垫江县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A，B，C三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（ ）

A． B． C． D．π

2． 已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（ ） A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i 3． 为了得到函数A．向右平移C．向右平移

个单位长度 个单位长度

C．1﹣2i D．1+2i

的图象，只需把函数y=sin3x的图象（ ）

B．向左平移D．向左平移

个单位长度 个单位长度

4． 已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（m∈R），若导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ ）

A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣6

5． 已知△ABC是锐角三角形，则点P（cosC﹣sinA，sinA﹣cosB）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinB=2sinC，a2﹣c2=3bc，则A等于（ ） A．30° B．60° C．120° D．150°

7． 利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）

A．①② B．① C．③④ D．①②③④

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8． 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（ ）

A． B． C． D．

9． 如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（ ） A．

B．|a|＞|b|

22C．a2＞b2 D．a3＞b3

10．若圆xy6x2y60上有且仅有三个点到直线axy10(a是实数）的距离为， 则a（ ）

23 C．2 D． 42111．若直线l:ykx1与曲线C：f(x)x1x没有公共点，则实数k的最大值为（ ）

e1A．－1 B． C．1 D．3 2A． 1 B． 【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．

2x1，则曲线yfx在点1，f1处切线的斜率为（ ） x1A．1 B．1 C．2 D．2 12．已知函数fx1二、填空题

yxy22xy3x213．已知x,y满足xy4，则的取值范围为____________. 2xx114．已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2

2

）an+sin

，则该数列的前16项和为 ．

的直线与抛物线C

15．设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|，则

= ．

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16．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．

17．若直线：2xay10与直线l2：x2y0垂直，则a . x21,x018．已知函数f(x)，g(x)2x1，则f(g(2)) ，f[g(x)]的值域为 ．

x1,x0【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.

三、解答题

19．已知△ABC的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC的面积．

20．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）

21．在数列{an}中，a1=1，an+1=1﹣（1）求证：数列{bn}为等差数列； （2）设cn=bn+1•（）（3）证明：1+

+

，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn； +…+

≤2

﹣1（n∈N）

*

，bn=

，其中n∈N．

*

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22．已知m≥0，函数f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|的最大值为3． （Ⅰ）求实数m的值；

222

（Ⅱ）若实数a，b，c满足a﹣2b+c=m，求a+b+c的最小值．

23．已知矩阵M坐标．

24．某运动员射击一次所得环数X的分布如下：

所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的

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X 7 8 9 10 0～6 P 0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ． （I）求该运动员两次都命中7环的概率； （Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ．

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垫江县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】 A

【解析】（本题满分为12分）

解：由题意可得：|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin（α+β）， 设边长为sin（α+β）的所对的三角形内角为θ， 则由余弦定理可得，cosθ===

=sinαsinβ﹣cosαcosβ =﹣cos（α+β）， ∵α，β∈（0，∴α+β∈（0，π） ∴sinθ=

=sin（α+β）

=1，

）

﹣cosαcosβ

﹣cosαcosβ

设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R=∴R=，

2

∴外接圆的面积S=πR=

．

故选：A．

【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．

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2． 【答案】A

【解析】解：由z•i=2﹣i得，故选A

3． 【答案】A

，

个单位长度，可得y=sin3（x﹣

）=sin（3x﹣

）的图象，

【解析】解：把函数y=sin3x的图象向右平移

故选：A．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

4． 【答案】C

34

【解析】解：由已知得f′（x）=4xcosx﹣xsinx+2mx+1， 34

令g（x）=4xcosx﹣xsinx+2mx是奇函数，

由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9， 从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8． 故选C．

【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．

5． 【答案】B

【解析】解：∵△ABC是锐角三角形， ∴A+B＞∴A＞

， ﹣B，

﹣B）=cosB，

∴sinA＞sin（

∴sinA﹣cosB＞0， 同理可得sinA﹣cosC＞0， ∴点P在第二象限． 故选：B

6． 【答案】C

【解析】解：由sinB=2sinC，由正弦定理可知：b=2c，代入a2﹣c2=3bc， 可得a2=7c2，

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所以cosA=∵0＜A＜180°， ∴A=120°． 故选：C．

==﹣，

【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查．

7． 【答案】A 【解析】

考

点：斜二测画法． 8． 【答案】A

【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段， 上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：

故选A．

【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．

9． 【答案】D

【解析】解：若a＞0＞b，则

，故A错误；

若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误； 若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a2＞b2，故C错误； 函数y=x3在R上为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故D正确； 故选：D

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．

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10．【答案】B 【解析】

试题分析：由圆x2y26x2y60，可得(x3)2(y1)24，所以圆心坐标为(3,1)，半径为r2，要使得圆上有且仅有三个点到直线axy10(a是实数）的距离为，则圆心到直线的距离等于

1r，即23aa211，解得a2，故选B. 1 4考点：直线与圆的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标和圆的半径、点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化的思想方法，本题的解答中，把圆上有且仅有三个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离等于是解答的关键.

11．【答案】C

1r21，则直线l：ykx1与曲线C：yfx没有公共点，ex11等价于方程gx0在R上没有实数解．假设k1，此时g010，g10．又函1k1ek1数gx的图象连续不断，由零点存在定理，可知gx0在R上至少有一解，与“方程gx0在R上没

【解析】令gxfxkx11kx有实数解”矛盾，故k1．又k1时,gx为1，故选C．

12．【答案】A 【解析】

10,知方程gx0在R上没有实数解，所以k的最大值xe2x1112，则f'x2，所以f'11． xxx考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 试题分析：由已知得fx二、填空题

13．【答案】2,6 【解析】

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考点：简单的线性规划．

【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数

22的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1）xy表示点

x,y与原点0,0的距离；（2）xaybyb22表示点x,y与点a,b间的距离；（3）

y可表示点xx,y与0,0点连线的斜率；（4）xa表示点x,y与点a,b连线的斜率.

14．【答案】 546 ．

*

【解析】解：当n=2k﹣1（k∈N）时，a2k+1=a2k﹣1+1，数列{a2k﹣1}为等差数列，a2k﹣1=a1+k﹣1=k；

*

当n=2k（k∈N）时，a2k+2=2a2k，数列{a2k}为等比数列，

．

∴该数列的前16项和S16=（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a16） =（1+2+…+8）+（2+22+…+28） =

=36+29﹣2 =546．

故答案为：546．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

+

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15．【答案】

．

2

【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F， 过F斜率为

的直线与抛物线C相交于A，B两点，

直线AO与l相交于D， ∴直线AB的方程为y=联立

（x﹣），l的方程为x=﹣， ，解得A（﹣

，

，

P），B（，﹣

）

∴直线OA的方程为：y=

联立，解得D（﹣，﹣）

∴|BD|==，

∵|OF|=，∴ ==．

故答案为：．

【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．

16．【答案】

．

【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，

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8个三棱锥的体积为：

剩下的凸多面体的体积是1﹣=． 故答案为：．

=．

【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．

17．【答案】1 【解析】

试题分析：两直线垂直满足21-a20，解得a1，故填：1. 考点：直线垂直

【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，需满足a1a2b1b20，当两直线平行时，l1:a1xb1yc10，l2:a2xb2yc20，当两直线垂直时，

abc需满足a1b2a2b10且b1c2b2c1，或是111，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直

a2b2c2k1k21，两直线平行时，k1k2，b1b2.1 18．【答案】2，[1,).

【

解

析

】

三、解答题

19．【答案】

，

， =

=

，

，

【解析】解：由题意设a=n、b=n+1、c=n+2（n∈N+）， ∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A， 由正弦定理得∴

，则，得cosA=

由余弦定理得，cosA=∴

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化简得，n=4，

==

，

=

．

∴a=4、b=5、c=6，cosA=， 又0＜A＜π，∴sinA=∴△ABC的面积S=

【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．

20．【答案】 令f′（x）=0得x=e，

当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，

∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）． （II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，

则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立， 又x﹣1＞0，则k＜设h（x）=

对任意x∈（1，+∞）恒成立，

．

【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．

，则h′（x）=

设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，

∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．

∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0， ∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0， 当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0， 当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，

∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， ∴h（x）的最小值hmin（x）=h（x0）=

．

=x0．

∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）=∴k＜hmin（x）=x0． ∵3＜x0＜4， ∴k≤3．

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∴k的值为1，2，3．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．

21．【答案】

【解析】（1）证明：bn+1﹣bn=等差数列，首项为1，公差为1． （2）解：由（1）可得：bn=n． cn=bn+1•（）

=（n+1）

． +3×+…+n

++（n+1）

+…+（n+1）

，

．

﹣

=

﹣

=1，又b1=1．∴数列{bn}为

∴数列{cn}的前n项和为Tn=

=

+3×

∴Tn=

+++…+﹣（n+1）=+﹣（n+1），

可得Tn=﹣（3）证明：1+∵∴1+∴1+

=++＜+…++…+

+

． +…+=2≤1+2[（

≤2

﹣1）+（

*

﹣1（n∈N）．

≤2﹣1（n∈N）即为：1+

*++…+≤﹣1．

（k=2，3，…）．

）+…+（

﹣

）]=1+2

=2

﹣1．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|=|2x﹣2|﹣|2x+m|≤|（2x﹣2）﹣（2x+m）|=|m+2| ∵m≥0，∴f（x）≤|m+2|=m+2，当x=1时取等号，

∴f（x）max=m+2，又f（x）的最大值为3，∴m+2=3，即m=1．

2222222

（Ⅱ）根据柯西不等式得：（a+b+c）[1+（﹣2）+1]≥（a﹣2b+c），

∵a﹣2b+c=m=1，∴，

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当，即222

时取等号，∴a+b+c的最小值为．

【点评】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

23．【答案】

【解析】解：依题意，由M=从而由

=

得

═

1

得|M|=1，故M﹣=

=

故A（2，﹣3）为所求．

【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，考查学生的计算能力，比较基础．

24．【答案】 【解析】解：（1）设A=“该运动员两次都命中7环”， 则P（A）=0.2×0.2=0.04．

（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10 且P（ξ=7）=0.04，

P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21，

P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39，

P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36， ∴ξ的分布列为：

7 8 9 10 ξ P 0.04 0.21 0.39 0.36 ξ的期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07． 相互独立事件概率乘法公式的合理运用．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意

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