经典均值不等式练习题

均值不等式别名基本不等式、均值定理、主要不等式.是求范围成绩最有益的工具之一，在方式上均值不等式比较简单，但是其变更多样、使用灵活.特别要留意它的使用条件（正、定、等）.

1. (1)若a,bR，则a

2b2ab

2a2b2(2)若a,bR，则ab2

（当且仅当ab时取“=”）

2ab (2)若a,bR*2. (1)若a,bR*，则ab仅当ab时取“=”）

，则ab2ab （当且

ab(3)若a,bR，则ab2*2 (当且仅当ab时取“=”）

a、b3. 均值不等式链：若

aba2b2ab1122ab2都是负数，则

，当且仅当ab时等号成立.

（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）

一、 基本技巧

技巧1：凑项

例 已知x5，求函数y4x241的最大值. 4x5技巧2：分离配凑

x27x10(x1)的值域. 例 求yx1技巧3：利用函数单调性

例 求函数y技巧4：全体代换

x25x42的值域.

例 已知x0,y0，且典型例题

191，求xy的最小值. xy1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 2. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则

ab2cd的最小值是( )

A.0 B.1 C.2 D. 4

3. 若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值范围为( )

A.0,B.4,C.5,D.4,4

4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则21+的最小值是( ) abA.1

B.5

C.4

2D.3+2

2

5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是. 6. 已知x,yR，且满足xy1，则xy的最大值为.

34113是3a与3b的等比中项，则的最小值为( )

ab1 A 8 B 4 C 1 D

47. 设a0,b0.若8. 若负数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 ( )

A.

2428 B. 559. 若a0,b0,ab2，则以下不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(写出所有准确命题的编号)．

①ab1； ②ab2； ③ a2b22； ④a3b33； ⑤112

ab10.设a＞b＞0，则a211的最小值是（ ） abaab（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 11.以下命题中准确的是

1A、yxx的最小值是2B、yx23x22的最小值是2

C、y23x小值是243

44(x0)的最大值是243D、y23x(x0)的最xx12. 若x2y1，则2x4y的最小值是______