数学分析》考试大纲

Ⅰ 考试性质与目的

本科插班生考试是针对专科毕业生参加的选拔性考试，我院将根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体育、全面衡量，择优录取。考试应有较高的信度，效度，必要的区分度和适当的难度。

Ⅱ 考试内容

一、考试基本要求

要求考生理解和掌握《数学分析》的基本概念，基本原理和基本方法，能运用本科目知识进行，具体分析问题和解决问题的基本能力。

二、考核知识点与考核要求

第一章 函数

一、考核知识点

1、函数的概念函数的定义 函数的表示法 分段函数 2、函数的简单性质单调性 奇偶性有界性 周期性 3、复合函数、反函数的概念 反函数的图像 4、函数的四则运算与复合运算

5、基本初等函数类幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 6、初等函数的概念 二、考核要求

1．识记：①基本初等函数的简单性质及图像。②初等函数的概念。 2．理解：①函数的概念②函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性。 3．应用：复合函数的复合过程。

第二章 极限

一、考核知识点 1．数列N定义

2．数列极限的性质唯一性，有界性，保号性，保不等式，四则运算定理子数列的概念和性质

3．数列极限存在的条件，单调有界定理，数列极限存在的柯西准则，夹逼定理 4．函数当x趋向时的极限的概念和函数当x趋向侧极限的概念

5．极限与单侧极限的关系

6．函数极限的性质唯一性 有界性保号性 保不等式性 四则运算定理

7．函数极限存在的条件单调有界定理 函数极限存在的柯西准则 夹逼定理 函数极限存在的归结原则

x0时的极限的概念和定义 单

8．两个重要的极限

9．无穷小量与无穷大量，无穷小量阶的概念，无穷小量阶的比较 二、考核要求

1、识记：①数列、函数极限的性质②无穷小量阶的比较③归结原则

2、理解：①数列ε-N定义,函数极限ε-δ定义②无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量与无穷大量的关系③单调有界定理，柯西准则

3、应用：①极限的四则运算法则②夹逼定理③用两个重要的极限求极限④无穷小量的性质求极限

第三章 函数的连续性

一、考核知识点

1．函数连续的概念函数在一点处连续的定义 左连续与右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的间断点及其分类

2．函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算 复合函数连续性 反函数的连续性 3．闭区间上连续函数的性质有界性定理 最大值与最小值定理 介值性定理 4．初等函数的连续性 二、考核要求

1识记：①函数在一点连续与间断的概念②函数在一点连续与极限存在的关系 2．理解：①函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算，复合函数连续性，反函数的连续性②闭区间上连续函数的性质③初等函数在其定义区间上的连续性

3．应用：①求函数的间断点及确定其类型②运用介值定理推证简单命题③用连续性求极限

第四章 导数和微分

一、考核知识点

1．导数的定义， 导数的几何意义，可导与连续的关系

2．求导法则与导数的基本公式，导数的四则运算，反函数的导数

3．求导方法复合函数的求导法，隐函数的求导法，对数求导法，由参数方程确定的函数的求导法，求分段函数的导数

4．高阶导数的概念高阶导数的定义，高阶导数的计算

5．微分的定义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式的不变性 二、考核要求

1识记：导数的概念及其几何意义，可导性与连续性的关系，

2理解：①导数的基本公式、四则运算法则及复合函数求导方法②隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法

3．应用：①使用各种求导法则和微分法则求导数和微分。②求简单函数的n阶导数

第五章 微分学基本定理及其应用

一、考核知识点

1．罗尔中值定理 拉格朗日中值定理柯西中值定理 2．洛必达法则

3．函数增减性的判定法，函数的极值与极值点 最大值与最小值 4．曲线的凹凸性、拐点 5．曲线的渐近线。 二、考核要求

1．识记：①罗尔中值定理、格朗日中值定理、柯西中值定理②曲线的的渐近线 2．理解：①利用导数判定函数单调性及求函数单调增、减区间的方法②判断曲线的凹凸性，求曲线的拐点③函数极值

03．应用：①用洛必达法则求“0”“”型未定式的极限的方法②用中值定理、函数

的单调性证明简单不等式③求函数的极值和最值

第六章．不定积分

一、考核知识点

1．原函数与不定积分的定义 原函数存在定理不定积分的性质 2．基本积分公式

3．换元积分法第一换元法 第二换元法 4．分部积分法

5．一些简单的有理函数和可化为有理函数的积分 二、考核要求

1．识记：①原函数与不定积分的概念及其关系②不定积分的性质 2．理解：①不定积分的基本公式②不定积分的第二换元法

3．应用：①不定积分的第一换元法②不定积分的分部积分法③简单有理函数的不定积分

第七章 定积分

一、考核知识点

1．定积分的定义及几何意义 可积的必要条件和充分条件 可积函数类 2．定积分的性质 3．微积分学基本定理 4．换元积分法与分部积分法

5．平面区域的面积、旋转体的体积和曲线弧长的计算 二、考核要求

1．识记：①定积分的概念及其几何意义②定积分可积的充分条件、必要条件和充要条件

2．理解：①定积分的基本性质②牛顿---莱布尼茨公式

3．应用：①对变上限定积分的求导方法 ②定积分的换元积分法和分部积分法

③平面区域的面积、旋转体的体积和曲线弧长的计算

第八章 级数

一、考试知识点

1．级数的收敛与发散，级数收敛的必要条件 2．正项级数敛散性判别法比较判别法比值判别法

3．一般项级数交错级数，绝对收敛，条件收敛，莱布尼兹判别法，阿贝尔判别法，狄里克莱判别法

4．函数列和函数项级数的一致收敛性 5．函数项级数的一致收敛性判别法 6．一致收敛函数列与函数项级数的性质 7．幂级数的收敛域和收敛半径，幂级数的展开

8．以2为周期的函数的傅里叶级数，收敛性定理，以2l为周期的函数的傅里叶级数 二、考核要求

1．识记：①数项级数的概念，级数收敛的必要条件②一般项级数、交错级数、绝对收敛、条件收敛的概念③一致收敛函数列与函数项级数的性质④幂级数的概念、性质、简单初等函数的幂级数的展开⑤傅里叶级数展开的收敛性定理

2．理解：①交错级数收敛的莱布尼兹判别法②函数列和函数项级数的一致收敛性 3．应用：①正项级数敛散性的比较判别法和比值判别法②一致收敛性，M-判别法

③幂级数的收敛域和收敛半径④将函数展开为傅里叶级数并利用

收敛性定理确定其收敛性

第九章 多元函数微分学

一、考核知识点

1．多元函数与平面点集 ，二元函数的定义域、几何意义 2．二元函数极限，累次极限，连续性概念

3．多元函数可微性与全微分的概念，多元函数偏导数的概念 4．复合函数微分法，高阶偏导数，极值问题 二、考核要求

1．识记：①多元函数与平面点集 ②二元函数的定义域和几何意义

③二元函数的连续性

2．理解：①二元函数极限和累次极限②多元函数偏导数、可微性与全微分的概念

③高阶偏导数的求法

3．应用：①求偏导数和全微分②复合函数微分法③二元函数极值求法

第十章 隐函数

一、考核知识点

隐函数概念，隐函数定理，隐函数的求导 二、考核要求 1．识记：隐函数概念 2．理解：隐函数定理 3．应用：隐函数的求导运算

第十一章 反常积分与含参变量的积分

一、考核知识点 1．反常积分的概念

2．无穷积分的收敛性与判别法 3．瑕积分的收敛性与判别法

4．含参量正常积分的概念，含参量正常积分的性质 二、考核要求

1．识记：①无穷积分和瑕积分的概念②含参量正常积分的概念

2．理解：①非负函数无穷积分和瑕积分的收敛性②含参量正常积分的性质 3．应用：非负函数无穷积分和瑕积分的比较判别法

第十二章 重积分

一、考核知识点

1．二重积分的概念，二重积分的计算，二重积分的变量变换

2．三重积分的概念，直角坐标系下三重积分计算，三重积分的变量变换 3．重积分的应用曲面的面积 重积分在物理学上的应用 二、考核要求

1．识记：①二重积分的概念②三重积分的概念 2．理解：二重积分的概念

3．应用：①直角坐标系和极坐标系下的二重积分计算②直角坐标系下三重积分计算③用柱坐标、球坐标变换计算三重积分④曲面的面积的计算

第十三章 曲线积分与曲面积分

一、考核知识点

1、第一型曲线积分和第二型曲线积分的概念，直角坐标系下的二重积分计算 2、第一型曲线积分和第二型曲线积分的性质与计算 3、格林公式，曲线积分与路线无关性

4、第一型曲面积分的概念，第一型曲面积分的计算， 5、第二型曲面积分的概念，掌握第二型曲面积分的计算 6、高斯公式，斯托克斯公式

二、考核要求

1、识记：①第一型曲线积分和第二型曲线积分的概念、性质

②第一型曲面积分和第二型曲面积分的概念、性质

2、理解：①第一型曲线积分和第二型曲线积分的计算②第一型曲面积分 3、应用：①格林公式，曲线积分与路线无关性 ②高斯公式

Ⅲ 考核形式及试卷结构

1.本科目考试采用闭卷笔试方法,考试时间120分钟,全卷满分100分。

2.试卷中各部分的占分比例是：第一至三章占25%，第四、五章占20%，第六、七章占15%，第八章占15%，第九、十、十一章占10%，第十二、十三章占15%。

3.试题对不同能力层次要求的分数比例，一般识记占20%，理解占40%，应用占40%。 4.试题难易占分比例是：易约占30%，中约占用50%，难约占20%。

5.本科目考试的题型有：填空题、计算题和证明题（各种题型的具体样式可以参见本纲附录《题型举例》）。

Ⅳ 参考书目

参考书目为《数学分析》（第四版）华东师范大学数学系编，高等教育出版社。

Ⅴ 题型示例

3n2n1. 幂级数 2x 的收敛半径是 。

n1n2. 设y=3sin1-x2，求导数y¢。

2n2n2。 3. 按ε-N定义证明极限lim2n3n434. 证明不等式

ex>1+x.

2n2n2。 3. 按ε-N定义证明极限lim2n3n435．求无穷积分

0exdx.