一轮复习向量1

1. 向量的概念：

①数学中我们把既有 又有 的量叫向量（比物理里的矢量取名更直接）.

②长度为0的向量叫 向量; 长度为1个单位长度的向量，叫 向量.

③方向相同或相反的非零向量叫 向量；也叫 向量(因为平行向量都可移到同一直线上).

④长度相等且方向相同的向量叫 . 2.向量的线性运算 0

1. 加法：平行四边形

向量加法的满足交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 20. 减法.零向量的相反向量是 , (a) , a(a)__ 若a与b互为相反向量,则ab,b___,ab___

求两向量差的运算叫减法运算aba__,即减去一个向量等于加上这个向量的 30. 数乘. .实数与向量a的积是一个 ，记作 ，它的模与方向规定如下： １）|a| ； 2）

＞０时,a的方向与 的方向相同；当＜０时, a的方向与 的方向相反；

运算律：(a) ； ()a= ； (ab)= .

3. 向量a (a0)与向量b共线是: 当且仅当有唯一实数，使 .

例1 给出下列命题

①向量AB的长度与向量BA的长度相等；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同； ④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中假命题的个数为 例2.下列命题中真命题的个数为 （ ） ①若|a|=|b|，则a=b或a=-b;

②若AB=DC，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； ③若a=b,b=c,则a=c;④若a∥b,b∥c,则a∥c. A.4 B.3 C.2 D.1 例3．已知梯形ABCD中，|AB|2|DC|，M，N分别是DC、AB的中点，

若ABe1，ADe2，用e1，e2表示DC、BC、MN．

例4．（1）设两个非零向量e1、e2不共线，如果AB2e13e2,BC6e123e2CD4e18e2, 求证：A,B,D三点共线.

（2）设e1、e2是两个不共线的向量，已知AB2e1ke2,CBe13e2,CD2e1e2, 若A,B,D三点共线，求k的值.

例5． 经过OAB重心G的直线与OA,OB分别交于点P，Q， 设OPmOA,OQnOB，m,nR，求

11的值。 nm例6.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，

且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值.

1．下列命题正确的是（ ）

(A)共线向量都相等 (B)单位向量都相等

(C)ab的充要条件是|a||b|且a//b (D)共线向量即为平行向量

2．已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是( ) (A)(2a,b) (B)(ab,ab) (C)(ab,ab) (D)(ab,ba) 3．向量|a|8,|b|12，则|ab|的最大值和最小值分别是___________.

4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么( )

A．AO＝OD B．AO＝2OD C．AO＝3OD D．2AO＝OD

5．已知向量a、b且AB＝a＋b，BC＝2a－3b，CD＝2a＋7b，则一定共线的三点是( )

A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 6．已知AB＝3(e1＋e2)，BC＝e1－e2，CD＝2e1＋e2，则下列关系一定成立的是( )

A．A，B，C共线 B．A，B，D三点共线C．C，A，D三点共线 D．B，C，D三点共线 7．D、E、F分别是△ABC的BC、CA、AB上的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命题，其中正确命题的个数是( )

1111→→→→→→①AD＝－a－b ②BE＝a＋b ③CF＝－a＋b④AD＋BE＋CF＝0

2222A．1 B．2 C．3 D．4

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→

8．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝( )A．2 B．3 C．4 D．5

9．在△ABC所在的平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与

1123

△ABC的面积之比是( )A. B.C. D.

3234→1→→→10．四边形ABCD中，有DC＝AB，且|AD|＝|BC|，则这个四边形是________．

2

→1→→1→11．如图所示，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC交于点M，

42设OA＝a，OB＝b。用a，b表示OM；

→→→→12.已知向量a和b不共线,实数x,y满足(2xy)a4b5a(x2y)b,则xy___

13.化简:①ABBCCD______;②ABADDC______;③(ABCD)(ACBD)______ 14. (1)ABDFCDBCFA______;(2)(ABMB)(BOBC)OM_____ 15.在ABCD中,ABa,ADb,则AC______,DB______.

→→→平面向量基本定理

1.两个非零向量的夹角

（1）定义：已知两个非零向量a和b,作OAa,OAb,则___叫做向量a与b的夹角。 （2）范围：向量夹角θ的范围是__ __,a与b同向时,夹角___;a与b反向时,夹角____。 （3）向量垂直：如果向量a与b的夹角是90,则a与b垂直,记作a⊥b。 2.平面向量基本定理及坐标表示

0

（1）平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个______向量,那么对于这一平面内的

任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a_ __。不共线的

向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

（2）平面向量的正交分解：

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. （3）平面向量的坐标表示

①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向 的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使axiyj,把有序数对（x,y）叫做向量a的坐标,记作a=（x,y）,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标。

②设OAxiyj,则向量OA的坐标（x,y）就是 的坐标,即若OA=（x,y）,则A.点坐标为（x,y）,反之亦成立.（O为坐标原点）

3.平面向量的坐标运算 （1）加法.减法.数乘运算 向量 坐标 a (x1,y1) b (x2,y2) a+b a-b a （2）向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=__________,即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标.

（3）平面向量共线的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线a=b ____________. 2．平面向量数量积ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 4．设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

1 ea = ae =|a|cos； 2 ab  ab = 0。3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或|a|4 cos =

aa

ab ；5|ab| ≤ |a||b|

|a||b|5．平面向量数量积的运算律

交换律：a  b = b  a数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)分配律：(a + b)c = ac + bc 一、 设a(x,y)，则|a|xy或|a|222x2y2.

（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么

|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面内两点间的距离公式)

二、 向量垂直的判定

设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab x1x2y1y20 三、 两向量夹角的余弦（0）

cos =

ab|a||b|x1x2y1y2x1y122x2y222

1.已知A(2,4),B(3,1),C(3,4).设ABa,BCb,CAc且CM3c,CN2b,求：

（1）3ab3c;（2）满足ambnc的实数m,n;（3）M,N的坐标及向量MN的坐标.

2.已知a(1,2),b(3,2),当k为何值时,kab与a3b平行;同向还是反向？ 已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k，3）。若a-2b与c共线，则k=__________。 3 已知a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１），则a与b的夹角是多少? 4在△ABC中，AB=(2， 3)，AC=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值. 5.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|－４a·b＝（ ） A.23 B.57 C.63 D.83 6.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（ ）

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 7已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ） A.(,)或(,)B.(,)或(,)C.(,)或(8.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)= . 9.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-２

34554355345535453545433434,)D.(,)或(,) 5555551)在线段AB的中垂线上，则x= . 210.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=BC，b=CA，则a与b的夹角为 . 11. 若｜a｜＝｜b｜=１，a⊥b，且2a＋３b与ka-4b也互相垂直，则k的值为( )

A.－６ B.６ C.３ D.－３

1PB，ABBP，则的值为( ) 31344A． B． C． D．

443313．设a和b的长度均为6，夹角为 120，则|ab|等于（ ）

12．若APA．36 B．12 C．6 14．若|

A．

|＝2sin15°，|

D．63

，

夹角为30°，则

·

为（ ）

|＝4cos375°、

31 B．3 C．23 D． 2215．若|a|=|b|=|a－b|,则b与a+b的夹角为 （ ）

A．30° B．60° C．150° D．120°

16．已知向量a(cos,sin),向量b(3,1)则|2ab|的最大值，最小值分别（ ）

A．42,0 B．4,42

C．16，0 D．4，0

17．已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+ 3b| = （ ）

A．7 B．10 C．13 D．4

18．已知a、b是非零向量且满足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，则a与b的夹角是（ ）

A．

 6B．

25 C． D． 33619．若向量a与b的夹角为60，|b|4,(a2b).(a3b)72,则向量a的模为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．12 20．设a(2,1cos),b(1cos,)，且a||b,0142,则为（ ）

A．

 B． C． D．或 463362

2

2

21.命题①若b≠0，且a·则a=c；②若a=b，则3a＜4b;③(a·(b·b=c·b，b) ·c=a·c), 对任意向量a，b，c都成立；④a·b=(a·b) ；正确命题的个数为____

22.向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于 23.向量a,b,c满足abc0，且|a|3,|b|1,|c|4，则a•bb•cc•a＝ 24．设A(cos,sin),B(cos(2244),sin()),C(cos(),sin())，则3333OAOBOC＝

o

25. 已知向量a与b的夹角为，|a|=2，|b|=3，分别在下列条件下求a•b，(1) =135;(2)

a∥b;(3)a⊥b.

26.已知向量|a|=3，|b|=4，且(a2b)•(2ab)4，求a与b夹角的取值范围。 27.已知abc0且|a|3,|b|5,|c|7。（1）求a与b夹角；（2）是否存在实数k，使kab与a－2b垂直？

28.已知|a|=23，|b|=3，a与b夹角为45，求使向量ab与ab的夹角为锐角时，的取值范围。