绪论
1. 平差问题的函数模型的随机模型，无非以下几种：
函数模型中系数阵是列满秩还是秩列亏；
待估参数是非随机量还是随机量或者两者兼有； 观测量的协方差阵是满秩还是奇异；
2. 以不同的准则来求定未知参数的最佳估计，得到不同的估计方法，经典的测量平差
方法都是以最小二乘估计或者极大似然估计为根据导出的；滤波、配置和动态系统的卡尔曼滤波，最初是以极大验后估计或者最小方差估计导出的。
3. 有偏估计是为了克服法方程病态的问题的平差方法，病态又称为法方程的复共线性。
P163
（论述题）
4. 简述引起测量平差法方程系数矩阵病态的原因及其后果，通常采用什么方法解决这
一问题，采用何种指标评价参数估值的精度？（在第一章讲过）（秩亏是用秩亏自由网平差，病态用有偏估计）
原因：误差方程的系数矩阵存在着很弱的弱相关性，弱相关性也称复共线性。法方程中系数和常数项存在舍入误差而产生微小变化时，引起的解的很大差异。这种情况下法方程系数阵的性质不好，称为病态方程。
后果：一旦存在病态性，法方程系数上的微小误差会导致方程的解完全被扭曲。最小二乘解不稳定。
解决方法：采用有偏估计，包括岭估计、广义岭估计、主成分估计等等有偏估计方法。
评定精度的指标：（在经典平差里面用参数估值的方差评定精度，在广义平差里面用参数估计误差的方差评定精度）在有偏估计中采用均方误差MSE（X尖）来评定精度，均方误差用来衡量参数与其真值的偏离程度。（参数与数学期望间的偏离程度是方差）
5. 随着测绘科学技术的变革和不断发展，经典测量平差理论已经不能满足现代测量数
据处理，根据自己的理解论述现代测量数据处理的发展方向。（PPT里面有） 1.从法方程系数矩阵满秩扩展到法方程系数矩阵亏秩 2.从仅处理静态数据扩展到处理动态数据 3.从无偏估计扩展到有偏估计
4.从线性模型的参数估计扩展到非线性模型的参数估计 5.从待估参数为非随机量扩展到待估参数为随机量 6.从观测值仅含偶然误差扩展到含有系统误差和粗差 7.从主要研究函数模型扩展到深入研究随机模型 经典—非随机 广义---随机
6. 经典平差对观测误差的基本假设是？答：观测误差仅含有偶然误差
经典平差的基本假设：（局限性）
1）系统是静态的2）有足够的起算数据
3）观测值是随机变量，参数是非随机变量4）观测误差为偶然误差 5）观测值函数独立6）平差准则为 V T PV = min 7. 经典平差---未知参数为非随机参数；
第一章
极大似然估计P8
1、 正态分布的极大似然估计与最小二乘估计相同————之间的转换，PPT15/16页 2、 均无法顾及到参数的先验统计性质。（对非随机参数进行估计）
3、 要求知道L、X的条件概率密度或者联合概率密度；估计量可以是L的任意函数。 最小二乘估计P16
1、 最小二乘估计并没有考虑参数的随机性质，当不知道参数的先验期望和先验方差、
参数是非随机量时，可应用最小二乘估计。
2、 各种经典平差方法，都是依据最小二乘估计准则，去求未知参数估值和观测值的平
差值
3、 不需要知道任何统计信息。估计量是L的线性函数 极大验后估计P18
1、 考虑了参数的先验统计性质
2、 极大验后估值的误差方差小于最小二乘估值的误差方差，当参数的先验期望、方差
已知时，极大验后估计改善了最小二乘估计。P20、PPT18页
3、 要求知道L、X的条件概率密度或者联合概率密度；估计量可以是L的任意函数。 最小方差估计P20、PPT19
1、 当X、L都是正态随机向量时，X的最小方差估值和极大验后估值相同。P19 2、 最小方差估计为无偏估计PPT21
3、 要求知道L、X的条件概率密度或者联合概率密度；估计量可以是L的任意函数。 线性最小方差估计PPT21 1、 无偏性、有效性
2、 当X、L都是正态随机向量时，X的线性最小方差估计与最小方差估值和极大验后估
值相同。
3、 放宽对概率密度的要求，要求已知L、X的数学期望和方差、协方差。要求所求估计
量是L的线性函数。估计量的均方误差最小为原则。
广义测量平差原理：构造新的最小二乘算法，得到极大验后估计的结果 1、 极大似然估计————=最小二乘估计
2、 极大验后估计————（改善）极大似然估计（最小二乘估计）P27
3、 X是不具有先验统计特性的非随机量时，极大验后估计在此时便退化为极大似然估
计与最小二乘估计。P27
4、 正态分布时，计算结果与极大验后估计相同。
5、 广义最小二乘原理，最重要的就是增加虚拟观测值（把随机参数的先验期望当作虚
拟观测值）
（填空题）
1、极大似然估计是以F（l/x）=max为准则的估计方法，极大验后估计是以F（x/l）=max为准则的估计方法，由极大似然估计导出最小二乘估计的前提条件是参数与观测值服从正态分布。
2、参数估计最优性的评定标准是最优性、无偏性、一致性。（最优是指方差最小） 4、采用广义最小二乘法平差，通常需要增加（虚拟观测值）以表示未知参数的（先验统计信息）
5、我们在广义测量平差里面通常是用估计误差的方差D△X尖来衡量参数估值的精度。
当X为非随机参数的时候，习惯上用参数估值的方差DX尖来衡量估值的精度。
6、当参数X与观测值L服从正态分布的时候，在观测值L=l的条件下X的条件期望E（X/l）=ux+DXLDL-1（L-uL），X的条件方差D（X/l）=DX-DXLDL-1DLX。
T
7、经典测量平差的准则是VPV=min，当参数与观测值服从正态分布的时候这个方法（最小二乘）与极大似然估计是等价的，但是他们都有一个缺点是都没有办法顾及到参数的先验统计性质。
8、岭估计是一种有偏估计方法，它的法方程是什么样（在最小二乘估计的法方程系数阵N的主对角线上加一个常数k），该方法是为了解决法方程系数矩阵病态带来的问题。岭估计、广义岭估计、主成分估计是一种（有偏估计）方法，解决法方程系数矩阵病态的问题
9、广义最小二乘的表示： (VTPVVxTPVxmin)。经典测量平差的平差准则是（VTPV=min）
（简答题）
怎样由极大验后估计导出它跟极大似然估计、最小二乘估计之间的关系（第一章最需要解决的问题。第一章甚至整本书就是落脚到广义最小二乘原理，卡尔曼滤波最后也就是落脚到虚拟观测值方程）
在第一章里面，一定要把广义最小二乘原理整个的来龙去脉搞清楚，关键是要把极大验后估计搞清楚，极大验后估计等价于线性最小方差估计，极大似然估计等价于最小二乘估计，它们之间为什么能够等价一定要搞清楚。
1、简述极大验后估计与最小方差估计的估计准则，一般情况下哪种方法的精度更高，假设参数与观测值服从正态分布，给出最小方差估计的估值与估计误差的表达式
答：一般情况下最小方差估计精度更高，它以参数估计误差的方差为最小作为其估计准则。但在服从正态分布时，两种方法等价。为何等价的基本推倒过程（给出极大验后估计，当它服从正态分布时，怎样导出最小方差估计或线性最小方差估计，用自己语言组织表述）。（线性最小方差以均方误差MSE为准则）P19、P21
2、？？由极大验后估计导出最小方差估计和线性最小方差估计的过程。
3、线性最小方差以估计量的均方误差达到最小为准则，即MSE（X尖）=min。导出其参数估值与估计误差方差的基本公式，开卷需要证明。
4、在这里给出观测值的条件概率密度F（l/x）一个正态分布的概率密度函数（相当于已知条件），然后给出条件期望和条件方差，求参数的极大似然估值。
解法：由F（l/x）导出极大似然估值（PPT里面有）
6、 经常会有：提出广义最小二乘原理的目的是什么，简述构造最小二乘准则的依据与
方法。（为什么要对经典最小二乘准则进行推广，试说明在参数与观测值服从正态分布，即观测值与参数互不相关的情况下，构造广义最小二乘原理的过程和平差的计
算方法）
目的：经典最小二乘考虑的参数是非随机参数，无法顾及到参数的先验统计性质，所以存在这种缺陷。如果考虑参数的先验统计性质，就必须基于广义最小二乘原理来处
TT
理。具体来说，就是广义最小二乘原理的估计准则（VP△V+VXPXV=min）比经典最小二乘（VTPV =min）多了一个VXTPXV，这个量是间接平差无法考虑到的。所以，这是提出广义最小二乘的目的。
构造依据：广义最小二乘公式推导从极大验后估计出发来推，所以要把极大验后估计基于的原则、目标函数写出来，再把目标函数和虚拟观测值、虚拟观测方程之间的关系对应起来。（看PPT看书）
lnf(x/l)=lnf(l/x)+lnf1(x)+lnf2(l) 从左到右分别对应极大验后、极大似然、参数。当参数和观测值服从正态分布时，极大验后估计等价于极大似然估计加上_____
7、 与经典测量平差数学模型相比，广义的高斯-马尔科夫模型有什么改进？法方程奇
异，协因数阵奇异分别采用什么办法？
1）不要求观测值的协因数阵（或方差阵）满秩从而解决了观测值函数相关时的平差问题，无误差的已知量也可以看作观测值处理；
2）法方程的系数阵可为奇异阵，也就是不要求误差方程的系数阵列满秩，也就是不要求有足够的基准条件（或起算数据）。
法方程奇异具有无穷多解，用秩亏自由网平差（附加基准条件法、广义逆法、
伪观测值法、直接法、消去条件法）
协因数阵奇异则凯利逆不存在，无法得到观测值权阵，通常将线性相关的观测值去掉之后通常的平差方法平差，也可以用广义逆的方法。
8、简述最小方差估计与线性最小方差估计的基本原理，给出这两种估计方法参数估值及估计误差方差的基本公式，并对这两种方法进行比较。
区别：
1）准则、准则完全不一样，线性最小方差估计是均方误差最小，最小方差估计是估计误差方差最小。所以线性最小方差估计的精度更高。
2）条件概率密度、另外最小方差估计要求知道条件概率密度，而线性最小方差不需要知道条件概率密度，只需要知道基本的数字特征，如数学期望和方差等等。
联系：
当参数和观测值服从正态分布时，最小方差估计、线性最小方差估计和极大验后估计三者之间是等价的，但三种估计方法基于的估计准则都是不同的：
最小方差估计基于方差最小；要求知道条件概率密度。
线性最小方差估计基于均方误差最小；不需要知道条件概率密度，只需要知道一些数学特征，如数学期望和方差等，所以线性最小方差估计相对简单一些。
但是最小方差估计比线性最小方差估计具有更小的估计误差方差，一般情况下（排除正态分布），最小方差估计精度更高；当都服从正态分布时，两者等价。
8、 考察经典测量平差中的间接平差数学模型、计算过程，试说明为什么要求观测向量
的协因数矩阵Q的行列式不为零，误差方程的系数矩阵B要列满秩？
答：若Q的行列式为零，则Q的逆不存在（凯利逆不存在），即P就无法构建，那T
么VPV无法构建。
若B不满秩，则BTPB秩亏，BTPB就不存在逆阵（凯利逆），进而无法求出参数的唯一值，即求不出(BTPB)-1(BTPl)。
举例说明在什么情况下这个要求得不到满足：（2.7节和2.2节）（BTPB秩亏）起算数据不足； 一部分观测值是另一部分观测值的线性函数--->协因数矩阵秩亏
8证明参数的极大似然估值与参数的先验期望和方差没有关系。（课件，最后推导出不含有先验期望和方差）
7在广义测量平差里，用DΔx来衡量估值精度；在经典测量平差里，用Dx来衡量估值精度，解释为什么有这种差别。
答：经典测量平差里面是怎么样一个情况，它们之间有什么关系，为什么它们之间可以互相转换
第二章
（填空题）
1、假设有误差方程V=Bx-l，r(B)=t<参数个数u，要获得唯一解，采用_____基准。（重心基准）基准的约束条件是什么？
答：PPT二P24
2、基准变换：在同一自由网中，已知任一基准的平差坐标（最小二乘解）变换至另一基准的平差坐标（最小二乘解）。
3秩亏自由网平差的秩亏是指（误差方程的系数矩阵秩亏）引起秩亏的原因是（缺少必要的起算数据）导致（法方程没有唯一解）通常采用（秩亏自由网平差）的方法来解决。
4假设有观测方程L=BX+Δ（高斯马尔柯夫模型），观测值和误差都服从正态分布，若Q奇异|Q|=0，则原因是（1观测值函数相关；2部分观测值无误差）PPT47
5、假设有观测方程L=AX+BY+Δ（最小二乘配置模型），当B=0时，求参数X的方法称为（滤波与推估）当A=0时（没有随机参数，只有非随机参数），此时求估值X的方法称为间接平差）
6、课本P41滤波：最小二乘法是将全部待估参数都当做非随机量，或则不考虑参数的随机性质，按照经典和相关最小二乘原理求定其最佳估值；滤波把全部参数都作为正态随机量，按照极大验后估计、最小方差估计、广义最小二乘原理来求定参数的最佳估计。
-7、当协因数矩阵Q奇异时，此时平差的权阵如何取。（取协因数阵的广义逆阵Q）（不唯一）（也叫减逆）
8、在秩亏自由网平差中，基准（重心基准、拟稳基准、固定点基准）不同，参数估值变化，改正值V不变。
（简答题）
1. 秩亏网的秩亏个数是根据什么来确定的？平面导线网、水准网的秩亏个数和基本类
型分别是什么？（PPT上有）
秩亏个数根据基准的个数来决定。为图形中缺少的必要起算数据（基准）的个数。 导线网秩亏数3。（一个点坐标，一个坐标方位角）基准类型是纵坐标基准条件、横坐标基准条件、方位角基准条件。
水准网秩亏数1。（一个点的高程）基准类型是所有的高差（或高程）的改正数之和为零，也就是重心基准。
测角网4个：一点坐标、一边方位、一边边长或者两点的坐标。
2. 什么是协方差函数，且当说明构造协方差函数的步骤是什么？并举个例子。（书上）
P47
3. 极大验后滤波与推估、最小二乘配置：基本概念，概念之间的转换（不会让推复杂
公式，但之间的相互关系要搞得很清楚）课本P42、P51-P54
4. 怎样证明两个模型等价：在重心基准与范数最小这两个基准下面所得到的秩亏自由
网的解是等价的。（书上有）或说怎样证明两个基准下所得到的秩亏自由网的解是等价的？课本P36 答：
5. 协因数矩阵奇异的时候怎么来进行平差？（第七节）（给过一个计算题）图片题
T—T
等价于这个等式VQV=VQ11V，剔除掉相关的观测值，直接求解满秩的那部分。 图片题：用到第七节知识点，（第七节课件题）即协因数矩阵奇异时，怎样解求参数的估值。（给4行4列的观测值协因数矩阵，但此协因数矩阵秩亏）
6. 图片：6行3列的误差方程式，已知误差方程系数矩阵的阵为2，参数有3个（秩
亏自由网问题）。（课件）（高等测量平差）图片题
7. 经典秩亏自由网平差：假设某一点已知，已知点改正数为0，此时可以让3个参数
中的某一个参数为0，再代回到误差方程式里面，系数阵就变成满秩的了，之后解。
8. 静态逐次滤波（序贯平差）PPT二章44页、
9. 随机模型具有奇异协因数矩阵的平差 课本P66
10. 对无起算数据的控制网按下述两种方案进行平差：
1）假设必要的起算数据，作经典自由网平差；
2）作重心基准的秩亏自由网平差。试问在分别得到平差结果后（指参数、观
测值改正数、单位权方差因子、参数的协因数阵），如何对其进行比较评价。 答题要点：
1）两种方案计算的改正数、单位权方差因子相同；
2）第一种方案的参数协因数阵的迹大于等于第二种方案的结果；
3）两种方案计算的参数的比较无意义，但通过基准变换（或相似变换）可将其转换到同一基准下进行比较。
第三章 平差随机模型的验后估计（难度不大，送分题）
1、 为什么要对平差的随机模型进行验后估计？PPT1-2-3（用自己的话总结）
2、 方差分量估计的赫尔默特法与二次无偏估计的参数是否一致？为什么？他们的区
别与联系？
单一的控制网，其观测值数据类型是单一的，那么在定权的时候是直接利用定权公式来定权。如果观测值的种类很多，就会出现它们的权比不恰当，导致参数估值的质量非常差。为了提高参数估值质量，就必须要进行平差随机模型的验后估计。估计完之后再把它和验前方差重新进行定权，（估计之后当作验前方差，再进行定权）之后再进行平差。（必须进行平差随机模型的验后估计）之后再进行平差，所以方差估计和参数估计是同时进行的。
平差前参数或观测值方差未知，可能定权不合理，导致平差结果不好平差随机模型验后估计就是解决这个问题。赫尔墨特方差分量估计是将观测值分成独立的若干类，二次无偏方差分量估计是将误差因素分成独立的若干类（5分），后一种方法隐含前一种方法。
赫尔莫特方差分量估计是对不同类的观测值估计其方差因子以及协方差，而它不能估计同一类观测值的不同的误差影响因素，即无法对此进行区分。
而二次无偏估计可以把同一类观测值当中不同的误差影响因素考虑进去，比如之前讲的一个测距的例子，测距是和固定误差和比例误差有关系的。（要把那个东西回答清楚）PPT13-14页
误差模型方面：
区别：前者：估计不同类的观测值的方差因子；后者：估计同一类观测值不同因素的方差因子。
联系：都是进行方差分量估计的一种方法。最小范数二次无偏估计可以导出赫尔默特估计。
赫尔莫特方差分量估计的基本思想是什么？步骤是什么样的？PPT2-8页
从二次型导出方差分量因子之间的关系的过程（要写清楚）步骤
3、二次无偏估计是通过构造观测值的二次型（Ω=LTML，是估计方差因子的函数），说明参数σ0i的平方（θ）的确定以及矩阵M应满足哪几个条件（不变性、无偏性、范数最小，搞清楚每个条件对应的数学公式）PPT15-24页
4、对一个导线网进行平差，通常是取角度观测值的方差为单位权方差因子，定权时角度权是1，边长权是（P2）。平差后发现单位权方差因子估值明显偏大，分析这一现
sis2i象的可能原因并给出建议的措施。
原因：权比不恰当；含有粗差和系统误差
措施：方差分量估计；稳健估计（粗差）；当作函数模型进行修正（系统误差） 通常在经典平差中只考虑了偶然误差，对导线网的平差是基于经典平差所得的结果。估值偏大有可能含有粗差、系统误差。对于粗差，采用稳健估计。对于系统误差，要把函数进行修正。
答题要点：单位权方差因子偏大说明平差模型与实际问题不一致。此时可能的原因有
（1）观测值中含有粗差（课进行粗差定位与剔除，或稳健估计的方法平 （2）观测值中有系统误差（设法对观测值进行补偿或修正） （3）定权不合理（进行方差分量估计，修正观测值的权） （4） 观测条件不符合要求（返工重测）
5、为什么通常不对同一类观测类型的平差问题进行平差模型的验后估计？
我们通常都是在进行联合平差的时候会有这个问题。在经典平差里，通常过程就是定权、法方程解算等等。但是在联合平差里，比如说水准网、重力网、GPS网、摄影测量、遥感等等不同类型的数据进行平差，通常要涉及到平差随机模型的验后估计。
（老师没说答案，自己要说明清楚）
第四章 动态系统的卡尔曼滤波P109
1、 连续线性系统的状态转移矩阵可以通过什么来求解。（状态方程是怎么解的）（PPT
里）课本P112
微分方程+初始条件才能解状态方程的解。要会解状态方程（改掉中间一些参数）
2、 已给出一个离散线性系统的卡尔曼滤波方程（状态方程、观测方程），要求：以水准
网或者导线网为例写出点的高程或者坐标以及它的速率所表示的状态方程。P118
3、 搞清楚卡尔曼滤波整个推导公式的基本思路是怎么来的。（书）（怎样构造状态方程、
状态方程怎样改造距离的虚拟观测方程、由虚拟观测方程写出误差方程、怎样进行逐次平差）（PPT上只有文字，承接关系自己写清楚）P118
4、 简述卡尔曼滤波的数学模型与卡尔曼滤波的计算过程。
答题要点：
1）卡尔曼滤波的数学模型包括状态方程、观测方程及上述方程中所涉及到的随机变量的数学期望、方差及协方差（有数学表达式）；
2）卡尔曼滤波是先忽略动态噪声，由起始状态通过状态方程对状态参数进行一步预测；
3）将预测值作为观测值与观测方程一起按广义最小二乘原理平差，从而对预测状态进行修正。
4）把修正后的状态作为下一次预测的起始值，以次类推
5、 白噪声作用下一般线性系统的滤波（书上有例题，PPT有大概过程）
6、 请说明静态逐次滤波与序贯平差与卡尔曼滤波有什么不同？请给出在白噪声情况下
第一次滤波的参数、估值及它们的表达式。（书上有）
共同点：都是按照逐步的方式得到逐步解的方法，以节省计算时间，均有规律性很强的递推公式，便于实施编程计算。
区别：（1）静态逐次滤波与序贯平差的区别在于静态逐次滤波通常解决信号是随机量的问题，而序贯平差用于解决非随机量。平差过程中，差别在于第一步是否利用到参数的先验特性，第二步以后均相同。静态逐次滤波就是第一步利用先验信息作为虚拟观测值；而序贯平差第一步没有先验信息，而是在第二步用到第一步的平差后的值作为虚拟观测值（2）前两种方法与卡尔曼滤波区别在于前者用于处理静态系统而卡尔曼滤波处理的是动态系统，便于实时处理观测成果。
第五章 稳健估计P142
1、 在参数估计理论中，为什么要引进稳健估计？（PPT+黄皮书高等测量平差）
为了处理粗差P142页
答：1、当观测值中仅包含偶然误差时，按最小二乘准则估计平差模型的参数，将具有最优的统计性质，亦即所估参数为最优线性无偏估计。2、最小二乘估计具有良好的均衡误差特性，不具备抗粗差干扰的能力，对含粗差的观测量相当敏感，如果平差模型中包含了粗差，即使为数不多，仍将严重歪曲参数的最小二乘估值，影响成果的质量，造成极为不良的后果。3、如何处理同时存在偶然误差和粗差的观测数据，以达到减弱或消除其对成果的影响，是现代测量平差所注意研究的理论课题。
2、 粗差的处理方法有哪几种？PPT
1）识别（探测）：即先通过假设检验对含粗差的观测值进行识别，然后进行剔除。 2）调节：把粗差归入到随机模型里面，利用稳健估计的方法。
3、数据探测法，最有名的是（单个粗差检验）巴尔达粗差探测法。基本原理是什么？（看书或者PPT）
4、 稳健估计的基本原理是什么？
在平差的过程中不停地调权，使误差比较大的观测值的权变小。使之在整个参数的求解过程中的影响份量变小。
5、 稳健估计的稳健性是针对哪一类观测量而言的？（高等测量平差里面有）稳健性的
含义是什么？稳健估计应当具有怎样的性质？ 答：存在偶然误差和观测粗差的数据。 含义：定性、定量P142
1、 统计方法的性能对模型的微小变化反应不敏感。
2、 当样本混入少量异常值时，统计量T的值受到的影响不大，若不然，一两个数
据的错误可以使统计分析的结论完全改观，这就会使人们分析的可靠性产生疑惑，具有这种性质的统计量T，或则说基于这种统计量T的统计方法称为有稳健性。 性质：
1．在假定的观测分布模型下，估值应最优的或接近最优（非劣性）
2．当假定模型与实际模型有微小差异时，估值受到粗差的影响较小（稳定性） 3．当假定模型与实际模型有较大偏差时，估值不致遭到破坏性影响（抗干扰性） 若在经典平差条件下，当含有粗差，结果完全是扭曲的，根本不能用。所以，稳健估计又被称为抗差估计。
稳健统计的目标是寻求有如下性质的统计方法：（性质：1当实际模型与理论模型一致时，这个方法具有良好的性能，但不必是最优的；2当实际模型与理论模型有少许差异时，它的性能所受到的影响最小；3当实际模型与理论模型有严重偏离时，它的性能仍过得去，不至于得到错误的结果）
（开卷，题量和难度会加大）
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