2020新课标高考数学二轮习题：46分专项练(六) 17、18、19、20 Word版含解析

46分专项练(六) 17、18、19、20

1．已知等比数列{an}是递减数列，a1a4＝3，a2＋a3＝4. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2n2an＋1＋n，求数列{bn}的前n项和Tn.

2．(2020·山东省普通高等学校统一考试)在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上，在△ABC中，过D作DF⊥BC且DF＝AC.

(1)若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC； (2)若∠ABC＝45°，且BD＝3CD，求cos∠CFB.

－

3．(2020·山东省普通高等学校统一考试)如图，四棱锥S­ABCD 中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°.

(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线； 1

(2)若EF＝BC，求二面角B-SC-D的余弦值．

2

4．法国数学家亨利·庞加莱(Jules Henri Poincar

)是个每天都会吃面包的人，他经常光顾

同一家面包店，面包师声称卖给庞加莱的面包平均重量是1 000 g，上下浮动50 g．在庞加莱眼中，这用数学语言来表达就是：面包的重量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布．

(1)假如面包师没有撒谎，现庞加莱从该面包店任意买2个面包，求其质量均不少于1 000g的概率；

(2)出于兴趣或一个偶然的念头，庞加莱每天将买来的面包称重并记录，得到25个面包质量(X)的数据(单位：g)如下：

983 968 952 972 998 959 966 1 001 987 992 1 006 1 011 1 010 957 1 000 1 008 950 997 954 969 961 952 971 969 975 设从这25个面包中任取2个，其质量不少于1 000 g的面包数记为η，求η的分布列和

E(η)；

－

(3)庞加莱计算出这25个面包质量(X)的平均值X＝978.72 g，标准差是20.16 g，认定面包师在制作过程中偷工减料，并果断举报给质检部门，质检员对面包师做了处罚，面包师也承认自己的错误，并同意做出改正．

庞加莱在接下来的一段时间里每天都去这家面包店买面包，他又认真记录了25个面包的质量，并算得它们的平均值为1 002.6 g，标准差是5.08 g，于是庞加莱又一次将面包师举报了．

请你根据两次平均值和标准差的计算结果及其统计学意义，说说庞加莱又一次举报的理由．

46分专项练(六) 17、18、19、20

1．解：(1)设等比数列{aa1a4＝a2a3＝3，

n}的公比为q，则a＝4，

2＋a3解得a2＝1，或a2＝3，所以q＝3或1

a3＝3

a3＝1，3，

1a＝即a1＝，9，3或1

1 q＝3q＝3.

又因为数列{an}是递减数列，所以a1＝9，q＝13.

故数列{an}的通项公式为an＝33－

n. n－2

(2)由(1)得bn＝2

n－2

×3

2－n

＋n＝23

＋n，

32故T21－3n

＋n（n＋1）＝9－92nn＋n2

n＝1－22223＋2. 3

2．解：(1)由题意知，如图，D为BC中点，所以BD＝DC，

11

S△ABC＝AC·AB，S△CDF＝DC·DF，

221

由AC＝DF，S△ABC＝S△CDF得AB＝DC＝BC.

2在Rt△ABC中，∠A＝90°，cos∠ABC＝

AB1＝， BC2

π

因为∠ABC是三角形的内角，所以∠ABC＝. 3(2)由题意知，如图，

设CD＝a，则BD＝3CD＝3a，BC＝4a，Rt△ABC中∠A＝90°，∠ABC＝45°， 所以DF＝AC＝22a.

在Rt△DFC中，FC＝CD2＋DF2＝a2＋（22a）2＝3a. 在Rt△FDB中，FB＝BD2＋DF2＝（3a）2＋（22a）2＝17a.

FB2＋FC2－BC2517

在△FBC中，由余弦定理得cos∠CFB＝＝.

512FB·FC3．解：证明：(1)连接AC，取AC中点O，连接FO，EO. 因为F为SC的中点，O为AC的中点，所以FO∥SA. 又因为SA⊥平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD， 所以EO是FE在面ABCD内的射影， ∠FEO就是EF与面ABCD所成角． 所以∠FEO＝45°.

又在△EFO中，∠FOE＝90°所以EO＝FO， 设EO＝FO＝a，则SA＝2OF＝2a，设AD＝2b，

因为SA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，以A为原点，AB，AD，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则A(0，0，0)，D(0，2b，0)，S(0，0，2a)，C(2a，2b，0)，E(0，b，0)， F(a，b，a)，B(2a，0，0)，

→→→

AD＝(0，2b，0)，SC＝(2a，2b，－2a)，EF＝(a，0，a)，

→→→→

所以EF·AD＝0，EF·SC＝0，所以EF⊥AD，EF⊥SC即EF是AD与SC的公垂线． 1

(2)因为FE＝BC，所以b＝2a，

2

→→→

所以SC＝(2a，22a，－2a)，SD＝(0，22a，－2a)，SB＝(2a，0，－2a)，

2ax1＋22ay1－2az1＝0

设平面SBC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则，令x1＝1，所以n1

2ax1－2az1＝0

＝(1，0，1)．

2ax2＋22ay2－2az2＝0

设平面SDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则，令y2＝1，

－22ay2＋2az2＝0

所以n2＝(0，1，2)， n1·n23

cos〈n1，n2〉＝＝.

|n1||n2|3

观察可知二面角B-SC-D为钝角，所以余弦值为－

3. 3

4．解：(1)由已知可得庞加莱从该面包店购买任意一个面包，其质量不少于1 000 g的概1

率为，设庞加莱从该面包店购买2个面包，其质量不少于1 000 g的面包数为ξ，由已知可

211＝1. 2，，故P(ξ＝2)＝C2得ξ～B2224

(2)25个面包中，质量不少于1 000 g的有6个，则η的可能取值为0，1，2，

2

1C257C111419191716C19

P(η＝0)＝2＝＝；P(η＝1)＝2＝＝；

C25300100C2530050

C21516

P(η＝2)＝2＝＝，

C2530020所以η的分布列为

η P 0 57 1001 19 502 1 2057191所以E(η)＝0×＋1×＋2×＝0.48.

1005020

(3)庞加莱经过仔细思考，认为标准差代表了面包重量的误差，可以理解成面包师手艺的精度，这个数字在短时间内很难改变，但由题意可知第一次与第二次的标准差相差较大，显然并不合理，庞加莱断定只能是随机性出现了问题．也就是面包的来源不是随机的，而是人为设定的，最大的可能就是每当庞加莱到来时，面包师从现有面包中挑选一个较大的给了庞加莱，而面包师的制作方式根本没有改变．面包质量的平均值从978.72 g提高到了1 002.6 g也充分说明了这一点．