2007年全国高中数学联赛河南省预赛高一

2024-04-28 来源：小侦探旅游网

2008年第5期27

2007年全国高中数学联赛河南省预赛(高一)

　　一、选择题(每小题5分,共30分)

1.f是集合M={a,b,c,d}到N={0,1,2}的映射,且

f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4.

)个.则不同的映射有(　　(A)13(B)19(C)21(D)23

cosx+sinx2.已知=2007.则

cosx-sinxπ

π+2x)csc+2x+tan(3

).的值为(　　

f(x+y)=f(x)+2f(y)且f(1)≠0.

二、填空题(每小题5分,共30分)

7.定义集合A、B的一种运算:A3B={x—x=x1+x2,其中,x1∈A,x2∈B}.若A={1,2,3},B={1,2},则A3B中的所有元

素数字之和为　　　.

8.已知条件p:|4x-3|<1;

条件q:x-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　.

9.数列1,1,2,1,1,3,1,1,1,4,1,1,1,1,5,…,1,1,…,1,n,…的前2007项之和为

n-1个

).则f(2007)值为(　　

(A)100215(B)1003(C)100315(D)10044.设a=

10.定义在R上的函数f(x)满足

f(f(x)-x+x)=f(x)-x+x.

若有且只有一个实数x0,使得f(x0)=

x0,则f(x)=　　　.

11.已知函数y=f(x)的反函数是

-1

13cos6°-sin6°,22

1-cos50°.2

(x)=logsec2θ

2007x

+tanθ,θ∈0,

2tan13°,c=2

1-tan13°

).则有(　　

则方程f(x)=2007的解集为　　　.

12.已知关于x的方程x+3x-x+a=0的三个实数根成等差数列.则实数a=

(A)a(C)a>b>c(D)b2

5.函数f(x)=x-2ax+a在区间

f(x)(-∞,1)上有最小值.则函数g(x)=

(20分)如图1,直三、

线l过线段AB的端点A且垂直于AB,E、F为l上的任意两点,且EB⊥BF,O为AB的中点,过E作

EP∥AB,联结FO并延长

)上一定(　　).在区间(1,+∞

(A)有最小值(B)有最大值(C)是减函数(D)是增函数

6.函数f(x)=(　　).

(A)90

n=1

|x-∑

n|的最小值为

(B)171(C)190(D)45

交EP于点P,联结PB并图1

延长到点D.求证:FB平分∠ABD.

(20分)已知数列{an}的前n项和四、

28中等数学

Sn=2an-3×2+4(n∈N+).

(1)求数列an的通项公式;

(2)设Tn为数列{Sn-4}的前n项和,

=tanx+3.C.

=2007.4

求Tn.

(20分)定义在[-1,1]上的奇函数五、

f(x)满足f(1)=1,且当a、b∈[-1,1],a+

f(a)+f(b)b≠0时,有>0.a+b

(1)证明:f(x)是[-1,1]上的增函数;1(2)证明:当≤x≤1时,f(x)≤3x;

3(3)若f(x)≤m2+2am+1对所有的

x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求m的取

令x=y=0,得f(0)=0.令x=0,y=1,得f(1)=1.21.2

令y=1,得f(x+1)-f(x)=故{f(n)}是首项为f(1)=的等差数列.于是,

f(2007)=f(1)+

11、公差为22

1(2007-1)=100315.2

4.A.

值范围.

(20分)在数列{an}中,六、

an=cos2θ(n∈N).

(1)若集合A={θ|a0>0,a1<0,θ∈

因为a=

13cos6°-sin6°=sin24°,222tan13°b==tan26°,2

1-tan13°

1-cos50°=sin25°,2

π],求A∩B;R},B=[0,2

(2)求所有的实数θ,使得数列{an}的每一项都是负数.

所以,aπ

又x∈0,,有sinx2

故sin25°2

由f(x)=x-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,得a<1.

f(x)a从而,g(x)==x+-2a.

参考答案

一、1.B.

(1)像的集合为{1}时,有f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=1,这样的映射有1个;

(2)像的集合为{0,2}时,f(a)、f(b)、f(c)、f(d)中有2个0,2个2,枚举可得这样的映射有6个;

(3)像的集合为{0,1,2}时,f(a)、f(b)、f(c)、f(d)中有1个0,2个1,1个2,枚举可得这样的映射有12个.

综上,不同的映射有1+6+12=19个.2.C.

cosx+sinx由=2007,知cosx-sinxπ1+tanx=tanx+=2007.

1-tanx4

π+2x)故csc+2x+tan(3

21sin2x1+sin2x=+=cos2xcos2xcos2x

当a≤0时,g(x)=x+)上一定是增函数;+∞

a-2a在(1,x

当0)是增函数.因此,g(x)在(1,+∞

6.A.

f(x)=

n=1

|x-∑

n=1

|x-∑

n|+|x-10|+

n=11

|x-∑

≥

n=1

∑(x-

n)+

n=11

∑(n-

x)+|x-10|

2008年第5期

≥

n=1

∑(x-

n)+

n=11

∑(n-

x)=90,

22232

=-3bx+(3b-d)x-b+bd.

当且仅当x=10时,上式等号成立.

二、7.14.

A3B中元素为2,3,4,5,故其所有元素数字之和为14.

8.[0,015].

由p是q的必要不充分条件知q是p的必要不充分条件.

1又知p:21从而,a+1≥1且a≤.

1故0≤a≤.

9.3898.

n(n-1)数列中从数1到n共有n+

62×(62-1)项,从而,从数1到62共有62+

=1953项,之后是54个1.

故前2007项之和为

(1+2+…+62)+(1+2+…+61)+54=3898.

10.x-x+1.

因为有且只有一个实数x0使得f(x0)=x0,所以,f(x)-x+x=x0恒成立.

比较系数得

2232

-3b=3,3b-d=-1,-b+bd=a.从而,a=-3.三、如图2,延长EP、FB交于点C.

因为O为AB的中点,EP∥AB,所以,

EP=PC.

图2

又EB⊥BF,

则PB为Rt△EBC斜边EC的中线.

从而,PB=PC,即有

∠PCB=∠PBC=∠FBD.

又∠ABF=∠ECB,则BF平分∠ABD.

(1)Sn+1-Sn=2(an+1-an)-3(2n+1-2n),四、即　an+1=2an+3×2.

两边同除以2

an+1n+1

得

an+1

n+1

3,则2

由a1=2a1-3×2+4,得a1=2.

n+1

3.2

则数列an2

是以

a12

23=1为首项、22

为公差的等差数列.

由

令x=x0,得f(x0)-x+x0=x0.解得x0=0或1.

当x0=0时,f(x)=x-x,此时,f(x)=x有两个解,不满足题意;

当x0=1时,f(x)=x-x+1,此时,

f(x)=x有且只有一个解,满足题意.

=1+(n-1)×3,得2

11.{1}.

20072

+tanθ=2007

1,得f(x)=2007的解集为{1}.

12.-3.

设这三个根分别是b-d、b、b+d.则32

x+3x-x+a

=(x-b+d)(x-b)(x-b-d),2

即　3x-x+a

31n

n-2.

31n

(2)将an=n-2代入Sn=2an-22n

3×2+4,得

Sn-4=(3n-4)2.

an=

由f

-1

(2007)=logsec2θ

注意到

Tn=(3×1-4)×2-4)×2+(3×2

…+(3n-4)×2,

2Tn=(3×1-4)×2+(3×2-4)×2

n+1

…+(3n-4)×2.①-②得

123

-Tn=(3×1-4)×2+3×2+3×2

①

+②+

nn+1

…+3×2-(3n-4)×222nn+1

=-2+3(2+3+…+2)-(3n-4)2

2n-12(1-2)n+1

=-2+3×-(3n-4)2

1-2

=-14+(14-6n)2.

故Tn=14-(14-6n)2.

(1)任取x1、五、x2∈[-1,1],且x1<中等数学

x2.则

f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)f(x1)+f(-x2)[x1+(-x2)].

x1+(-x2)f(x1)+f(-x2)

>0,

x1+(-x2)

因为

ππ3π+7(k∈Z).<θ<2k

π7πππ3所以,A∩B=,∪,.

4224

(2)若θ为满足条件的实数,则1n

-1≤cos2θ≤-.41这是因为:若cosθ∈-,0,则472

cos2θ=2cosθ-1<-,8

cos4θ=2cos2θ-1>0,与an<0矛盾.

π+2k

由上述推导可知,对任意正整数n均有

-1≤cos2θ≤-.

1≥3n

于是,cos2θ-.

注意到

112

cos2θ+=2cosθ-22

11=2cosθ+・cosθ-22≥3cosθ+1.22

1≤21则cosθ+cos2θ+

2322

1≤≤2cos4θ+…

nn212n

≤≤cos2θ+.

323

n2而当n→+∞时,→0.

11故cosθ+=0,即cosθ=-.

π2π±(k∈Z).解得θ=2k

ππ±2时,对任意自另一方面,当θ=2k

31n

然数n均有cos2θ=-,满足条件.2

综上所述,所有的实数θ的集合为

π2θθ=2kπ±(k∈Z).

(叶大卫　提供)

x1+(-x2)<0,

所以,f(x1)-f(x2)<0.

因此,f(x)是[-1,1]上的增函数.

1(2)由(1)知,当≤x≤1时,

f(x)max=f(1)=1,(3x)min=1.

所以,当

1≤≤

x1时,f(x)≤3x.3

(3)要使f(x)≤m2+2am+1对所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,只须

f(x)max≤m2+2am+1,

即1≤m+2am+1对任意的a∈[-1,1]恒

成立,亦即m+2am≥0对任意的a∈[-1,

1]恒成立.

令g(a)=2ma+m,只须

g(-1)=-2m+m≥0,2

g(1)=2m+m≥0.

解得m≤-2或m≥2或m=0,即为所求.

(1)令a0>0,即cosθ>0.六、

πππ-π+(k∈Z).解得2k<θ<2k

令a1<0,即cos2θ<0.

ππ

π+<θ44

从而,集合

πππ+π+A=θ2k<θ<2k或

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