全国硕士研究生统一入学考试
数学公式大全
高等数学公式
导数公式：
(tgx) secx (ctgx) csc2 x (sec x) sec x tgx (csc x) csc x ctgx (ax ) ax ln a
1
(log a x)
x ln a
2
(arcsin x)
1 x2
1
(arccos x) 1 x2
1 (arctgx)
1 x2
1
(arcctgx) 1 x2
1
基本积分表：
tgxdx ln cos x C ctgxdx ln sin x C sec xdx ln sec x tgx C
xdx ln csc x ctgx C csc dx 1 x arctgC
dx 2
seccos 2 x xdx tgx C dx
sin 2 x csc2 xdx ctgx C
a
sec x tgxdx sec x C csc x ctgxdx csc x C
ax
adx ln a C
x
a a a x
C 1 ln
x2 a2 2a x a dx 1 ln a x C a2 x2 2a a x dx arcsin x C 2 2
a a x
x
dx
2 2
shxdx chx C chxdx shx C dx ln( x
x2 a 2
x2 a 2 ) C
n 1 n nxdx In2
In sin xdx cos
n 0 0
2ax2 2dx 2 22 2 x a x a ) C x a ln(x 2 2 a2 x 2 2 22 22 2
x a dx 2 x a a2 ln x x a C
x
x 2 2 arcsin C 2 2
a x dx 2 a x 2 a
2 2
考研资料
三角函数的有理式积分：
1 u2 x 2u u tg ， dx 2du ， ， cos x sin x
1 u 2 1 u2 1 u2 2
一些初等函数：
两个重要极限：
x x
双曲正弦: shx e e
2 x x
双曲余弦: chx e e
2
shx ex e x
双曲正切: thx
chx ex e x
lim x0
sin x x 1
1
lim(1 )x e 2.718281828459045... xx
arshx ln( x x2 1） archx ln( x x2 1)
1 1 x
arthx ln
2 1 x
三角函数公式： ·诱导公式：
函数 角 A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin cos tg -tgα ctgα ctg -ctgα tgα -ctgα ctgα tgα -ctgα ctgα -sinα cosα cosα cosα sinα sinα -sinα -ctgα -tgα -cosα -tgα -sinα -cosα tgα -cosα -sinα ctgα -cosα sinα -sinα cosα sinα cosα -tgα tgα -ctgα -tgα
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tg tg tg ( )
1 tg tg ctg ctg 1 ctg ( )
ctg ctgsin sin 2 sin
2
sin sin 2 cos sin 2 2 cos cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
cos cos 2 sin
2
sin
2
考研资料
·倍角公式：
sin 2 2 sin coscos 2 2 cos 1 1 2sin cos sinctg 2 1
ctg 2 2ctg tg 2 2tg1 tg 2
2
2
2
2
sin 3 3sin 4sin3 cos 3 4 cos3 3cos3tg tg 3tg 3
1 3tg 2
·半角公式：
sin 1 cos2 2
tg 1 cos 1 cos sin 2 1 cossin1 cos·正弦定理： cos 1 cos2 2
ctg 1 cos 1 cos sin 2 1 cossin1 cos·余弦定理： c a b 2abcosC
2 2 2 a b c
2R sin A sin B sin C
·反三角函数性质： arcsin x
2
arccos x
arctgx arcctgx
2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
n
(uv) C n u
k 0
(n) k (nk ) (k )
v
u(n) v nu(n1) v
n(n 1) (n2) n(n 1)(n k 1) (nk ) (k )
uv uv uv(n)
2! k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b) f (a) f ( )(b a) f (b) f (a) f ( )
柯西中值定理：
F (b) F (a) F ( )
当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：ds 1 y2 dx,其中y tg . : 从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM 弧长。 平均曲率：K s d yM点的曲率：K lim . s0 s ds (1 y2 )3
直线：K 0; 1
半径为a的圆：K .
a
定积分的近似计算：
考研资料
b a
矩形法： f (x) n ( y0 y1 yn1 )
a
b a 1
梯形法： f (x) n [ 2 ( y0 yn ) y1 yn1 ]
a
b a
抛物线法：f (x) 3n [( y0 yn ) 2( y2 y4 yn2 ) 4( y1 y3 yn1 )] a
b
b
b
定积分应用相关公式：
功：W F s 水压力：F p A
m1m2
, k为引力系数r 2
b 1 函数的平均值：y f (x)dx b a a
1b
均方根： f 2 (t)dt
b a a 引力：F k
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d M1M 2 2 2
(x 2 x ) y )2 (z z 1 ( y 2 1 2 )
1
向量在轴上的投影：Pr ju AB AB cos,是AB与u轴的夹角。
Pr ju (a1 a) Pr jaPr ja2 1 2
a b a b cos ab ab ab,是一个数量,
xx yy zz 两向量之间的夹角：cos
axbx ayby azbz
2 2 2
a b 2 x b 2 y b 2 x a y a z
z
i j k
.例：线速度：v w r. c a a a a , c a
b b sin x y z
bx by bz
ax ay az 向量的混合积：[abc ] (a b ) c bx by bz a b c cos ,为锐角时
cx cy cz 代表平行六面体的体积。
考研资料
平面的方程：
1、点法式：A(x x ) B( y y ) C(z z ) 0，其中n {A, B,C}, M 0 (x 0 , y 0 , z 0) 0 0 0 2、一般方程：Ax By Cz D 0
x y z
3 、截距世方程： 1
a b c
平面外任意一点到该平面的距离：d
Ax0 By0 Cz0 D
A B C 2 2 2
x x0 mt
x x0 y y0 z z0
空间直线的方程： m n t,其中s {m, n, p};参数方程：y y nt z z0 ptp 0
二次曲面：
22 y z 2 x 1、椭球面： 1a2 b2 c2
x2 y 2
2、抛物面： z（, p, q同号）
2 p 2q
2 2 z 2x y 单叶双曲面：2 2 c2 1 abz 22 2 2 x y c双叶双曲面：（1 马鞍面）
a2 b2
3、双曲面：
多元函数微分法及应用
全微分：dz
z dx dy x y
z
du
u
u u
dx dy dz x y z
全微分的近似计算：z dz f x (x, y)x f y (x, y)y 多元复合函数的求导法：
dz z u z v z f [u(t),v(t)] dt u t v t
z z u z v z f [u(x, y),v(x, y)] x u x v x
当u u(x, y)，v v(x, y)时，
u u v v du dx dy dv dx dy
x y x y
隐函数的求导公式：
dy Fx ， 隐函数F (x, y) 0， dx Fy z F
隐函数F (x, y, z) 0， x ，
x Fz
d 2 y ( Fx )＋ ( Fx ) dy
dx2 x Fy y Fy dx
F yy Fz z
考研资料
F (x, y,u,v) 0
隐函数方程组：
G(x, y,u,v) 0 u 1 (F ,G) x J (x,v) u 1 (F ,G) y J ( y,v)
F F (F ,G) Fu Fv
u v J
(u,v) G G GG
u v
u v v 1 (F ,G) x J (u, x) v 1 (F ,G) y J (u, y)
微分法在几何上的应用：
x (t)
x x0 y y0 z z0 空间曲线y (t)在点M (x , y , z )
处的切线方程： 0 0 0
(t0 ) (t0 ) (t0 ) z (t)
在点M处的法平面方程： (t0 )(x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
Fy Fz Fz Fx Fx Fy F (x, y, z) 0
, 若空间曲线方程为：,则切向量T { , }
G GG 0G G(x, y, z) Gz Gz x y y x
曲面F (x, y, z) 0上一点M (x0 , y0 , z0 )，则：
1、过此点的法向量：n {F (x , y , z ), F (x , y , z ), F (x , y , z )}
x
0
0
0
y
0
0
0
z
0
0
0
2、过此点的切平面方程：Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0 y y0 z z0
3、过此点的法线方程： x x0 Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
方向导数与梯度：
f f f 函数z f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为 ： cos sin l x y
f f i j x y
f
它与方向导数的关系是： grad f (x, y) e，其中e cos i sin j，为l方向上的
l
单位向量。 f
是grad f (x, y)在l上的投影。 l 函数z f (x, y)在一点p(x, y)的梯度：grad f (x, y)
其中为x轴到方向l的转角。
多元函数的极值及其求法：
考研资料
设fx (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) 0，令：f xx (x0 , y0 ) A, f xy (x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) C AC B2 0 A 0,(x0 , y0 )为极大值
时，
, y )为极小值 A 0,(x 0 0 2
则：无极值 AC B 0时， AC B2 0时, 不确定
重积分及其应用：
f (x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrdD
D
曲面z f (x, y)的面积A
D
z z
1 dxdy x y
2
2
x (x, y)d M x D 平面薄片的重心：x ,
M (x, y)dD
D
y y (x, y)dMy D M (x, y)dD
平面薄片的转动惯量：对于x轴I x y 2 (x, y)d , 对于y轴I y x2 (x, y)dD
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M (0,0, a),(a 0)的引力：F {Fx , Fy , Fz }，其中
(x, y)xd， Fx f 3 D 2 (x2 y 2 a2 )
柱面坐标和球面坐标：
(x, y) yd， Fy f 3 2 D
(x2 y a2 ) 2
(x, y)xd Fz fa 3 2 2 2D 2
(x y a)
x r cos
柱面坐标：f (x, y, z)dxdydz F (r, , z)rdrddz, y r sin ,
z z
其中：F (r, , z) f (r cos , r sin , z)
x r sin cos 2
球面坐标：dv rd r sin d dr r sindrdd y r sin sin ，
z r cos2
r ( , )
f (x, y, z)dxdydz F (r,, )r sindrdd d d F (r,, )r
2
2
sindr
重心：x
1
xdv, M
y
1 0
ydv, M
z
1 0 0
zdv， M
其中M x dv
转动惯量：I x ( y 2 z 2 )dv，
I y (x2 z 2 )dv， I z (x2 y 2 )dv
曲线积分：
考研资料
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
x (t) ( t ),则：
设f (x, y)在L上连续，L的参数方程为：,
y (t)
f (x, y)ds f [ (t), (t)] (t) (t)dt 2 2 L
( )
x t
特殊情况：
y (t)
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
x (t)
设L的参数方程为 ，则：
y (t)
P(x, y)dx Q(x, y)dy {P[ (t), (t)] (t) Q[ (t), (t)] (t)}dt
L
两类曲线积分之间的关系： Pdx Qdy (P cos Q cos )ds，其中和分别为
L L
L上积分起止点处切向量的方向角。 Q P Q P 格林公式：( )dxdy Pdx Qdy格林公式：( )dxdy Pdx Qdy
y y
D x D x Q P L 1 L当P y,Q x dxdy xdy ydx ，即： 2时，得到D的面积：A x y
2 L
D ·平面上曲线积分与路径无关的条件： 1、G是一个单连通区域；
Q P 2、P(x, y)，Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数，且＝。注意奇点，如(0,0)，应
x y
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
·二元函数的全微分求积： Q P 在＝时，Pdx Qdy才是二元函数u(x, y)的全微分，其中： x y
u(x, y)
( x, y )
( x0 , y0 )
P(x, y)dx Q(x, y)dy，通常设x y0 0 0。
曲面积分：
对面积的曲面积分： f (x, y, z)ds
f [x, y, z(x, y)] 1 z (x, y) z (x, y)dxdy
x 2 y 2
Dxy
对坐标的曲面积分： P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy，其中：
R(x, y, z)dxdy R[x, y, z(x, y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；
Dxy
P(x, y, z)dydz P[x( y, z), y, z]dydz，取曲面的前侧时取正号；
Dyz
Q(x, y, z)dzdx Q[x, y(z, x), z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。
Dzx
两类曲面积分之间的关系： Pdydz Qdzdx Rdxdy (P cos Q cos R cos )ds
高斯公式：
考研资料
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy (P cos Q cos R cos )ds x y z
高斯公式的物理意义 — —通量与散度：
P Q R 散度：div ,即：单位体积内所产生的流体质量，若div 0,则为消失...
x y z 通量： A nds A n ds (P cos Q cos R cos )ds，
因此，高斯公式又可写成： divAdv A ds
n
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
coscos cosdydz dzdx dxdy 上式左端又可写成： x y z y z x
P Q R Q R P
R Q P R Q P 空间曲线积分与路径无关的条件： ， ，
y z z x x y
j k i
旋度：rotA
x y z P Q R
向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx Qdy Rdz A tds
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy Pdx Qdy Rdz z z x x y y 常数项级数：
1 qn
等比数列：1 q q q
1 q (n 1)n
等差数列：1 2 3 n
2
1 1 1
调和级数：1 是发散的
2 3 n
2
n1
级数审敛法：
考研资料
1、正项级数的审敛法— —根植审敛法（柯西判别法） 1时，级数收敛
设： lim n un，则 1时，级数发散
n
1时，不确定 2、比值审敛法：
1时，级数收敛
Un1
设： lim ，则 1时，级数发散
n U
n 1时，不确定
3、定义法：
sn u1 u2 un ;lim sn 存在，则收敛；否则发散。
n
交错级数u1 u2 u3 u4 (或 u1 u 2 u3 ,un 0)的审敛法— —莱布尼兹定理：
un un1
如果交错级数满足，那么级数收敛且其和s u1 ,其余项rn的绝对值rn un1 。
lim u 0 n n
绝对收敛与条件收敛：
(1) u1 u2 un ，其中un为任意实数；
(2) u1 u2 u3 un
如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1 (1)
调和级数： n 发散，而n 收敛；
1 n 级数：收敛； n2
1
p级数： ｐ１时发散
n p p 1时收敛
幂级数：
3
n
1
x 1时，收敛于 1 x
x 1时，发散
1 x x x x
2
对于级数(3)a0 a1 x a2x2 a n xn ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x R时收敛 数轴上都收敛，则必存在R，使 x R时发散，其中R称为收敛半径。
x R时不定
求收敛半径的方法：设lim an1 na
n
0时，R
，其中an，a n1是(3)的系数，则 0时，R
时，R 0
1
考研资料
函数展开成幂级数：
f (n) (x ) f (x ) 2 n 0 0
(x x ) 函数展开成泰勒级数：f (x) f (x0 )(x x0 ) (x x0 ) 0
n! 2!
f (n1) ( ) n1
lim R 0 余项：Rn (x x0 ) , f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：n n(n 1)!
f (n) (0) f (0) 2
x n xx0 0时即为麦克劳林公式：f (x) f (0) f (0)x 2! n!
一些函数展开成幂级数：
m(m 1) 2 m(m 1)(m n 1) n
(1 x)m 1 mx x x
2! n! n1
x2n1 x3 x5
( x ) sin x x (1)
(2n 1)! 3! 5!
欧拉公式：
(1 x 1)
e cos x i sin x
ix
三角级数：
eix eix cos x 2 或ix
sin x e eix 2
f (t) A0 An sin(nt n ) n1
a0 2
(an cos nx bn sin nx)
n1
其中，a0 aA0，an An sinn，bn An cosn，t x。
正交性：1,sin x,cos x,sin 2x,cos 2xsin nx,cos nx任意两个不同项的乘积在[ , ]
上的积分＝0。
傅立叶级数：
a0
f (x) (a
2 n1
2n cos nx bn sin nx)，周期
1 (n 0,1,2) an f (x) cos nxdx
其中 1 b (n 1,2,3) n f (x)sinnxdx
1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 （相加）
8 352346 2
2 1 1 1 1 1 1 1 （相减）
22 42 62 24 22 32 42 12 2 正弦级数：an 0，bn f (x)sin nxdx
0 2
余弦级数：bn 0，an f (x) cos nxdx
0
周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数：
n 1,2,3f (x) bn sin nx是奇函数
n 0,1,2f (x)
a0 2
a cos nx是偶函数
n
考研资料
nx nx b sin ) 2l (a cos
，周期 n n
l 2 n1 l nx 1 l
cos dx (n 0,1,2) an f (x)
l l l 其中
b 1 l nx dx f (x)sin (n 1,2,3) n l l l
f (x)
a0
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y f (x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g( y)dy f (x)dx的形式，解法： 得：G( y) F (x) C称为隐式通解。
dy
齐次方程：一阶微分方程可以写成 f (x, y) (x, y)，即写成 y 的函数，解法：
x dx
y dy du du dx du y 设u ，则 u x ，u (u)， 分离变量，积分后将 代替u
x dx dx dx x (u) u x
g( y)dy f (x)dx
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
dy 1、一阶线性微分方程： P(x) y Q(x)
dx
P( x)dx
当Q(x) 0时,为齐次方程，y Ce 当Q(x) 0时，为非齐次方程，y (Q(x)e
dy n 2、贝努力方程： P(x) y Q(x) y ，(n 0,1) dx
全微分方程：
P( x)dx
P( x)dx
dx C)e
如果P(x, y)dx Q(x, y)dy 0中左端是某函数的全微分方程，即：
u u
P(x, y) Q(x, y) du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
，其中： ，
x y
u(x, y) C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：
f (x) 0时为齐次 d 2 y P(x) dy Q(x) y f (x)， dx2 dx f (x) 0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*) y py qy 0，其中p, q为常数； 求解步骤：
1、写出特征方程：()r 2 pr q 0，其中r 2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y , y, y的系数 2、求出()式的两个根r1 , r2
考研资料
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解
r1，r2的形式 两个不相等实根( p 4q 0) 两个相等实根( p 4q 0) 一对共轭复根( p 4q 0) 2 2 2 (*)式的通解 y c er1x c er2 x 1 2 y (c c x)er1x 1 2 y ex (c cos x c sin x) 1 2 r1 i，r2 i4q p2 p ， 2 2 二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f (x)，p, q为常数 f (x) ex P (x)型，为常数； m
f (x) ex [P (x) cosx P (x)sinx]型
l
n
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线性代数部分
1、行列式
1. n 行列式共有n2 个元素，展开后有n!项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质：
①、 Aij 和aij 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；
3. 代数余子式和余子式的关系： M (1)i j A
4. 设 n 行列式 D ：
ij ij A (1)i j M
ij ij
n(n1)
将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 D1 ，则 D1 (1) 2 D ；
n(n1)
将 D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为 D2 ，则 D2 (1) 将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 D3 ，则 D3 D ； 将 D 主副角线翻转后，所得行列式为 D4 ，则 D4 D ； 5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
n(n1)
2
D ；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积 (1)
⑤、拉普拉斯展开式： A O
n(n1)
2
；
③、上、下三角行列式（ ◥ ◣ ）：主对角元素的乘积； ④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积 (1)
2
；
A C C A O A A B 、 (1)m n A B C B O B B O B C
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
6. 对于n 阶行列式 A ，恒有： E A n (1)k S nk ，其中 S 为k 阶主子式；
n
k
k
k 1
7. 证明 A 0 的方法：
① 、 A A ； ②、反证法；
③、构造齐次方程组 Ax 0 ，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r( A) n ； ⑤、证明 0 是其特征值；
1.
A 是 n 阶可逆矩阵：
2、矩阵
考研资料
A 0 （是非奇异矩阵）； r( A) n （是满秩矩阵） A 的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组 Ax 0 有非零解； b Rn ， Ax b 总有唯一解； A 与 E 等价；
A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； A 的特征值全不为 0； AT A 是正定矩阵；
A 的行（列）向量组是 Rn 的一组基； A 是 Rn 中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于n 阶矩阵 A ： AA* A* A A E 无条件恒成立；
3. (A1 )* (A* )1
(A1 )T (AT )1
(A* )T ( AT )*
(AB)T BT AT (AB)* B* A*
(AB)1 B1 A1
4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A 、 B 可逆：
若 A A1 A2
，则： A
s Ⅰ 、 A A1 A2
As ；
A1 Ⅱ、 A 1 1
A 2 1 ；
1 A
s 1
②、 A O A1 O ；（主对角分块） O B O B1
③、 O A1
O B1 B O A1 O ；（副对角分块）
A C 1
A1 A1CB1 ④、 O B
O B1 ；（拉普拉斯）
⑤、 A O 1
A1 O 11
C B BCAB1 ；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个m n 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： F
Er O O ；O
mn
考研资料
等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵 A 、 B ，若 r(A) r(B) A B ； 2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非 0 元素必须为 1；
③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
r
①、若( A , E) (E , X ) ，则 A 可逆，且 X A1 ；
c
②、对矩阵( A, B) 做初等行变化，当 A 变为 E 时， B 就变成 A1B ，即： ( A, B) (E, A1B) ；
r
③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程 Ax b ，如果( A, b) (E, x) ，则 A 可逆，且 x A1b ； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
1
2
②、
，左乘矩阵 A ， 乘 A 的各行元素；右乘， 乘 A 的各列元素； n
i
i
1 1 1
1 ； ③、对调两行或两列，符号 E(i, j) ，且 E(i, j) E(i, j) ，例如： 1
11
1 1
1 1 1 1
④、倍乘某行或某列，符号 E(i(k)) ，且 E(i(k)) E(i( (k 0) ； k k )) ，例如： k 1 1
1
k k 1 1 1
⑤、倍加某行或某列，符号 E(ij(k)) ,且 E(ij(k)) E(ij(k)) ，如： 1 1 (k 0) ；
1 1
1
5. 矩阵秩的基本性质：
①、0 r(Amn ) min(m, n) ；
②、r( AT ) r(A) ；
③、若 A B ，则 r(A) r(B) ；
④、若 P 、Q 可逆，则r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ) ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A), r(B)) r(A, B) r(A) r(B) ；（※） ⑥、r(A B) r(A) r(B) ；（※） ⑦、r(AB) min(r(A), r(B)) ；（※）
⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且 AB 0 ，则：（※）
Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX 0 解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A) r(B) n
⑨、若 A 、 B 均为n 阶方阵，则r(AB) r(A) r(B) n ；
考研资料
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
1 a c
②、型如0 1 b 的矩阵：利用二项展开式；
0 0 1
二项展开式： n
0n
1 n11 mnmm
n11n1 mmnm
； nn
n
(a b) C n a Cn ab Cn ab Cn ab Cn b Cn abm 0
注：Ⅰ、(a b)n 展开后有n 1 项；
n(n 1) (n m n!
Ⅱ、Cm
n
1) 1 2 3 m m!(n m)!
C0 n
n Cn 1
Ⅲ、组合的性质： Cm Cnm
Cm mr 2n rCr nCr 1 ；
n n 1 Cm n C1 n n nC
n n n1
r 0
③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：
n r( A) n ①、伴随矩阵的秩： r( A* )
1
r( A) n 1 ；
0 r( A) n 1
②、伴随矩阵的特征值： A A ( AX X , A* A A1 A* X X ) ；
③、 A* A A1 、 A*n1
A 8. 关于 A 矩阵秩的描述：
①、r( A) n ， A 中有 n 阶子式不为 0， n 1 阶子式全部为 0；（两句话）
②、r( A) n ， A 中有 n 阶子式全部为 0； ③、r( A) n ， A 中有 n 阶子式不为 0；
9. 线性方程组： Ax b ，其中 A 为m n 矩阵，则：
①、m 与方程的个数相同，即方程组 Ax b 有 m 个方程；
②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组 Ax b 为 n 元方程； 10. 线性方程组 Ax b 的求解：
①、对增广矩阵 B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；
11. 由 n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：
a x a11 x1 aa x 12 x2 a1n xn b1①、 a b
2n xn 2 21 1 22 2
；
am1 x1 am 2 x2 anm xn bn a11 a12 ②、a a aa 1n x1 b1 x 21 22 2n 2 b 2 Ax b （向量方程， A 为 m n 矩阵， m 个方程，a a a
m1 m 2 mn xm b
m
n 个未知数） 考研资料
③、a a
1
2
x1 b1 2 （全部按列分块，其中 ）； a x 2 b n
x b n n
④、a1 x1 a2 x2 an xn （线性表出）
⑤、有解的充要条件： r(A) r(A, ) n （ n 为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1.
m 个 n 维列向量所组成的向量组 A ： 1 ,2 , ,m 构成n m 矩阵 A (1,2 , ,m ) ；
T
1 T ； m 个 n 维行向量所组成的向量组 B ： T , T , , T 构成m n 矩阵 B 2
1 2 m
T m
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 Ax 0 有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 Ax b 是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B 是否有解；（矩阵方程）
3. 矩阵 Amn 与 Bln 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 Ax 0 和 Bx 0 同解；( P101 例 14)
4.
r(AT A) r(A) ；( P 15) 101 例n 维向量线性相关的几何意义： ①、 线性相关 0 ；
5.
②、, 线性相关 , 坐标成比例或共线（平行）；
③、, , 线性相关 , , 共面；
6. 线性相关与无关的两套定理：
若1 ,2 , ,s 线性相关，则1,2 , ,s ,s1 必线性相关；
若1 ,2 , ,s 线性无关，则1 ,2 , ,s1 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若 r 维向量组 A 的每个向量上添上n r 个分量，构成n 维向量组 B ：
若 A 线性无关，则 B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7. 向量组 A（个数为r ）能由向量组 B （个数为 s ）线性表示，且 A 线性无关，则r s (二版 P74 定理 7)；
向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则r(A) r(B) ；（ P86 定理 3） 向量组 A 能由向量组 B 线性表示
AX B 有解；
r(A) r(A, B) （ P85 定理 2）
向量组 A 能由向量组 B 等价 r(A) r(B) r(A, B) （ P85 定理 2 推论）
考研资料
8. 方阵 A 可逆 存在有限个初等矩阵 P1 , P2 , , Pl ，使 A P1 P2
r
Pl ；
①、矩阵行等价： A~ B PA B （左乘， P 可逆） Ax 0 与 Bx 0 同解
c
②、矩阵列等价： A ~ B AQ B （右乘， Q 可逆）； ③、矩阵等价： A ~ B PAQ B （ P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵 Amn 与 Bln ：
①、若 A 与 B 行等价，则 A 与 B 的行秩相等；
②、若 A 与 B 行等价，则 Ax 0 与 Bx 0 同解，且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵 A 的行秩等于列秩； 10. 若 Ams Bsn Cmn ，则：
①、C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示， B 为系数矩阵；
②、C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示， AT 为系数矩阵；（转置）
11. 齐次方程组 Bx 0 的解一定是 ABx 0 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、 ABx 0 只有零解 Bx 0 只有零解； ②、 Bx 0 有非零解 ABx 0 一定存在非零解； 12. 设向量组 Bnr : b1, b2 , , br 可由向量组 Ans : a1 , a2 , , as 线性表示为：（ P110 题 19 结论）
(b1, b2 , , br ) (a1, a2 , , as )K （ B AK ）
其中 K 为 s r ，且 A 线性无关，则 B 组线性无关 r(K ) r ；（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性）
（必要性： r r(B) r(AK ) r(K ), r(K ) r,r(K ) r ；充分性：反证法）
注：当r s 时， K 为方阵，可当作定理使用； 13. ①、对矩阵 Amn ，存在Qnm ， AQ Em
r(A) m 、Q 的列向量线性无关；（ P87 ）
②、对矩阵 Amn ，存在 Pnm ， PA En r(A) n 、 P 的行向量线性无关；
14. 1 ,2 , ,s 线性相关
存在一组不全为 0 的数k1 , k2 , , ks ，使得 k11 k22 kss 0 成立；（定义）
x1
2
( , , , ) x 0 有非零解，即 Ax 0 有非零解；
1 2 s
x s r(1,2 , ,s ) s ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15. 设 m n 的矩阵 A 的秩为r ，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的解集 S 的秩为： r(S) n r ； 16. 若为 Ax b 的一个解， ,,nr 为 Ax 0 的一个基础解系，则, 1 2,,nr 线性无关；（ P111 , 1 2 ,
*
*
题 33 结论）
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵 AT A E 或 A1 AT （定义），性质：
考研资料
1
①、 A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即aa
i j
0
T
i j i j
(i, j 1, 2, n) ；
②、若 A 为正交矩阵，则 A1 AT 也为正交阵，且 A 1 ；
③、若 A 、 B 正交阵，则 AB 也是正交阵；
注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化： (a1 , a2 , , ar )
b1 a1 ；
b a [b1 , a2 ] b 2 2 1
[b1 , b1 ]
[br 1 , ar ] b ;[b, a] 1 [b2 , a2r ] b r a r 1 r b , b ] b[b , b ] [b [b , b ] r 1
1 1 2 2 r 1 r 1
3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、 A 与 B 等价 A 经过初等变换得到 B ；
PAQ B ， P 、Q 可逆； r(A) r(B) ， A 、 B 同型；
②、 A 与 B 合同 CT AC B ，其中可逆；
xT Ax 与 xT Bx 有相同的正、负惯性指数；
③、 A 与 B 相似 P1 AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；
若C 为正交矩阵，则CT AC B A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则 A 为二次型矩阵； 7.
n 元二次型 xT Ax 为正定： A 的正惯性指数为n ；
A 与 E 合同，即存在可逆矩阵C ，使CT AC E ； A 的所有特征值均为正数； A 的各阶顺序主子式均大于 0； aii 0, A 0 ；(必要条件)
考研资料
概率论与数理统计部分
1. 随机事件及其概率
A
A A 吸收律： A A
A
A ( AB) A
A ( A B) A
A B AB A (AB)
反演律： A B A B AB A B
n n n
n Ai
A
i
Ai A
i
i1
i1
i1
i1
2. 概率的定义及其计算
P( A) 1 P( A)
若 A B P(B A) P(B) P(A)
对任意两个事件 A, B, 有 P(B A) P(B) P(AB)
加法公式：对任意两个事件 A, B, 有
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
P(A B) P(A) P(B)
P(n A ) n
P( A ) P( A A ) n
(1)n1 P( A A A )
i
i
i
j
P( A A A ) i
j k
1 2
n
3
．i1
i1
1i jn
1i jk n
PB A
P( AB)
P( A)
乘法公式
P( AB) P(A)PB A (P( A) 0)
P( A1 A2 An ) P( A1 )PA2 A1 P An A1 A2 An1 全概率公式
(P( A1 A2 An1 ) 0)
n n P( A) i1
P( ABi ) i1
P(Bi ) P( A Bi )
Bayes 公式
条件概率
考研资料
P(Bk A)
P( ABk ) P(B)P( A Bk )
n k
P( A)
P(Bi )P( A Bi )
i1
4. 随机变量及其分布
分布函数计算
P(a X b) P( X b) P( X a)
F (b) F (a)
5. 离散型随机变量
(1) 0 – 1 分布
P(X k) pk (1 p)1k , k 0,1
(2) 二项分布 B(n, p)
若 P ( A ) = p
k k P(X k) Cn p(1 p)nk , k 0,1,, n
* Possion 定理
lim np 0 n
n
有
lim Cn pn (1 pn )
n
k k nk
(3) Poisson 分布
P()
P( X k) e
k! k 0,1,2,
e
k
k
, k 0,1,2,k!
6. 连续型随机变量
(1)
均匀分布 U (a,b)
1 , a x b b af (x)
0, 其他
0,
x a F (x) ,
b a 1
(2) 指数分布 E()
考研资料
x e, x 0 f (x)
0, 其他
x 0 F (x) 0,
x
1 e , x 0
(3) 正态分布 N ( , 2 )
1 f (x) e2
( x )2 2 2
x
F (x) 1 x e
2
(t )2 2 2 d t
* N (0,1) — 标准正态分布
1 (x) e2x 2
2
x
t 2 2 1 x e (x) 2
dt
x
7. 多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y )的分布函数
F (x, y) f (u, v)dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数
x
x y
FX (x) f (u, v)dvdu f X (x) f (x, v)dv
y
FY ( y) f (u, v)dudv fY ( y) f (u, y)du
8. 连续型二维随机变量
(1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G )
1
, (x, y) G
f (x, y) A 其他 0,
(2) 二维正态分布
考研资料
f ( x, y)
1 e
2 1 2 1 2 ( x1 )2 ( x1 )( y2 )
2 1 2 1 2 1 2 2 2(1 ) ( y2 )
22 9. 二维随机变量的 条件分布
x , y
f (x, y) f X (x) fY X ( y x) f X (x) 0
fY ( y) f X Y (x y)
fY ( y) 0
f X (x) f (x, y)dy f X Y (x y) fY ( y)dy
fY ( y) f (x, y)dx fY X ( y x) f X (x)dx
f (x y) f (x, y) fY X ( y x) f X (x)
X Y
f fY ( y) Y ( y)
f ( y x) f (x, y)
Y X
f X (x)
f X Y (x y) fY ( y)
f X (x)
10. 随机变量的数字特征数学期望
E( X ) xk pk
k 1
E( X ) xf (x)dx
随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 E( X )
k
X 的 k 阶绝对原点矩 E(| X |)
k
X 的 k 阶中心矩 E((X E( X )))
k
X 的 方差 E((X E(X ))) D( X )
2 X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 E( X Y ) X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
kl
E(X E(X ))k (Y E(Y ))l
X ,Y 的 二阶混合原点矩 E( XY )
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
考研资料
E(X E(X ))(Y E(Y ))
X ,Y 的相关系数
( X E( X ))(Y E(Y )) E D( X ) D(Y )
X 的方差
D (X ) = E ((X - E(X))2)
XY
D(X ) E(X 2 ) E2 (X )
协方差
cov( X ,Y ) E(X E(X ))(Y E(Y ))
E(XY ) E(X )E(Y )
1
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2
cov( X ,Y )
相关系数 XY D( X ) D(Y )
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