皮，新铁皮长为6x，请你求出新铁皮的宽．
21．（10分）如图，点P是等边△XYZ内的一点，连接PX、PY、PZ，以YP为一边作∠PYQ＝60°，且YQ＝YP，连接ZQ．试观察猜想XP与ZQ的大小关系，并加以证明．
22．（10分）如图，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE、DE、DC． ①求证：△ABE≌△CBD；
②若AB＝6，CE＝2BE，求△ADC的面积．
23．（11分）如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP．
（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．
答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是 、 ．
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是 、 ．
（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成
立，给出证明；若不成立，请说明理
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由
2020-2021学年河南省洛阳市汝阳县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（各小题四个答案中，只有一个是正确的，将正确的答案代号字母填入题后括号内．每小题3分，共30分．）
1．（3分）在下列各数中是无理数的有（ ） ﹣0.111…，
，
，3π，3.1415926，2.010101…（相邻两个0之间有1个1），
．
C．5个
D．6个
76.01020304050607…，A．3个
B．4个
【解答】解：﹣0.111…，3.1415926，2.010101…（相邻两个0之间有1个1），是分数，属于有理数；
＝2，是整数，属于有理数； 无理数有故选：B．
2．（3分）下列计算中正确的是（ ） A．a3•a3＝a9
B．（a3）2＝a5
C．a2+a3＝2a5
D．（﹣a2）3＝﹣a6
，3π，76.01020304050607…，
，共4个．
【解答】解：A、a3•a3＝a6，原式计算错误，故本选项错误； B、（a3）2＝a6，原式计算错误，故本选项错误； C、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项错误； D、（﹣a2）3＝﹣a6，原式计算正确，故本选项正确． 故选：D．
3．（3分）计算6m6÷（﹣2m2）3的结果为（ ） A．﹣m
B．﹣1
C．
D．﹣
【解答】解：原式＝6m6÷（﹣8m6） ＝﹣ 故选：D．
4．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
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C．x2+4x+4＝（x+2）2 D．ax2﹣a＝a（x2﹣1）
【解答】解：（A）x2+2x﹣1≠（x﹣1）2，故A不是因式分解， （B）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故B不是因式分解，
（D）ax2﹣a＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1），故D分解不完全， 故选：C．
5．（3分）等腰三角形两条边长分别为12、15，则这个三角形的周长为（ ） A．27
B．39
C．42
D．39或42
【解答】解：（1）当等腰三角形的腰为12，底为15时，12，12，15能够组成三角形，此时周长为12+12+15＝39．
（2）当等腰三角形的腰为15，底为12时，12，15，15能够组成三角形，此时周长为15+15+12＝42．
则这个等腰三角形的周长是39或42． 故选：D．
6．（3分）如图，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，则下列补充条件中不能说明△ABD≌△ACE的是（ ）
A．AD＝AE
B．∠C＝∠B
C．CE＝BD
D．∠ADB＝∠AEC
【解答】解：A、∵在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS），正确，故本选项错误； B、∵在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（ASA），正确，故本选项错误；
C、根据CE＝BD和已知不能推出△ABD≌△ACE，错误，故本选项正确； D、∵在△ABD和△ACE中
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∴△ABD≌△ACE（AAS），正确，故本选项错误； 故选：C．
7．（3分）已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为3，斜边为4，则另一个直角三角形斜边上的高为（ ） A．
B．
C．
D．6
【解答】解：设面积为3的直角三角形斜边上的高为h，则 ×4h＝3， ∴h＝，
∵两个直角三角形全等，
∴另一个直角三角形斜边上的高也为． 故选：C．
8．（3分）如图，边长为（m+5）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为5，则另一边长是（ ）
A．m+3
B．m+5
C．2m+5
D．2m+10
【解答】解：由题意可得，
拼成的矩形一边长为5，则另一边长是m+5+m＝2m+5， 故选：C．
9．（3分）如图所示，把△ABC绕C点旋转35°，得到△A'B'C，A'B'交AC于点D，若∠A'DC＝90°，则∠A等于（ ）
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A．35°
B．65°
C．55°
D．45°
【解答】解：∵△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C， ∴∠ACA′＝35°，∠A＝∠A′， 又∵∠A'DC＝90°， ∴∠A′＝55°， ∴∠A＝55°； 故选：C．
10．（3分）如图1，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是（ ）
A．n
B．2n﹣1
C．
D．3（n+1）
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD． 在△ABD与△ACD中， AB＝AC， ∠BAD＝∠CAD， AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
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同理图2中，△ABE≌△ACE， ∴BE＝EC， ∵△ABD≌△ACD． ∴BD＝CD， 又DE＝DE， ∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等； 同理：图3中有6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分．） 11．（3分）是
的平方根．
．
【解答】解：∵（）2＝， ∴是的平方根． 故答案为：．
12．（3分）命题“根据客观事实能够判断一件事情真假的语句，叫做命题．”是 真 命题（填“真”或“假”）．
【解答】解：根据客观事实能够判断一件事情真假的语句，叫做命题，是真命题； 故答案为：真．
13．（3分）阅读理解：引入新数i，新数i可以与实数进行四则运算，且已知i2＝﹣1，那么（1+i）（1﹣i）＝ 2 ． •
【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝1﹣i2＝1+1＝2． 故答案为：2．
14．（3分）|﹣5|+（﹣2）2+
﹣
＝ 4 ．
【解答】解：原式＝5+4﹣3﹣2＝4， 故答案为：4
15．（3分）中国古代称直角三角形为勾股形，其中直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，有一个基本的几何定理，称之为勾股定理．它指直角三角形的两条直角
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边长（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方．如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达a2+b2＝c2，这是一个基本事实．利用这个基本事实解决下列问题．
如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处，如果小强同学站在平安路与新兴大街的交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为 500 m．
【解答】解：如图所示，设老街与平安路的交点为C， ∵BC∥AD， ∴∠ACB＝∠DAE， ∵BC⊥AB，DE⊥AC， ∴∠CBA＝∠AED＝90°， 在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（AAS）， ∴AE＝BC＝300 m， 在Rt△ABC中，AC＝
＝
＝500（m），
∴CE＝AC﹣AE＝500﹣300＝200（m）， 从B到E有两种走法：
①BA+AE＝400+300＝700（m）； ②BC+CE＝300+200＝500（m）， ∴最近的路程是500 m， 故答案为：500．
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三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．要求写出必要的规范的解答步骤．） 16．（8分）计算：a6b8÷（﹣ab2）2﹣a2•（﹣6ab2）2． 【解答】解：原式＝a6b8÷（a2b4）﹣a2•（36a2b4） ＝12a4b4﹣18a4b4 ＝﹣6a4b4
17．（9分）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝﹣1． 【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4 ＝x2﹣5，
当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣5＝﹣4．
18．（9分）用简便方法计算（结果用科学记数法表示）： （1）0.259×220×259×643； （2）20012﹣4002+1．
【解答】解：（1）原式＝0.259×220×518×49＝（0.25×4）9×（2×5）18×22＝1×1018×4＝4×1018；
（2）原式＝20012﹣2×2001×1+1＝（2001﹣1）2＝20002＝4000000＝4×106． 19．（9分）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4）． 乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
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请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： （1）m3﹣2m2﹣4m+8． （2）x2﹣2xy+y2﹣9．
【解答】解：（1）原式＝m2（m﹣2）﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2（m+2）； （2）原式＝（x﹣y）2﹣9＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．
20．（9分）现有两张铁皮，长方形铁皮的长为x+2y，宽为x﹣2y（x﹣2y＞0）；正方形铁皮的边长为2（x﹣y）．现根据需要，要把两张铁皮焊接成一张新的长方形铁皮，新铁皮长为6x，请你求出新铁皮的宽． 【解答】解：原来两张铁皮的面积为 （x+2y）（x﹣2y）+[2（x﹣y）]2， ＝x2﹣4y2+4x2﹣8xy+4y2， ＝5x2﹣8xy；
新铁皮的宽＝面积÷长＝（5x2﹣8xy）÷6x＝x﹣y． 故新铁皮的宽为x﹣y．
21．（10分）如图，点P是等边△XYZ内的一点，连接PX、PY、PZ，以YP为一边作∠PYQ＝60°，且YQ＝YP，连接ZQ．试观察猜想XP与ZQ的大小关系，并加以证明．
【解答】解：猜想：XP＝ZQ； 证明如下：∵△XYZ是等边三角形， ∴XY＝XZ＝YZ，∠XYZ＝60°； 又∵∠PYQ＝60°， ∴∠XYZ＝∠PYQ， ∴∠XYP＝∠ZYQ； 在△XYP和△ZYQ中，
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∴△XYP≌△ZYQ（SAS）， ∴XP＝ZQ．
22．（10分）如图，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE、DE、DC． ①求证：△ABE≌△CBD；
②若AB＝6，CE＝2BE，求△ADC的面积．
【解答】①证明：∵∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点， ∴∠ABE＝∠CBD＝90°， 在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）． ②解∵AB＝CB，AB＝6， ∴CB＝6， ∴
∵CE＝2BE， ∴BE＝2，
又由△ABE≌△CBD知BE＝BD， ∴BD＝2． ∴
． ．
∴△ADC的面积＝S△BCD+S△ABC＝24．
23．（11分）如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP
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也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP．
（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．
答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是 AB＝AP 、 AB⊥AP ．
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是 BQ＝AP 、 BQ⊥AP ．
（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成由
立
，
给
出
证
明
；
若
不
成
立
，
请
说
明
理．
【解答】解：（1）AB＝AP，AB⊥AP； （2）BQ＝AP，BQ⊥AP； （3）成立．
证明：如图，∵∠EPF＝45°， ∴∠CPQ＝45°． ∵AC⊥BC， ∴∠CQP＝∠CPQ， CQ＝CP．
在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS） ∴BQ＝AP；
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延长QB交AP于点N， ∴∠PBN＝∠CBQ． ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP， ∴∠BQC＝∠APC．
在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ＝90°， ∴∠APC+∠PBN＝90°． ∴∠PNB＝90°． ∴QB⊥AP．
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