人教版必修高一数学第三章三角恒等变换测试题及答案

考试时间：100分钟，满分：150分

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.

1．计算1－°的结果等于 ( )

2．cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)等于 ( )

C．－13

2 D．－2

3．已知cosπα－41＝4，则sin2α的值为 ( ) B．－73

8 D．－4

4．若tanα＝3，tanβ＝4

3，则tan(α－β)等于 ( )

A．－3 B．－1

3

C．3

5．cos2

75°＋cos2

15°＋cos75°·cos15°的值是( )

D．1＋

23

6．y＝cos2

x－sin2

x＋2sinxcosx的最小值是 ( ) B．－2 C．2

D．－2

7．已知sinα－π3＝13，则cosπ6＋α的值为 ( ) B．－1

3

D．－233

等于 ( ) C．2

9．把12[sin2θ＋cos(π3－2θ)]－sinπ12cos(π

12＋2θ)化简，可得 ( )

A．sin2θ B．－sin2θ C．cos2θ D．－cos2θ

10．已知3cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，则tan(α＋β)·tanα的值为 ( A．±4 B．4 C．－4 D．1 二、填空题（每小题6分，共计24分）. 11．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________.

12．化简3tan12°－3

sin12°·4cos2

12°－2

的结果为________． 13．若α、β为锐角，且cosα＝12

10，sinβ＝5

，则α＋β＝______.

14．函数f(x)＝sinπ

2x－42

－22sinx的最小正周期是________．

) 三、解答题（共76分）.

33sin2α＋2sinα15.（本题满分12分）已知cosα－sinα＝2，且π<α<π，求的值．

521－tanα16.（本题满分12分）已知α、β均为锐角，且cosα＝值．

13

17.（本题满分12分）求证：2－2＝32cos20°.

sin10°cos10°ππππ2

18.（本题满分12分）已知－<α<，－<β<，且tanα、tanβ是方程x＋6x＋7

2222

＝0的两个根，求α＋β的值．

π1

19.（本题满分14分）已知－＜x＜0，sinx＋cosx＝，求：

25(1)sinx－cosx的值；

3sin－2sincos＋cos

2222

(2)求的值．

1

tanx＋

tanx11π2

20.（本题满分14分）已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cosxcosφ－sin＋φ(0＜φ＜

222

π1π)，其图象过点，. 62(1)求φ的值；

1

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)

2

π的图象，求函数g(x)在0，上的最大值和最小值．

4

2

2

25

，sinβ＝

310

，求α－β的

xxx2

x高中数学必修4第三章《三角恒等变换》测试题A卷参考答

案

一、

选择题

2

，故选B. 2

3. 2

1. 【答案】B.

【解析】 1－°＝cos45°＝2. 【答案】B.

【解析】 cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)＝cos(39°－9°)＝cos30°＝3. 【答案】B.

ππ72【解析】 sin2α＝cos(2α－)＝2cosα－－1＝－. 428

4. 【答案】 D

tanα－tanβ【解析】 tan(α－β)＝＝1＋tanαtanβ1＝. 431＋3×

343－3

5. 【答案】 A

1522

【解析】 原式＝sin15°＋cos15°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝.

246. 【答案】 B

π

【解析】y＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋)，∴ymax＝－2.

4

7. 【答案】B.

π1ππππ【解析】 cos＋α＝sin－－α ＝sin－α＝－sinα－＝－. 3362638.【答案】C.

3－sin70°3－sin70°23－cos20°

【解析】 ＝ ＝＝2. 2

2－cos10°1＋cos20°3－cos20°

2－

29.【答案】A.

1ππππ5π

【解析】原式＝[cos(－2θ)＋cos(－2θ)]－sincos(＋2θ)＝cos(－

223121212

ππ5π5πππ

2θ)cos－sinsin(－2θ)＝cos[(－2θ)＋]＝cos(－2θ)＝sin2θ.

1212121212210.【答案】C.

【解析】 3cos[(α＋β)＋α]＋5cosβ＝0，即3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cosβ＝0.

3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cos[(α＋β)－α]＝0，3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cos(α＋β)·cosα＋

5sin(α＋β)sinα＝0，8cos(α＋β)cosα＋2sin(α＋β)sinα＝0，8＋2tan(α＋β)tanα＝0，∴tan(α＋β)tanα＝－4. 二、 填空题 11. 【答案】 2

【解析】原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°

＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原

1－tan17°·tan28°式可得结果为2.

12.【答案】－43

3tan12°－33tan12°－33tan12°－32cos12°

【解析】＝ ＝＝2sin12°·4cos12°－22sin12°·cos24°2sin12°·cos12°·2cos24°23sin12°－6cos12°

sin48°

43sin12°·cos60°－cos12°·sin60°－43sin48°＝ ＝＝－43.

sin48°sin48°

3π

13.【答案】

4

3105

【解析】∵α、β为锐角，∴sinα＝，cosβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－

105sinαsinβ

105310252πππ×－×＝－<0，又0<α＜，0＜β<，∴<α＋β<π. ∴α＋β10510522223π＝. 4＝

14.【答案】π

πππ2

【解析】f(x)＝sin2x－－22sinx ＝sin2x－－2(1－cos2x) ＝sin2xcos－

444

π

sincos2x＋2cos2x－2

4

π2222＝sin2x－cos2x＋2cos2x－2 ＝sin2x＋cos2x－2＝sin2x＋－2∴42222最小正周期为π.

三、 解答题

32187

15. 解： 因为cosα－sinα＝，所以1－2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝.

525253π42

又α∈(π，)，故sinα＋cosα＝－1＋2sinαcosα＝－，

25

sin2α＋2sinα2sinαcosα＋2sinαcosα2sinαcosαcosα＋sinα所以＝＝＝

1－tanαcosα－sinαcosα－sinα742

×－25532

5

2

2

28＝－.

75

16. 解： 已知α、β均为锐角，且cosα＝310

310

1

25

，则sinα＝1－

2

2

5

＝

15

.

又∵sinβ＝，∴cosβ＝1－

2

＝

. 10

∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ＝1

12352×－×＝－＝－.

251051050

π

又∵sinα2ππ∴－<α－β<0.∴α－β＝－.

24

132617. 证明：左边＝－ ＝－

1－cos20°1＋cos20°1－cos20°1＋cos20°

22

1

8cos20°－28cos20°－4

＝＝ 22

1－cos20°sin20°8cos20°－cos60°＝ 2sin20°

8[cos40°－20°－cos40°＋20°]＝ 2

sin20°

2

16sin40°sin20°32sin20°cos20°＝＝ 22

sin20°sin20°

＝32cos20°＝右边，

∴原式成立．

18. 解： 由题意知tanα＋tanβ＝－6，tanαtanβ＝7 ∴tanα<0，tanβ<0. ππππ又－<α<，－<β<，

2222ππ

∴－<α<0，－<β<0.

22∴－π<α＋β<0.

tanα＋tanβ－6∵tan(α＋β)＝＝＝1，

1－tanαtanβ1－73π

∴α＋β＝－.

4

124

19. 解：(1)由sinx＋cosx＝，得2sinxcosx＝－.

525

492

∵(sinx－cosx)＝1－2sinxcosx＝，

25

π

∵－＜x＜0.∴sinx＜0，cosx＞0.

2

7

∴sinx－cosx＜0.故sinx－cosx＝－.

53sin－2sincos＋cos

2222

(2)

1

tanx＋tanx2sin－sinx＋1

2

＝

sinxcosx＋

cosxsinx22

xxx2

xx＝sinxcosx2sin－sinx＋1

2

2

x＝sinxcosx[2(1－cos)－sinx＋1)]

2

2

x＝sinxcosx1－2cos＋2－sinx

2

2

x＝sinxcosx(－cosx＋2－sinx) 108121＝－×2－ ＝－. 125255

11π2

20. 解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cosxcosφ－sin＋φ(0＜φ＜π)，

222

11＋cos2x1

所以f(x)＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ

222

11

＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ 221

＝(sin2xsinφ＋cos2xcosφ) 21

＝cos(2x－φ)． 2

π1又函数图象过点，， 62

11ππ所以＝cos2×－φ，即cos－φ＝1.

6223

π

又0＜φ＜π，∴φ＝.

3

π1

(2)由(1)知f(x)＝cos2x－.

32

π11将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，变为g(x)＝cos4x－. 322

πππ2π

∵0≤x≤，∴－≤4x－≤.

4333ππ1

当4x－＝0，即x＝时，g(x)有最大值；

3122π2ππ1

当4x－＝，即x＝时，g(x)有最小值－.

3344