2018重庆中考数学阅读创新25题专题训练(含答案)

25．已知，我们把任意形如：tabcba的五位自然数（其中cab，1a9，0b8）称之为喜马

拉雅数，例如：在自然数32523中，325，所以32523就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然

数n整除的最大的喜马拉雅数记为Fn，能被自然数n整除的最小的喜马拉雅数记为In． （1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除； （2）求F3+I(8)的值．

解析：（1）各数位数字之和abcba2a2bc2a2b(ab)3(ab) ∵a、b是整数 ∴ab是整数 ∴任意一个喜马拉雅数都能被3整除 （2）F(3)90909,

ab(ab)ba10101a1110b3a2b 1263a139b888∵喜马拉雅数能被8整除∴3a2b能被8整除

1a9,0b8,1ab9，33a2b27，3a2b8,16或24

可得：I(8)21312 ∴F(3)I(8)9090921312112221

25．一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k为“魅力数”，把这个商叫做k的魅力系数，记这个商为F(k)．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记

F(722)4．

(1)计算：F(304)F(2052)；

(2)若m、n都是“魅力数”，其中m3030101a，n40010bc(0a9,0b9,0c9，a、

b、c是整数)，规定：G(m,n)ac．当F(m)F(n)24时，求G(m,n)的值． b

8062628018……（1分）

991000a100b10cd(1000c10d10ab)10ab10cd 设nabcd ∴F(n)99 ∵a、b、c、d是整数, ∴10ab10cd也为整数,即：结论成立.……（4分）

.解：（1）F(8062)（2）设“平衡数”Nmnpq 由题可得：mnpq,p2n1

∴N1000m100n10pq 1001m101n9p 1001m119n9（5分）

∵N能被11整除

1001m119n99n9 91m10n11119n9 ∴为整数

11 又∵0n9且n为整数 ∴n1

∴

∴p2n11……（7分） ∴N1001m110 ∵N能被3整除

1001m1102a2 333m36332a2 ∴为整数

3又∵1a9 ∴a2或5或8

∴

∴N=2112或5115或8118……（9分） ∵F(2112)9,F(5115)36,F(8118)63 ∴F(N)的最小值为9……（10分）

阅读下列材料，解决问题：

一个能被17整除的自然数我们称“灵动数”，“灵动数”的特征是；若把一个整数的个位数字截去，在从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍大，相减，验差”的过程，直到能清楚判断为止．

例如：判断1675282是不是“灵动数”，判断过程：16752825167518，167518516711，

1671151666，16665136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…65=30，现在个位5=30>剩下的13，就用大数减去小数，301317，17是17的1倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“灵动数”．

（1）请用上述方法判断7242和2098754是否是“灵动数”，并说明理由；

（2）已知一个四位整数可表示为27mn，其中个位上的数字为n，十位上的数字为m，且m、n为整数，若这个数能被51整除，请求出这个数． 解：（1）724-25714,71-4551 51是17的3倍，7242是“灵动数”；

209875-45209855,20985-5520960209-65279 2096-052096,

95-2718 18不能被17整除，2098754不是“灵动数”.

（2）由题可知：2700+10m+n=5153+10m+n-3能被51整除

10m+n-3能被51整除

0m9,0n9310mn396

10m+n-3=0或51，即10m+n=3或54



m0m5 这个数为2703或2754 或n3n425、一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得

的差能被13整除，则原多位数一定能被13整除．

（1）判断266357 （能/不能）被13整除，证明任意一个多位自然数都满足上述规律； （2）一个自然数t可以表示为tp2q2的形式，（其中pq且为正整数），这样的数叫做“佛

22系数”，在t的所有表示结果中，当pq最小时，称pq是t的“佛系分解”，并规定

F(t)p2q92723．例如：3262-2292-72，9-762，则F(32)．972 pq已知一个五位自然数，末三位数m80010y42，末三位以前的数为n10（x1）y（其中

1x8，1y9且为整数），n为“佛系数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得

的新数能被13整除，求F(n)的最大值． 解析：（1）能；…………………………………（1分）

设末三位数为B，末三位以前的数为A，则这个数为1000A+B.

BA13k,k是整数BA13k

1000AB1000A（A13k)1001A13k13(77A13)A,k是整数77A13是整数

所以：任意一个多位自然数都满足上述规律…………………………………（4分）

（2）当1y5时，这个五位数万位、千位、百位、各位数字为（x1）、y、8、（y4）、2；

100（y4）8210(x1)y10x99y4721313

3x5y4x8y36133x5y4是整数

131x8,1y5183x5y4233x5y413,0,13…………………………………（6分） x1,2,7,8y4,2,5,3n24,32,85,93当6y9时，这个五位数万位、千位、百位、各位数字为（x1）、y、9、（y6）、2；

100（y-6）9210(x1)y10x99y-5181313 3x4y2x8y-40133x4y2是整数

131x8,6y9403x4y243x4y239,26,13 x4,5y8,6n58,66…………………………………（7分）

（,pq）由npq(pq)(pq)（,pq）奇偶性相同

F(24)1723,F(32)，F(85)127，F(93)139 22221723127139 22F(n)最大值是139.…………………………………（10分）

25．一个数的后三位数加上前边的数之和能被37整除，那么这个数就能够被37整除，如果前边的数超过三位，那么三个数字为一组，相加能够被37整除，这个数就能被37整除．例如：6549 ，549+6=555，555÷37=15，所以6549能被37整除；12360146， 146+360+12=518，518÷37=14，所以12360146能被37整除．

（1）判断：333444 （能、不能）被37整除；证明：若四位数abcd（其中1a9，1b9，

1c9，1d9，a、b、c、d为整数）能被37整除，求证：将abcd的个位截去，再用余下的

数减去个位数的11倍也能被37整除．

（2）一个四位数abcd（其中1a9，1b9，1c9，1d9，a、b、c、d为整数），其个位数字与千位数字的和等于十位数字与百位数字的和，此四位数能被37整除，且百位数字加上个位数字再与十位数字的差是一个完全平方数，求此四位数．

25．（1） 能 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 证明：由题可知，100b10cda37k．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 其中1a9，1b9，1c9，1d9，a、b、c、d、k为整数 ∴d37k100b10ca

100a10bc11d100a10bc11（37k100b10ca）407k111a1110b111c37（11k3a30b3c）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∴abcd的个位截去，再用余下的数减去个位的11倍也能被37整除 （2）由题可知，adbc， 100b10cda37k

bdcm2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

其中1a9，1b9，1c9，1d9，a、b、c、d、k、m为整数

100b10cbc37k∴101b11c37k 111b10b11c37k．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 10b11c37k1 （k1为整数）

∵7910b11c89

∴10b11c74、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 37、0、37、74．∴b17b24或

c13c27b172时，满足条件bdcm的d5，此时a5

c13当d13a18b242当时，满足条件bdcm的d24，此时对应的a27 c27d7a433综上所述，此四位数为5735、8473、7474、4477．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

25.一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n 为“启航数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n'。把n'放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n'的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F(n)，例如：n23时，

n32，F(23)2332322381.

11（1）计算F(42)_____; 若m为“启航数”，F(m)是一个完全平方数，求F(m) 的值；

（2）s、t为“启航数”，其中s10ab,t10xy（1ba9,1x、y5，且a,b,x,y为整数） 规定：K(s,t)解析：

st，若F(s)能被7整除，且F(s)F(t)81y162，求K(s,t)的最大值. t（1）F(42)1621'

pqqpqppq81(pq)，

11设mpq(1pq9，且p、q为整数)，则F(m)=∵F(m)完全平方数，∴pq为完全平方数，∵1pq9，且p、q为整数

∴0pq8，∴pq1或4，∴F(m)=81或3245'

（2）由题意知： sab,txy（1ba9,1x、y5，且a、b、x、y为整数）， ∴F(s)81(ab)，F(t)81(xy)，∵F(s)能被7整除，∴

81(ab)为整， 7又∵1ba9，所以0ab8，∴ab7，∴a9,b2或a8,b1， ∴s=92或816'

又∵F(s)F(t)81y162，∴81(ab)81(xy)81y162，∴2yx5， ∵1x、y5且xy，所以x1,y3或x3,y4，∴t13或34∴K(92,13)Kmin791379296847，K(92,34)，K(81,13)，K(81,34) 1317133410'

8'

25. 阅读下列材料，并解决问题：

材料1：对于一个三位数其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”.如122，222-1；

材料2：若一个数M能够写成M=p2－q2＋p＋q (p、q均为正整数，且p≥q)，则我们称这样的数为“不完全平方差数”，当

p2pq最大时，我们称此时的p、q为M的一组“最优分解数”，并规定F(M).例

qp2q929-82217-17121所以F(M)； ，，，8928517217353如3492-8298172-1721717，因为

（1）求证：任意的一个“倍差数”与其百位数字之和能够被3整除；

（2）若一个小于300的三位数N140a20bc（其中1≤b≤4，0≤c≤9，且a、b、c均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，求所有F(N)的最大值. 解析：（1）设任意的”倍差数”为abcb2ca

abca100a10bca81a21c327a7c

a,c均为整数27a7c为整数

abca能被3整除..................................................................................4分

（2）N140a20bc100a104a2bc

4a2b10(舍) N300a1,2当a2时， a1...........................................................................................................5分

①当1b2时

N1(42b)c 42b2(c1)cb3

b1b2，N164,185................................................................6分 c4c5②当3b4时

N2(42b-10)c 2b-62(c2)bc1

b3b4，N202,223..............................................................7分 c2c3N是“不完全平方差数”

N(pq)(pq1)

N为偶数

N164,202........................................................................................8分

F(164)2251 19502251 ,F(202)1950F(N)的最大值为22.........................................................................10分 19

在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”。若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”。比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324－13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”。 （1）请根据以上方法判断31568 （填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；

（2）若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值。

解：（1）∵9652，∴9652是公能数 ∴F(9652)(9652)(9562)7……………………………………………………（1分）

11∵3232，∴3232是公能数

(3232)(3322)1……………………………………………………（2分）

11（2）∵ P1000x10y616x10006100(y1)106

Q100mn304231000m100410(n2)

∴F(3232)∵P，Q是“公能数”且1≤x≤9，0≤y≤8，1≤m≤9，0≤n≤7 ∴x6y16，3m4(2n)

∴yx1，nm1……………………………………………………………………（3分） ∴Px6x6，Q3m4(m1) ∴F(P)F(Q)(x6x6)(xx66)x6， ………………………………………………（4分）

11(3m4(m1))34m(m1)2m…………………………………………（5分）

11∵2F(P)F(Q)3

∴2(x6)(2m)3 即2xm17………………………………………………（6分）

∵1≤x≤9，1≤m≤9，x6

x8x7x5∴ ……………………………………………………………（8分） ,，m1m3m7∴当x=8，m=1时，P=8686，Q=3142，则F(P)2，F(Q)1∴k22 111 111 55∴当x=7，m=3时，P=7676，Q=3344，则F(P)1，F(Q)1∴k∴当x=5，m=7时，P=5656，Q=3748，则F(P)1，F(Q)5∴k∵1

12 ∴k的最小值为1……………………………………………（10分） 525. 任意一个三位数n形式上可以表示成abc（其中百位、十位、个位数字分别为a、b、c），如果abc满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称n为“奇异数”．将一个“奇异数”n各个数位上的数字两两组合可以形成六个新的两位数，我们把这六个两位数相加，然后再用所得的和除以11，所得的结果叫做这个“奇异数”n的“奇异和商”，记作Fn．例如235是一个“奇异数”，六个新的两位数分别是23,25,35,32,53,52，则F235（1）求F189的值；

（2）试说明任意一个三位“奇异数”的“奇异和商”能被这个三位数各个数位上的数字之和整除； （3）如果一个三位数满足十位数字等于百位数字与个位数字乘积的一半，那么这个三位数叫做“奇妙

数”．已知一个三位数正整数m20(5x1)2y（其中x、y都是整数，且1x9，0y9），既是“奇异数”，又是“奇妙数”．求Fm的最小值．

解：（1）F18923253532535220．

11181989819198··············2分 36·

11（2）由题意设这个数为abc的“奇异和商”：

Fabc22abc

1110ab10ba10bc10cb10ac10ca

11········································4分 2abc·则能被abc整除 （3）当1y4

····························5分 m100x202y·

∴m的百位、十位、个位数分别为x、2、2y ∴2x2y则xy2 2∴m124或222·····························6分 当5y9

····························7分 m100x30(2y10)·

∴m的百位、十位、个位数分别为x、3、2y-10

∴3x（2y-10）则6x（2y-10） 2∴m136或332·····························8分 ∵各个数位上的数字互不相同

····························9分 m124或136·

F(m)F(124)212414 F(m)F(136)213620

····························10分 F(m)min14·

重庆一中初2018级17—18学年度上期半期考试

25. 材料1：一个多位正整数，如果它既能被13整除，又能被14整除，那么我们称这样的数为“一生一

世”数(数字1314的谐音). 例如：正整数364，3641328，3641426，则364是“一生一世”数.

材料2：若一个正整数m，它既能被a整除，又能被b整除，且a与b互素（即a与b的公约数只有1），

则m一定能被ab整除. 例如：正整数364，3641328，3641426，因为13和14互素，则

364(1314)3641822，即364一定能被182整除.

（1）6734 （填空：是或者不是）“一生一世”数. 并证明：任意一个位数大于三位的“一

生一世”数，将其末尾三位数截去，所截的末尾三位数与截去后剩下的数之差一定能被91整除； （2）任意一个四位数的“一生一世”数，若满足前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这样的数

为“相伴一生一世”数，求出所有的“相伴一生一世”数.

25.一个两位正整数n,如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0,那么称n为“启航数”,将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n,把n放在n的后面组成第一个四位数,把n放在n的后面组成第二个四位数,我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为F(n),例如:n=23时，

n=32,F(23)=

2332-3223-81.

11(1)计算F(42)=_______，若m为“启航数”,F(m)是一个完全平方数,求F(m)的值；

(2)s、t为“启航数”,其中s=10a+b,=10x+y(1≤b对于一个正整数，如果从左到右偶数数位上的数字之和与奇数数位上的数字之和的差是11的倍数，则称这个正整数为“新奇数”。把一个多位正整数分解为末三位和末三位之前的数，如果末三位数减去末三位以前的数所得差能被13整除，则这个多位正整数“新异数”。已知任意四位数P均可唯一分解为

P1000xy2z的形式（其中x,y,z均为非负整数，且z2y1），规定G(M)例如：12341000116222，G(1234)11615． 12223xy． xz（1）求证：任意四位“新奇数”都能被11整除；

（2）已知一个四位自然数n1000a100b10cd(1a6,2b6,1c7)，个位数字比百位数字小2；

，又是“新异数”，求符合条件的正整数m以及G(M)最小值． mn2301，且m既是“新奇数”

任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b-（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F(n)ac ，例如：b6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1-（1+6）|=5，|2×2-（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即

F(6)132． 2（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．

（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最

小值．

25.材料一：有一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，且千位数字小于百位数字，则称这个四位数为“美好数”。例如3443为“美好数”；

材料二：一个个正整数x能写成xa2b2(a、b均为正整数,且a≠b),则称x为“美满数”，a、b为x的一个平方差分解,在x的所有平方差分解中,若a2b2最大,则称a、b为x的最佳平方差分解,此时F(x)a.例如：b2152-22，21为“美满数”,5和2为21的一个平方差分解，48132-11282-4272-12，因为

132112＞8242＞7212，所以13和11是48的最佳平方差分解,所以F4813.根据材科回答: 11(1)求证:任一个美好数的各数位上的数字之和为6的倍数,则这个美好数一定能被33整除；

(2)若一个数m既是“美好数”又是“美满数”,并且另一个“美好数”的前两数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个平方差分解,请求由所有满足条件的数m中F(m)的最大值。

25.对于一个四位自然数n,如果n满足各个数位上的数字互不相同且均不为0,它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和,那么称这个数n为“平衡数”,对于一个“平衡数”,从千位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数,把这四个三位数的和与222的商记为F(n),例如:n=1526,因为1+6=2+5,所以1526是一个“平衡数”,从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为152、526、261、615,这四个三位数的和为:

152+526+261+615=1554,1154÷222=7,所以F(1526)=7. (1)写出最小和最大的“平衡数”n,并求出对应F(n)的值；

(2)若s、t都是“平衡数”,其中s=10x+y+3201,t=1000m+10n+126(0sx≤9,0≤y≤8,1≤m≤9，0≤n≤7,x、

Fs-Fty、m、n都是整数),规定:k，当F(s)+F(t)是一个完全平方数时,求k的最大值。 Fs•Ft

一个形如cbabc的五位自然数（其中c表示该数万位和个位上的数字，b表示千位和十位上的数字，a表示百位上的数字．且c0），若有bca，则把该自然数叫做“巅峰数”，例如，自然数25752，因为

。同时规定：将“巅峰数”中的后三位a，b，c进行重新排列（新5+2=7，所以25752是一个“巅峰数”

数可以与原数相同），得到新的三位数xyz(xy)，并按3y2xz进行计算求值，将所得的最小值记为P.

（1）求证：任意“巅峰数”能被111整除；

（2）若某“巅峰数”与其所有数位上的数字之和能被17整除，求该“巅峰数”及相应的P的值。

25．一个形如cbabc的五位自然数（其中c表示该数万位和个位上的数字，b表示千位和十位上的数字，a表示百位上的数字，且c≠0），若a+c=b，则把该自然数叫做“M数”，例如在自然数25352中，3+2=5，则25352是一个“M数”。同时规定：与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最大“M数”记为P，

MN与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最小“M数”记为Q。 （1）求证：若4c+3a能被9整除，则任意一个“M数”都能被9整除； （2）若“M数”与它各数位数字之和的差能被7整除，请求出P和Q。

MNM7M7