广东省实验中学2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题理

理 科 数 学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分选择题（共60分）

一、(每题5分，共60分)

1．已知向量 ，，则 等于 ( )

A．B．

C．

D．

2．质点的运动方程是，则在这段时间内，相应的平均速度为

A．

B． D．

开始输入a，b，c C．

3．如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( ) A．cx? C．cb? 4．下列命题：

① 若 ， 共线，则 ， 所在直线平行； ② 若 ， 所在直线异面，则 与 一定不共线；

B．xc ? D．bc?

xabx?否是否是xbxc输出x结束 ③ 若 ，， 三个向量不共面，则空间中任一向量 都可用 ，， 表示出来； ④ 若 ，， 三个向量不共面，则任意两个向量不共线． 其中正确命题的个数是 ( )

1

A． B． C． D．

5．两圆：，：的公切线有且仅有

A． 条

B．条

C． 条

D． 条

6．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a32, a4a5a68, an1anan1128, 则n):( ) A．11

B．12

C．14

D．16

7．下图中有一个是函数的导函数的图象，则

A．

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为 A．1

9．在 中，，， 分为为 ，， 所对的边， 若函数 有极

值点，则 的范围是

A．

B．

C．

D．,

B．2 C．3 D．6

B．

C．

D． 或

10．如图，棱长为4的正方体 ABCD−A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二

面角为，则顶点C1到平面α的距离的最大值是 ( ) A． B． C． D．

2211．已知直线xyk0(k0)与圆xy4交于不同的两点

3A、B，O是坐标原点，且有|OAOB|≥|AB|，那么k的

3取值范围是

A．[3,22)

B．[2,22)

C．[2,) D．(3,)

2

12．设函数 ， 是公差为 的等差数列，，则 ( )

第二部分非选择题（90分）

二、 填空题(每题5分，共20分)

A．

B．

C．

D．

x013．记不等式组x2y2所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取

2xy2值 范围是________.

14．已知点关于直线的对称点为，则圆关于直线对称的圆的方程为 ． 15．曲线在点处的切线方程为 ．

16．如图，线段 ，点 在线段 上，且 ， 为线段 上一动点，点 绕点 旋

转后与点 绕点 旋转后重合于点 .设 ， 的面积为 ．则 的定义域为 ； 的解是 ．

三、解答题（共6大题，共计 70分） 17．（本题10分）

已知函数 ． Ⅰ 求 的最小正周期；

Ⅱ 求 在区间 上的最大值和最小值． 18．（本题10分）

已知关于 的二次函数 ．

Ⅰ 设集合 和 ，分别从集合 和 中随机取一个数作为 和 ，求函数 在区间[1,上为增函数的概率.

Ⅱ 在区间 和 上分别取一个数，记为 ，求使函数 在区间( 0 ,1 ) 和 ( 1 , 2 )上有解

的概率． 19．（本题12分）

已知函数 的图象过点 ，且点 在函数 的图象上． Ⅰ 求数列 的通项公式； Ⅱ 令 ，求数列 的前 项和为 ．

3

20．（本题13分）

如图，三棱柱ABCDEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面

CFBEFC侧面ADEB，AB4，DEB60，G是DE的中点． Ⅰ 求证：GB平面BEFC； Ⅱ 求CE到平面AGF的距离；

Ⅲ 在线段BC上是否存在一点P，使二面角PGEB 为GDBE45，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由．

21．（本题12分）

A如图，在直线 和 之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸（ 轴）是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往．家住 的某学生在位于公路上 处的学校就读．每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上 处的学校．已知船速为 ，车速为 （水流速度忽略不计）．

Ⅰ 若 ，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间； Ⅱ 若 ，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间．

22． (本题13分)

设函数在点处的切线方程为y=2x-1．

Ⅰ 求实数的值；

Ⅱ 若 , 证明：当x>1时, ;

Ⅲ 对于( 0 , 1 ) 中的任意一个常数m , 是否存在正数, 使得:

4

广东实验中学2016-2017学年高二(上)期末考

数 学（理科）答案及评分标准

一、选择题

1～12 BDADC ABACC BD

二、填空题

13. 14. 15. 16. 3 三、解答题 17.（本题10分） 解:（1） 由已知，有

所以 的最小正周期 ． …………………..5分 （2） 当 时，， …………………..6分 故由当 ，即 时， 单调递减；

故由当 ，即 时， 单调递增；…………………..8分 以及 ，，，

得当 时， 取到最大值 ；

当 时， 取到最小值 ． …………………..10分

18. （本题12分）

（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5=15………..1分

函数f（x）=ax2

-4bx+1的图象的对称轴为x=

要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数， 当且仅当a＞0且即2b≤a

若a=1则b=-1; 若a=2则b=-1，1； 若a=3则b=-1，1；

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5 ……………..4分∴所求事件的概率为 ……………5分 (2) 和 , 方程 =0在区间( 0 ,1 ) 和 ( 1 , 2 )上有解 ． 即 b ……………..7分

由(*)可得如图可行域:

4 D

2 A C B a 1 5 5

解得各点坐标为: A(3,2) B(4,2) C(5, D(5,3) =1-= …………..10分

= = ………… 11分

答：函数 在区间( 0 ,1 ) 和 ( 1 , 2 )上有解的概率为． …………..12分

19. （本题10分）

解:（1） 因为函数 的图象过点 ，所以 ，． ..……..2分

又点 在函数 的图象上，从而 ，即 ．

（2） 由 ， ..……..6分

得 ， 则 ，

两式相减得 ， ..……..8分 于是 ..……..10分

20. （本题13分）

解一:（Ⅰ）BE1，GE2，在△GEB中，GEB60，BG3． 因为BG2BE2GE2，

所以GBBE． ..因为侧面BEFC侧面ADEB，

侧面BEFC侧面ADEBBE，GB平面ADEB，

所以GB平面BEFC． （Ⅱ）连接CD与AF相交于H，则H为CD的中点，连接HG． 因为G为DE的中点， 所以HG∥CE．

因为CE平面AGF，HG平面AGF，

所以CE∥平面AGF . .设点E到平面AGF的距离为h 则有

即

……..5分

……..2分………4分 ……..6分 6

..

可算得AG= ，F到AG距离为 ，B到GE距离为

解得h=

CE到平面AGF的距离为 ..……..9分 （Ⅲ）设在线段BC上存在一点P，使二面角PGEB 为45 则过点P作PMGE于M ，连结BM

..…….11分

， ..……..13分

解二：（Ⅰ）同上 ..……..4分 （Ⅱ）BG,BE,BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系Bxyz． 则有 E

. .……..6分 设平面AGF的法向量 则 即 解得y=1 x= ..……..8分

设点E到面AGF 的距离为d =

CE到平面AGF的距离为 ..……..9分

（Ⅲ）假设在线段BC上存在一点P，使二面角PGEB为45．

平面BGE的法向量m(0,0,1)，设P(0,0,),[0,1]．.

zCPHBEGAFyxD 所以GP(3,0,)，GE(3,1,0)．

nGP0,设平面PGE的法向量为n(x,y,z)，则 nGE0.3xz0,所以 令z1，得y，x，

33xy0.所以PGE的法向量为n(

3,,1)． ..……..11分

7

因为mn1， 所以12321233． 0,1，故BP1，解得222因此在线段BC上存在一点P，使二面角PGEB为45， 且BP21. （本题12分）

（1） 设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点 ，再乘公交车去学校，所用的时间为 ，则

， ……..3分

． …………4分 令，得 ．

x ； 单调递减 极小值 单调递增 3. ………13分 2

...........6分 时，所用的时间最短，最短时间为：

..……..8 分

答：当 时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是 ．..……..9 分

（2） 由（1）的讨论可知，当 时， 为 上的减函数，所以当 ，即该学生直接乘船渡河到达公路上学校时，所用的时间最短． 最短时间为

..……..11 分

答：当 时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是 ． ..……..12分

22. （本题13分）

解：(Ⅰ)函数f(x)=lnx+ax的导数为f′(x)=1x+a， 在点(t,f(t))处切线方程为y=2x−1， 可得f′(t)=1*t+a=2 , f(t)=2t−1=lnt+at， 解得a=t=1； ..……4. 分 (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得f(x)=lnx+x， 8

要证当x>1时,f(x)>k(1−)+x−1， 即证lnx>k(1−)−1(x>1)， 即为xlnx+x−k(x−3)>0， 可令g(x)=xlnx+x−k(x−3),g′(x)=2+lnx−k， ..……..6 分 由− ⩽k⩽2，x>1，可得lnx>0，2−k⩾0， 即有g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)递增， 可得g(x)>g(1)=1+2k⩾0， 故当x>1时,f(x)>k(1−3x)+x−1恒成立； ..……..8 分 (Ⅲ)对于在(0,1)中的任意一个常数m， 假设存在正数x0,使得： 由 即对于m∈(0,1),存在正数x0,使得 ..……..9 分 从而存在正数x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可。 令H(x)= , H′(x)=， 令H′(x)>0,解得x>−lnm,令H′(x)<0，解得00， 则G(x)在(0,1)递增,可得G(x)9