.................................................................................................................................................................2018.10.22
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.
2.下列四个等式从左到右的变形，是多项式因式分解的是（ ） A. B. C.
D.
3.下列运算正确的是（ ） A. B. C. ∙ D.
4.分解因式 结果正确的是（ ） A. B.
D. C.
5.长方形的面积为 ，若它的一边长为 ，则它的周长为（ ） A. B. C. D.
6.如图，有 、 、 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A.在 ， 两边高线的交点处 B.在 ， 两边中线的交点处
C.在 ， 两边垂直平分线的交点处 D.在 ， 两内角平分线的交点处
7.若 ， ，则 和 的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，
8. 的值为（ ） A. B. C. D.
9.根据下列已知条件，能唯一画出 的是（ ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ，
10.如图，已知 中， ， ， 是高 和 的交点，则线段 的长度为（ ）
B. D. A. C.
11.如图， 中， ， 是 的中点， 的垂直平分线分别交 、 、 于点 、 、 ，则图中全等三角形的对数是（ ）
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
12.如图， 和 分别沿着边 、 翻折 形成的，若 ， 与 交于点 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分）
13.如果点 和点 关于 轴对称，则 的值是________．
14.如图， 的周长为 ， 的垂直平分线 交 于点 ， 为垂足， ，则 的周长为________．
15.如图， ， ，不再添加辅助线和字母，要使 ，需添加的一个条件是________（只写一个条件即可）
16.点 是 内一点，且点 到三边的距离相等， ，则 ________．
17.若 是一个完全平方式，则 的值为________．
18.阅读下文，寻找规律．
计算： ， ， …．
观察上式，并猜想： ________．
根据你的猜想，计算： ________．（其中 是正整数） 三、解答题：
19.在平面直角坐标系中， ， ， ．
在平面直角坐标系中， ， ， ． 在图中作出 关于 轴的对称 ；
写出 关于 轴对称 的各顶点坐标： ________； ________； ________．
20.化简求值： ，其中 ．
21.因式分解：
．
22.如图， 是 中点， ， ．证明： ．
23.已知：如图， 的角平分线与 的垂直平分线 交于点 ， ， ，垂足分别为 ， ． ①求证： ；
②若 ， ，求 的周长．
24. 阅读理解：
如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长 到点 使 ，再连接 （或将 绕着点 逆时针旋转 得到 ），把 、 ， 集中在 中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线 的取值范围是________；24. 问题解决：
如图②，在 中， 是 边上的中点， 于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接 ，求证： ；
24.
问题拓展：
如图③，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作一个 角，角的两边分别交 ， 于 、 两点，连接 ，探索线段 ， ， 之间的数量关系，并加以证明．
答案
1. 【答案】A
【解析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解： 、是轴对称图形，故 符合题意； 、不是轴对称图形，故 不符合题意； 、不是轴对称图形，故 不符合题意； 、不是轴对称图形，故 不符合题意． 故选： ． 2. 【答案】D
【解析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【解答】解： 、是整式的乘法，故 错误；
、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故 错误； 、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故 错误； 、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故 正确； 故选： ． 3. 【答案】C
【解析】原式各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解： 、原式 ，错误； 、原式 ，错误； 、原式 ，正确；
、原式 ，错误， 故选
4. 【答案】D
【解析】首先提取公因式 ，进而利用平方差公式进行分解即可． 【解答】解： ． 故选： ． 5. 【答案】D
【解析】首先利用面积除以一边长即可求得令一边长，则周长即可求解． 【解答】解：另一边长是： ， 则周长是： ． 故选 ．
6. 【答案】C
【解析】要求到三小区的距离相等，首先思考到 小区、 小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段 的垂直平分线上，同理到 小区、 小区的距离相等的点在线段 的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在 ， 两边垂直平分线的交点处． 故选 ． 7. 【答案】C
【解析】已知等式利用完全平方公式化简，整理即可求出所求式子的值．
【解答】解：已知等式整理得： ①， ②，
①-②得： ，即 ；
① ②得： ，即 ， 故选
8. 【答案】D
【解析】应用乘法分配律，求出算式 的值为多少即可．
【解答】解： 故选： ． 9. 【答案】C
【解析】要满足唯一画出 ，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有 选项符合 ，是满足题目要求的，于是答案可得．
【解答】解： 、因为 ，所以这三边不能构成三角形； 、因为 不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；
、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据 来画一个三角形； 、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形． 故选 ．
10. 【答案】B
【解析】易证 后就可以得出 ，进而可求出线段 的长度． 【解答】解：∵ ， ∴ ，
∴ ， ， ∴ ， 在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， 故选 ．
11. 【答案】D
【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 ，然后判断出 和 全等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 ，从而得到 关于直线 轴对称，再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解． 【解答】解：∵ 是 的垂直平分线， ∴ ， 又∵ ，
∴ ， ∵ ， 是 的中点， ∴ ，
∴ 关于直线 轴对称，
∴ ， ， ， 综上所述，全等三角形共有 对． 故选 ．
12. 【答案】B
【解析】根据 ，三角形的内角和定理分别求得 ， ， 的度数，然后根据折叠的性质求出 、 、 的度数，在 中，根据三角形的内角和定理求出 的度数，继而可求得 的度数，最后根据三角形的外角定理求出 的度数．
【解答】解：在 中，
∵ ，
∴设 为 ， 为 ， 为 ， 则 ， 解得： ，
则 ， ， ，
由折叠的性质可得： ， ， ， 在 中， ， ∴ ，
∴ ． 故选 ．
13. 【答案】
【解析】结合关于 轴、 轴对称的点的坐标的特点： 关于 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点 关于 轴的对称点 的坐标是 ； 关于 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点 关于 轴的对称点 的坐标是 ．求解即可．
【解答】解：∵点 和点 关于 轴对称， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为： ． 14. 【答案】
【解析】根据垂直平分线的性质计算． 的周长 ．
【解答】解：∵ 的垂直平分线 交 于 ， 为垂足 ∴ ， ， ∵ 的周长为 ， ∴
∴ 的周长 ． 故答案为： ．
15. 【答案】 或
【解析】添加条件 可证明 ，然后再根据 ，可得 ，再利用 定理证明 即可，或 利用 定理证明 ． 【解答】解：添加 ，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，
在 和 中， ，
∴ ． 故答案是： ．
当添加 时，利用 即可证得． 故答案是： 或 ． 16. 【答案】
【解析】根据三角形内角和定理求出 ，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等判断出点 是 角平分线的交点，再根据角平分线的定义求出
的度数，然后在 中，利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解． 【解答】
解：如图，∵ ，
∴ ， ∵点 到 三边的距离相等， ∴点 是 角平分线的交点，
∴ ，
在 中， ． 故答案为： ． 17. 【答案】 或
【解析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到 的值． 【解答】解：∵ 是一个完全平方式， ∴ ，
故 的值为 或 ， 故答案为： 或
18. 【答案】 ，; ．
【解析】 归纳总结得到一般性规律，写出即可；; 原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
【解答】解：解： ；; ．
19. 【答案】 , ,
【解析】先连接 、 ，于 ， ， 是梯形易证四边 等腰梯形，从有 ，而 、分是四边中点，用角形中定理有 且
且 ，可证四边形 是菱形，再利 ，
易求 ，可 是含有 角的直角三形，再利股定理求 ，即求边形 的周长． 【解答】
解：连接 、，如图所示，
∴ 边形 是平四边形， ，
∴ ， 又∵ ， ∴ 形， ∴ ，
∵ ， 形， ∴ ， ∴ ，
∵、 、 分别是四边中点，
同理有 ，且 ， ，
∴ ， ， ∴四边 是腰梯形，
∴四边形 的周长 ．
20. 【答案】解：原式
当 时，原式 ．
【解析】对 先去括号，再合并同类项，化简后将 代入化简后的式子，即可求得值．
其中 利用完全平方公式去括号， 利用平方差公式去括号． 【解答】解：原式
当 时，原式 ．
21. 【答案】解：
；;
；; ．
【解析】 首先提取公因式 ，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；; 直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；; 首先提取公因式 ，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：
；;
；; ．
22. 【答案】证明：∵ 是 中点， ∴ ， ∵ ，
∴ ， 即 ，
在 与 中， ，
， ∴ ．
【解析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】证明：∵ 是 中点， ∴ ， ∵ ，
∴ ， 即 ，
在 与 中， ，
， ∴ ．
23. 【答案】①证明：连结 ，
∵ 在 的中垂线上 ∴
∵ ， 平分 ∴
在 和 中， ，
∴ ， ∴ ；
②解：由 可得， ， ∴ ，
∴ 的周长 ， ．
【解析】①连接 ，根据垂直平分线性质可得 ，可证 ，可得 ；
②根据 得出 解答即可． 【解答】①证明：连结 ，
∵ 在 的中垂线上 ∴
∵ ， 平分 ∴
在 和 中， ，
∴ ， ∴ ；
②解：由 可得， ， ∴ ，
∴ 的周长 ， ．
24. 【答案】 ；; 证明：延长 至点 ，使 ，连接 、 ，如图②所示：
同 得： ， ∴ ，
∵ ， ， ∴ ，
在 中，由三角形的三边关系得： ，
∴ ；; 解： ；理由如下： 延长 至点 ，使 ，连接 ，如图 所示： ∵ ， ， ∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，
在 和 中，
， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ∴ ．
【解析】 延长 至 ，使 ，由 证明 ，得出 ，在 中，由三角形的三边关系求出 的取值范围，即可得出 的取值范围；; 延长 至点 ，使 ，连接 、 ，同 得 ，得出 ，由线段垂直平分线的性质得出 ，在 中，由三角形的三边关系得出
即可得出结论；; 延长 至点 ，使 ，连接 ，证出 ，由 证明 ，得出 ， ，证出 ，再由 证明 ，得出 ，即可得出结论． 【解答】 解：
延长 至 ，使 ，连接 ，如图①所示： ∵ 是 边上的中线， ∴ ，
在 和 中，
，
∴ ， ∴ ，
在 中，由三角形的三边关系得： ， ∴ ，即 ，
∴ ；
; 证明：延长 至点 ，使 ，连接 、 ，如图②所示： 同 得： ， ∴ ，
∵ ， ， ∴ ，
在 中，由三角形的三边关系得： ，
∴ ；; 解： ；理由如下： 延长 至点 ，使 ，连接 ，如图 所示： ∵ ， ， ∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，
在 和 中，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
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