专题能力训练21 不等式选讲(选修4—5)
一、能力突破训练
1.若a>0,b>0,且.
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(1)求a+b的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
2.设函数f(x)=+|x-a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
3.已知关于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集为[0,4]. (1)求m的值;
(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.
4.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集. (1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
5.(2018全国Ⅰ,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
二、思维提升训练
6.已知函数f(x)=g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R.
(1)当a=0时,若g(x)≤|x-1|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围; (2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值.
7.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|. (1)当a=2时,解不等式f(x)≤-;
(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.
8.已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x) =|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
专题能力训练21 不等式选讲(选修4—5)
一、能力突破训练
1.解 (1)由
,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.
故a3+b3≥2≥4
,且当a=b=
时等号成立.
所以a3+b3的最小值为4
. (2)由(1)知,2a+3b≥2≥4
.
由于4
>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.
2.(1)证明 由a>0,有f(x)=+|x-a|≥
+a≥2.故f(x)≥2.
(2)解 f(3)=
+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3 当0 ∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1. ∵其解集为[0,4], ∴m=3. (2)由(1)知a+b=3. (方法一:利用基本不等式) ∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥ ,当且仅当a=b= 最小值为. (方法二:消元法求二次函数的最值) ∵a+b=3, ∴b=3-a, ∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2, ∴a2+b2的最小值为 . 4.(1)解 f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1; 当- 当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1. 所以f(x)<2的解集M={x|-1 5.解 (1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集为. (2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 时取等号,∴a2+b2的 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1; 若a>0,|ax-1|<1的解集为0 g(x)≤|x-1|+b⇔-b≤|x-1|+|x-2|. |x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1, 当且仅当1≤x≤2时等号成立. 故实数b的取值范围是[-1,+∞). ,所以 ≥1,故0 当0 ∴f(x)=|x-3|-|x-2|=∴f(x)≤-等价于 解得 ≤x<3或x≥3, ∴不等式的解集为 . (2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|, ∴若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则|a-3|≥a,解得a≤ . 8.解 (1)当a=1时,不等式 f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. 当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解; 当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1; 当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1 . ∴实数a的取值范围是 ① . (2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2. 所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2. 又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1. 所以a的取值范围为[-1,1]. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容