牛红标
【期刊名称】《高中数理化》 【年(卷),期】2018(000)007 【总页数】5页(P30-34) 【作 者】牛红标
【作者单位】河北省保定市第一中学 【正文语种】中 文
在磁场中运动的带电粒子,由于磁场边界条件限制,或运动粒子的初始条件的变化,时常会出现粒子恰好到达某位置、恰好没有离开磁场等临界条件,而在对应的临界条件下会出现相应的最长时间、最远位置、最大或最小速度等极值问题．解决此类问题的关键点就是能否顺利找到相应的临界条件,并列出相关的物理方程或几何关系式,是对学生分析问题、解决问题能力的重大考验,也能比较好地考查学生的综合分析能力,而如果掌握相应的解题方法,显然对提升解决问题的能力有很大意义． 分析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动问题的临界条件的思维模式一般为: 1) 审题分析带电粒子的运动,画出情景示意图,找出对应的临界点; 2) 分析在临界点对应的物理规律和几何关系,写出相关的方程及表达式;
3) 综合分析题目中的条件,找出存在的极值,运用数学工具求解,分析合理性，求解最大、最小速度,最大、最小磁感应强度，离开磁场的最远、最近位置，在磁场中运动的最短、最长时间，以及区域的最大、最小面积等相应的极值问题．
对于粒子进入磁场初始速度的变化通常有以下两种基本模型,需熟练掌握． 图1
模型1 定向粒子动态圆，即由同一位置沿同一方向以大小不同的速度射入磁场的情形．例如,一束带负电的粒子以初速度 v垂直进入匀强磁场,若初速度v方向相同,大小不同,所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上,速度增大时,轨道半径随之增大,所有粒子的轨迹组成一组动态的内切圆, 如图1． 图2
模型2 散射粒子动态圆，即在匀强磁场中的某个位置,向各个方向发射速度大小一定的同种粒子．例如，如图2,一束带负电的粒子以初速度 v由一点垂直进入匀强磁场,v大小相同,方向不同,则所有粒子运动的轨道半径相同,不同粒子的圆心位置不同,所有轨迹均通过发射源,粒子轨迹的圆心都在以入射点为圆心,以轨道半径为半径的圆上,从而可以找出动态圆的圆心轨迹.此模型应用时需注意各轨迹圆的绕行方向．
下面我们分类进行讨论． 1 速度、磁感应强度的极值问题 图3
例1 如图3所示,在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场.一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子(重力不计)从AB的中点O以某速度进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°.若粒子能从AB边穿出磁场,则粒子在磁场中运动的最大速度为( ). 图4
本题就是模型1的应用,粒子带正电，进入磁场后顺时针偏转,随着速度的增大，粒
子运动轨迹半径增大,当轨迹圆与BC边相切时,为临界状态,此时对应的速度为最大速度,如图4所示,由几何关系可得 由物理规律可知 联立可得 选项B正确． 拓展 如果粒子由BC边射出，粒子速度应满足什么条件?由AC边射出，粒子速度应满足什么条件? (答案: 图5
例2 核聚变反应需要几百万度以上的高温,为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内(否则不可能发生核反应),通常采用磁约束的方法(托卡马克装置)．如图5所示,环状匀强磁场围成中空区域,中空区域中的带电粒子只要速度不是很大,都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内．设环状磁场的内半径为R1=0.5 m,外半径R2=1.0 m,若被束缚带电粒子的比荷q/m=4×107C·kg-1,中空区域内带电粒子具有各个方向的速度,速度的大小分布在1×107m·s-1到1.5×107m·s-1范围内,试计算
(1) 若粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场,所需磁感应强度的最小值． (2) 若使所有粒子都不能穿越磁场,磁感应强度的最小值． 图6
本题也同样属于模型1的应用.
(1)要粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场,则最大半径(速度最大)粒子的临界轨迹恰好与外圆相切,轨迹如图6所示,设轨迹半径为r1． 由图中几何关系知解得 r1=0.375 m. 由得 图7
(2) 因为在同一圆周上直径上的两点距离最远,所以当粒子以最大速度沿与内圆相切
方向射入磁场且轨道与外圆相切时,那么以其他速度射入磁场区域的粒子都不能穿出磁场边界,其临界条件下的轨迹如图7所示． 由图中几何关系可知 再由取最大速度,解得
通过以上两例分析可以看出,求解速度或磁感应强度极值问题时,关键是随着粒子轨迹的动态变化找到对应的临界条件,尤其是如果要求粒子不能从某个位置或某边界射出时,意味着粒子的运动轨迹恰好与此边界相切,再规范作出此条件下的示意图,得到几何关系,问题便可轻松得解．
2 求粒子到达(离开)磁场边界的最大范围 图8
例3 如图8所示,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小B=0.60 T,磁场内有一块平面感光板(足够大)ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离l=16 cm处,有一个点状的α放射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速度都是v=3.0×106m·s-1,已知α粒子的电荷与质量之比 C·kg-1,现只考虑在图纸平面中运动的α粒子,求ab上被α粒子打中的区域的长度．
本题为模型2的典型应用．α粒子带正电,故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用R表示轨道半径,有由此得 图9
因为2R>l>R,且所有粒子均由S点发出,所以向不同方向发射的α粒子的轨迹圆都过S,如图9所示,根据粒子绕行方向可知,某一轨迹圆在图中N点左侧与ab相切,则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点．为确定P1点的位置,可作平行于ab的直线cd,cd到ab的距离为R,以S为圆心,R为半径,作弧(图中未画出)交cd于Q
点,则Q为圆心,过Q作ab的垂线,它与ab的交点即为P1．由几何关系得
再分析N点右侧．任何α粒子在运动中离S的距离都不可能超过2R,以2R为半径、S为圆心作圆,交ab于N点右侧的P2点,此即为右侧能打到的最远点．由几何关系得所求长度
P1P2=NP1+NP2=20 cm．
本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小,其对应的轨迹半径也就确定了．但由于入射速度的方向发生改变,从而改变了该粒子的运动轨迹,导致粒子的出射点位置变化．在处理这类问题时关键是画出临界状态下粒子运动的轨迹图(对应的临界状态的速度的方向),再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围． 3 最大偏角及最长偏转时间问题 图10
例4 如图10所示,半径为r=10 cm的圆形匀强磁场区域边界跟y轴相切于坐标原点O,磁感应强度B=0.332 T,方向垂直纸面向里.在O处有一放射源S,可向纸面各个方向射出速度为v=3.2×106m·s-1的α粒子.已知α粒子质量m=6.64×10-27 kg,电荷量q=3.2×10-19 C.
(1)试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨迹. (2)求出α粒子通过此磁场空间的最大偏转角. 此问题也为典型的模型2的应用．
(1)粒子进入磁场在洛伦兹力作用下逆时针偏转,设轨道半径为R,由得 图11
虽然α粒子进入磁场的速度方向不确定,但粒子进场点均为S,因此α粒子做圆周运动的圆心必落在以S为圆心,以R=0.2 m为半径的圆周上,如图11中虚线半圆所示.
(2) 由几何关系可知,速度偏转角等于轨道对应的圆心角.在半径R一定时,为使α粒子速度偏转角最大,应使其轨道圆心角最大,即所对弦最长.该弦是偏转轨道圆的弦,同时也是圆形磁场的弦(在此你可以想象一个逆时针转动的圆与边界圆相交的情形).显然最长弦为匀强磁场区域圆的直径，即α粒子从磁场圆直径的A端射出的粒子对应偏转角最大.
如图11,作出偏转角φ及对应轨道圆心O′,由几何关系得得φ=60°,即α粒子穿过磁场空间的最大偏转角为60°. 图12
例5 如图12所示,在0≤x≤a、0≤y≤a/2范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B．坐标原点O处有一个粒子源,在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子,它们的速度大小相同,速度方向均在xOy平面内,与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2～a之间,从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时, (1)速度的大小;
(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦． 图13
本题特征依然是放射粒子动态圆模型2的问题条件．根据题目中全部离开磁场的时间即为粒子在磁场中运动的最长时间.在半径一定的条件下,在半个圆周以内,时间最长对应的圆心角最大,弦最长.本题中AO对应弦最大,如图13所示，但是根据圆的对称性特点可知,粒子不可能到达A点,这是本题中的难点．我们可以按以下思路进行分析,如图14所示,先画出半径大于a/2的一段圆弧,将运动圆弧以O为圆心旋转比较,注意观察圆弧与上边界相切时的临界状态,从图中不难看出此临界状态下对应在磁场中的弦(圆弧)最长,此即为最后离开磁场的粒子的运动轨迹．
图14
(1) 设粒子的发射速度为v,轨道半径为R,由牛顿第二定律和洛伦兹力公式有 ① ② 图15
分析临界关系可得:当a/2 Rsin α=a-Rcos α. ⑤ 又sin2α+cos2α=1. ⑥ 由式④～⑥解得 ⑦ 由式②、⑦得 ⑧ (2) 由式④、⑦得 以上两例均属于带电粒子在磁场中运动时间的极值问题.根据题目描述画出情景图,确定圆心、半径和圆心角是解决问题的关键，知道圆心角越大,粒子在磁场中运动的时间越长,是解决问题的重要突破口. 4 磁场区域的极值问题 图16 例6 如图16所示,在平面直角坐标系xOy中的第Ⅰ象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的有界圆形匀强磁场区域(图中未画出).在第Ⅱ象限内存在沿x轴负方向的匀强电场.固定在x轴上坐标为(-L,0) 的A点是粒子源，沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子,电子恰好能通过y轴上坐标为(0,2L)的C点,电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第Ⅰ象限内与x轴正方向成15°角的射线ON(已知电子的质量为m,电荷量为e,不考虑电子的重力和电子之间的相互作用).求: (1) 匀强电场的电场强度E的大小; (2) 电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ; (3) 圆形磁场的最小半径Rmin. (1) 电子在从A点垂直进入电场运动到C点的过程中,只受沿x轴正方向的电场力eE的作用,做类平抛运动,设其运动时间为t,因此在x方向上有 ① 在y方向上有 2L=vt. ② 由式①、②联立解得 (2) 电子在x轴方向上的位移因此故θ=45°. (3) 电子在进入磁场后仅受洛伦兹力作用,在磁场中做匀速圆周运动,设其轨道半径为r,离开电场后速度为v′,由运动学关系可知 ③ 根据牛顿第二定律有 ④ 根据题意画出电子的运动轨迹示意图如图17弧线PQ所示,由几何关系可知,电子在磁场中偏转120°后垂直于ON射出,当图中弦PQ为圆形磁场的直径时其半径最小(图中阴影部分),即有 Rmin=rsin 60°. ⑤ 由式③～⑤联立解得 图17 图18 例7 如图18所示,在xOy平面内有大量质量为m、电荷量为e的电子,从坐标原点O不断以相同的速率v0沿不同方向平行xOy平面射入第Ⅰ象限．现加一垂直xOy平面磁感应强度为B的匀强磁场,要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿x轴正方向运动．求符合条件的磁场方向及磁场区域的最小面积．(不考虑电子之间的相互作用) 图19 由于满足题意的电子必须顺时针转过一定角度,由左手定则可知,磁场方向为垂直纸 面向里．电子在磁场中做匀速圆周运动,半径为在由O点射入第Ⅰ象限的所有电子中,沿y轴正方向射出的电子转过1/4圆周,如图19所示,射出磁场时速度变为沿x轴正方向,这条轨迹为磁场区域的上边界． 下面确定磁场区域的下边界,设某电子进入磁场时与x轴正方向夹角为θ,若离开磁场时电子速度变为沿x轴正方向,则电子做匀速圆周运动转过的圆心角一定为θ,设其射出点(也就是轨迹与磁场边界的交点)的坐标为(x,y)．由图中几何关系可得: x=Rsin θ, y=R-Rcos θ, 消去参数θ可知磁场区域的下边界满足的方程为 x2+(R-y)2=R2 (x>0,y>0)， 这是一个圆的方程,圆心在(0,R)处，即磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积．磁场的最小面积为 磁场区域最小面积的确定关键在于寻求满足题目要求条件下对应磁场的形状及边界.例6中,要求最小的圆形磁场区域,即能包括所需粒子运动路径的最小的圆．例7中的难点在于下边界位置的确定,要充分利用题目中的条件,题中给出所有粒子半径均相同,且对任意粒子离开磁场时速度均沿x轴正向,从而利用数学参数方程得到要求的边界． 通过以上分析,带电粒子在磁场中存在的临界条件是灵活多样的,但是只要认真分析题目要求,画出情景图,找到临界条件下的几何关系,再充分运用数学工具,定能顺利解决问题． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容