题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
2
1．（5分）设∪=R，P={x|x＜1}，Q={x|x≥0}，则P∩（∁UQ）=（ ） A．{x|﹣1＜x＜0} B． {x|x＜0} C． {x|x＜﹣1} D． {x|0＜x＜1} 考点： 交、并、补集的混合运算． 分析： 求解二次不等式化简集合P，然后直接利用交集和补集的运算求解． 解答： 解：由P={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|x≥0}， 所以∁UQ={x|x＜0}， 所以P∩（∁UQ）={x|﹣1＜x＜1}∩{x|x＜0}={x|﹣1＜x＜0}． 故选A． 点评： 本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了二次不等式的解法，是基础题． 2．（5分）如图，阴影部分（含边界）所表示的平面区域对应的约束条件是（ ）
A． B． C． D． 考点： 简单线性规划的应用． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由图解出两个边界直线对应的方程，由二元一次不等式与区域的对应关系从选项中选出正确选项． 解答： 解：由图知，一边界过（0，1），（﹣1，0）两点，故其直线方程为x﹣y+1=0 另一边界直线过（0，2），（﹣2，0）两点，故其直线方程为x﹣y+2=0 由不等式与区域的对应关系知区域应满足x﹣y+1≤0与x﹣y+2≥0，且x≤0，y≥0． 故区域对应的不等式组为． 故选A． 点评： 考查用两点法求直线方程与二元一次方程与区域的对应关系，是基本概念应用的题型．
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3．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
3 A． 6 B． 8 C． 12 D． 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题． 分析： 利用三视图复原的几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可． 解答： 解：由题意三视图复原的几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，上底边长为1，下底边长为2，高为2的梯形，棱柱的高为2，并且是直棱柱， 所以棱柱的体积为：=6． 故选B． 点评： 本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键． 4．（5分）已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题错误的是（ ） A．B． 若a＞0，b＞0，则 若，则a≥0，b≥0 C．若a≠b，则 D． 若，则a≠b 考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 计算题；不等式的解法及应用． 分析： 由基本不等式可得A正确；选项B，有意义可得ab不可能异号，结合2可得ab不会同为负值；选项C，可举反例说明错误；选项D平方可得（a﹣b）＞0，显然a≠b 解答： 解：选项A，由基本不等式可得：若a＞0，b＞0，则，故A正确； 选项B，由结合有意义可得ab不可能异号， 可得ab不会同为负值，故可得a≥0，b≥0，故正确； 选项C，需满足a，b为正数才成立，比如举a=﹣1，b=2，显然满足a≠b，但后面的式子无意义，故错误； 选项D，由平方可得（a﹣b）＞0，显然可得a≠b，故正确． 2故选C 点评： 本题考查命题真假的判断与应用，涉及基本不等式的知识，属基础题． 5．（5分）函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（x∈R）
的部分图象如图所示，如果
，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（ ）
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A． B． C． 1 D． 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质． 分析： 通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可． 解答： 解：由图知，T=2×=π， ∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣∵∴所以，所以ϕ=， ，． ， ），0=sin（﹣+ϕ） 故选C． 点评： 本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力． 6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．MN与CC1垂直 B． MN与AC垂直 C． MN与BD平行 D． MN与A1B1平行 考点： 棱柱的结构特征． 专题： 证明题． 分析： 先利用三角形中位线定理证明MN∥BD，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN与CC1垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，故排除A、B、C选D 解答： 解：如图：连接C1D，BD，在三角形C1DB中，MN∥BD，故C正确； ∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确； ∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确； ∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，D错误 故选D 3页
点评： 本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键 7．（5分）（2013•浙江模拟）已知等比数列{an}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的（ ） A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 充要条件 C．D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 可举﹣1，，…，说明不充分；举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…说明不必要，进而可得答案． 解答： 解：可举a1=﹣1，q=，可得数列的前几项依次为﹣1，，…，显然不是递减数列， 故由“0＜q＜1”不能推出“{an}为递减数列”； 可举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…显然为递减数列，但其公比q=2，不满足0＜q＜1， 故由“{an}为递减数列”也不能推出“0＜q＜1”． 故“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的既不充分也不必要条件． 故选D 点评： 本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，举反例是解决问题的关键，属基础题． 8．（5分）偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，若不等式f（ax﹣1）＜f（2+x）恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A．B． （﹣2，2） C． D． 考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 根据偶函数图象关于原点对称，得f（x）在[0，+∞）上单调增且在（﹣∞，0]上是单调减函，由此结合2+x是正数，将原不等式转化为|ax﹣1|＜2+x恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数a的取值范围． 解答： 解：∵f（x）是偶函数，图象关于y轴对称 ∴f（x）在[0，+∞）上的单调性与的单调性相反 由此可得f（x）在（﹣∞，0]上是减函数 22∴不等式f（ax﹣1）＜f（2+x）恒成立，等价于|ax﹣1|＜2+x恒成立 即不等式﹣2﹣x＜ax﹣1＜2+x恒成立，得2222222
的解集为R ∴结合一元二次方程根的判别式，得：a﹣4＜0且（﹣a）﹣12＜0
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解之得﹣2＜a＜2 故选：B 点评： 本题给出偶函数的单调性，叫我们讨论关于x的不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于基础题． 9．（5分）已知F1，F2分别是双曲线
的左、右焦点，过点F2与双曲线的
一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A．B． C． D． （2，+∞） 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出． 解答： 解：如图所示， 过点F2（c，0）且与渐近线平行的直线为， 与另一条渐近线联立解得，即点M． ∴|OM|==． ∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞c， ∴∴双曲线离心率e=，解得． ． 故双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选D． 5页
点评： 熟练掌握平行线与向量的关系、双曲线的渐近线、两点间的距离计算公式、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键． 10．（5分）已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f：M→N，且点A（0，f（0）），B（i，f（i）），C（i+1，f（i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC的内切圆圆心为I，且
R），则满足条件的函
数有（ ） A．10个 B． 12个 C． 18个 D． 24个 考点： 排列、组合及简单计数问题． 专题： 综合题；压轴题． 分析： 由+=λ，（λ∈R）知△ABC是以B为顶点的等腰三角形，且A点是4×4的格点第一列中的点，当i=1与i=2时，得到点B，点C的位置，数一数B为顶点的等腰三角形的个数即可得到答案． 解答： 解：+=λ，（λ∈R）知△ABC是以B为顶点的等腰三角形，A点是4×4的格点第一列中的点． 当i=1时，B点是第二列格点中的点，C点是第三列格点中的点， 此时腰长为、、的△ABC分别有6个、4个、2个， 当i=2时，B点是第三列格点中的点，C点是第四列格点中的点，如图： 此时腰长为的△ABC分别有6个，满足条件的△ABC共有18个． 故选C 点评： 本题考查排列、组合及简单计数问题，依题意判断△ABC是以B为顶点的等腰三角形是关键，也是难点，考查分类讨论思想与数形结合思想的综合应用，属于难题．
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二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（4分）已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则f（﹣4）= ﹣2 ． 考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用奇函数的性质即可得出f（﹣4）=﹣f（4），再利用对数的运算法则即可得出． 解答： 解：∵f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x， ∴f（﹣4）=﹣f（4）=﹣log24=﹣2． 故答案为﹣2． 点评： 熟练掌握奇函数的性质、对数的运算法则是解题的关键． 12．（4分）（2009•嘉定区二模）设i是虚数单位，则
= 1+i ．
考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题． 分析： 先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母再进行复数的除法运算，整理成最简形式． 解答： 解：∵===1+i， ∴=1+i， 故答案为：1+i． 点评： 本题考查复数的除法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要一定要得分的题目． 13．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的a的值为 ﹣1 ．
考点： 程序框图． 专题： 图表型． 分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计
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算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果． 解答： 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i a是否继续循环 循环前0 1 1/ 第一圈1 2 0 是 第二圈1 3﹣1 是 第三圈0 4 1 是 第四圈1 5 0 是 第五圈1 6﹣1 是 … 依此类推，a的值呈周期性变化：1，0，﹣1，1，0，﹣1，… 第2012圈1 2013﹣1否 故最终的输出结果为：﹣1， 故答案为：﹣1． 点评： 本题考查循环结构的程序框图，解决本题的关键是弄清开始和结束循环的条件．属于基础题． 14．（4分）各项都是正数的等比数列{an}中，首项a1=2，前3项和为14，则a4+a5+a6值为 112 ． 考点： 等比数列的通项公式；等比数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 设出等比数列的公比，且各项都是正数，由首项a1=2，前3项和为14列式求出公比，则a4+a5+a6值可求． 解答： 解：设等比数列{an}的公比为q， 由a1=2，前3项和为14，得：所以q+q﹣6=0，解得：q=﹣3或q=2． 因为等比数列的各项都是正数，所以q=2． 则a4+a5+a6=． 2， 故答案为112． 点评： 本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，解答时注意公比是否有可能等于1，此题是基础题． 15．（4分）已知（x+）的展开式的各系数和为32，则展开式中x的系数为 10 ． 考点： 二项式系数的性质． 专题： 计算题；概率与统计． 分析： 先令x=1，求得n的值，进而可得展开式的通项，再令x的指数为1，即可求得结论． 解答： 解：令x=1，得展开式的各项系数和为2n=32，∴n=5 ∴展开式的通项为：Tr+1= 2
n
令10﹣3r=1，则r=3，∴展开式中x的系数为故答案为：10．
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点评： 本题考查二项式系数的性质，考查展开式的通项，考查计算能力，属于基础题． 16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，其内切圆切AC边于D点，O为圆心．若﹣3 ．
，则
=
考点： 平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用． 专题： 平面向量及应用． 分析： 以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用条件以及圆的切线性质求得A、B、C、O的坐标，再利用两个向量的数量积公式求得 的值． 解答： 解：以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则C（0，0）、O（1，1）、A（3，0）． 设直角三角形内切圆与AB边交与点E，与CB边交于点F，则由圆的切线性质性质可得BE=BF，设BE=BF=m， 22222则有勾股定理可得CB+CA=AB，即 （x+1）+9=（x+2），解得 x=3，故B（0，4）． ∴=（1，﹣3）（﹣3，0）=﹣3﹣0=﹣3， 故答案为﹣3． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，圆的切线性质，属于中档题． 17．（4分）已知抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点，若
，则k的值 ± ．
2
考点： 直线与圆锥曲线的关系． 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 设A（x0，y0），由抛物线定义得|AF|=，根据斜率公式由两点间距离公式把出来并进行适当变形，即可求得答案． 解答： 解：设A（x0，y0），则M（﹣，0）， 由抛物线定义得，|AF|=因为，所以， =， 表示 9页
两边平方并化简得，即=， 所以k==， 故答案为：． 点评： 本题考查直线斜率公式、两点间距离公式抛物线定义等基础知识，属中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（14分）（2012•杭州一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．
（1）求A；
（2）若a=3，sin=，求b．
考点： 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 计算题． 分析： （1）由已知利用两角和的余弦公式展开整理，cos（B+C）=﹣．可求B+C，进而可求A （2）由sin，可求cos=，代入sinB=2sincos可求B，然后由正弦定理，可求b 解答： 解：（1）由2cos（B﹣C）=4sinBsinC﹣1 得， 2（cosBcosC+sinBsinC）﹣4sinBsinC=﹣1，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1． 从而2cos（B+C）=﹣1，得cos（B+C）=﹣． …4分 ∵0＜B+C＜π ∴B+C=，故A=． …6分 （2）由题意可得，0＜B＜π ∴由sin， ，得cos=， ． …10分 ，∴， ∴sinB=2sincos=由正弦定理可得解得b=． …12分． 点评： 本题主要考查了两角和三角公式的应用，由余弦值求解角，同角基本关系、二倍角公式、正弦定理的应用等公式综合应用．
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19．（14分）一个口袋中有红球3个，白球4个． （Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求恰好第2次中奖的概率； （Ⅱ）从中有放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X的数学期望E（X）． 考点： 离散型随机变量的期望与方差；超几何分布的应用． 专题： 概率与统计． 分析： （Ⅰ）恰好第2次中奖的情况是第一次摸到的2个白球，第二次至少有1个红球，由此能求出恰好第2次中奖的概率P． （Ⅱ）由条件知X～B（4，p），算出摸一次中奖的概率p，由此能求出X的分布列和EX． 解答： 解：（I）“恰好第2次中奖“即为“第一次摸到的2个白球，第二次至少有1个红球”， 其概率为=； （II）摸一次中奖的概率为p=由条件知X～B（4，p）， ∴EX=np=4×=． =， 点评： 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用． 20．（14分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=1，AB=2，CD=3，E、F分别为线段CD、AB上的点，且EF∥AD．将梯形沿EF折起，使得平面ADEF⊥平面BCEF，折后BD与平面ADEF所成角正切值为
．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE； （Ⅱ）求平面BCEF与平面ABD所成二面角（锐角）的大小．
考点： 直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： （Ⅰ）设DE=a，则BE=，易得tan∠DBE==，可解得a=1，可得F为AB的中点，可得BC⊥BE，BC⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）取BC中点可证∠DME即平面BCEF与平面ABD所成的二面角，在三角形中可得角的大小． 解答： 证明：（Ⅰ）∵DE⊥EF，平面ADEF⊥平面BCEF，∴DE⊥平面BCEF，
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∴∠DBE是BD与平面ADEF所成的角，∴tan∠DBE=设DE=a，则BE=，由tan∠DBE=， ==，可解得a=1， ∴F为AB的中点，可得BC⊥BE，又DE⊥平面BCEF，可得BC⊥DE， 又BE∩DE=E，∴BC⊥平面BDE； （Ⅱ）取BC中点M，连接MB、MD，易知MB∥AD，∴平面ABMD即平面ABD， ∵DE⊥平面BCEF，∴DE⊥MB，∴MB⊥平面CDE，可得DM⊥BM， 又MB⊥EC，∴∠DME即平面BCEF与平面ABD所成的二面角， 由DE=EM=1可得∠DME=45° 故平面BCEF与平面ABD所成二面角为45° 点评： 本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的求解，属中档题． 21．（15分）已知圆O：
，直线l：y=kx+m与椭圆C：
相交于P、Q两点，O为原点．
（Ⅰ）若直线l过椭圆C的左焦点，且与圆O交于A、B两点，且∠AOB=60°，求直线l的方程； （Ⅱ）如图，若△POQ重心恰好在圆上，求m的取值范围．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）利用圆心O到直线l的距离d==即可求得k，从而可得直线l的方程； （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得：（1+2k）x+4kmx+2m﹣2=0，利用韦达定理222可求得x1+x2=﹣
，又△POQ重心恰好在圆x+y=上，可求得2212页
+=4，化简可求得m=2，△＞0⇒1+2k＞m，二者联立即22可求得m的范围． 解答： 解：（Ⅰ）左焦点坐标为F（﹣1，0），设直线l的方程为y=k（x+1），由∠AOB=60°得，圆心O到直线l的距离d=， 又d=， ∴=，解得k=±． ∴直线l的方程为y=±（x+1）． （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得：（1+2k）x+4kmx+2m﹣2=0． 222由△＞0得：1+2k＞m…（⊕），且x1+x2=﹣∵△POQ重心恰好在圆x+y=上， ∴即++=4， 2222． =4，即（1+k）2+4km（x1+x2）+4m=4． 2∴﹣+4m=4，化简得：m=22，代入（⊕）式得：k≠0， 又m=2=1+=1+． ∵k≠0， 2∴m＞1， ∴m＞1或m＜﹣1． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查点到直线间的距离公式，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与逻辑思维与运算能力，属于难题． 22．（15分）已知
．
x
（Ⅰ）判断曲线y=f（x）在x=0的切线能否与曲线y=e相切？并说明理由； （Ⅱ）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值； （Ⅲ）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求证：
．
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考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 压轴题；导数的综合应用． x分析： （Ⅰ）求出曲线y=f（x）在x=0的切线方程，假设切线与曲线y=e相切，设出切点，由斜率相等及切点在切线上联立推出矛盾； （Ⅱ）求出函数f（x）的导函数，由导函数的零点对定义域分段，利用函数的单调性求出函数在[a，2a]上的最大值； （Ⅲ）由（Ⅱ）知函数f（x）先增后减，有最大值，若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），则最大值大于0，又f（a）＞0且a＜alna，所以得到x2﹣x1＞alna﹣a，把x1，x2代入原函数得到作比后利用放缩可证得要求证的不等式． 解答： （Ⅰ）解：由=﹣1． ∴曲线y=f（x）在x=0的切线l的方程为． ，得：，则，f（0），，若l与曲线y=e相切，设切点为（x0，y0），则x①． 由a＞0，得：0＜由①得，∴x0＜0， ．与x0＜0矛盾． x∴曲线y=f（x）在x=0的切线不能与曲线y=e相切． （Ⅱ）解：令f（x）=0，得′′′，即x=alna． 由f（x）＞0，得x＜alna，由f（x）＜0，得：x＞alna． ∴f（x）在（﹣∞，alna]上为增函数，在[alna，+∞）上为减函数． ∴当a＞alna，即a＜e时，f（x）max=f（a）=a﹣e． 2当a≤alna≤2a，即e≤a≤e时，f（x）max=f（alna）=alna﹣a． 当2a＜alna，即a＞e时，（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知f（x）max=f（alna）=alna﹣a． ∵f（x1）=f（x2）=0，∴f（x）max=f（alna）=alna﹣a＞0． ∴lna＞1，得：a＞e，∴f（a）=a﹣e＞0，且f（alna）＞0． 得x2﹣x1＞alna﹣a，又，， 2． ∴． 14页
点评： 本题考查了利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，利用了分类讨论的数学思想，特别是（Ⅲ）的证明涉及到放缩法的思想，是该题的难点所在，此题属有一定难度问题．
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