浙江省浙大附中2012届高三数学上学期期中考试试题 理 新人教A版

2011学年第一学期期中考试高三数学（理）试卷

一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.

1．集合A0,2,a,B1,a2,若AB0,1,2,4,16,则a的值为 （ ▲ ）

A．0 B．1 C．2 D．4 2．下列命题中的真命题是 （ ▲ ）

22A．若ab,cd，则acbd B．若ab,则ab

C．若ab,则ab D．若ab,则ab

3．已知等差数列{an}中，a7a916,a41，则a12的值是 （ ▲ ）

A．15 B．30 C．31 D．64 4．“a1”是“函数f(x)ax22x1只有一个零点”的（ ▲ ）

A．充分必要条件 C．必要不充分条件

B．充分不必要条件 D．非充分必要条件

22225．已知向量a(2,1),ab10,|ab|52,则|b|= （ ▲）

A．5 B．10 C．5 D．25

6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若abc20，三角形面积为103，

A60，则a （ ▲ ）

A．7 B．8 C．5 D．6

7．不等式|x3||x1|a3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ▲ ）

A．1,4 C．(,1]B．(,2]2[5,)

[4,)

D．2,5

8．已知正数x、y满足（ ▲ ）

2xy01yx，则z4()的最小值为

2x3y5013112 C. D.

16432

29．已知函数f(x)在R上满足f(1x)2f(1x)x3x1，则曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 （ ▲ ）

A．xy20 B． xy0 C．3xy20 D．3xy20

A．1 B．110、已知函数f(x)lg(x1)有两个零点x1,x2，则有 （ ▲ ）

3第 1 页 共 7 页

x

A．

x1x21 B． x1x2x1x2 C．x1x2x1x2 D． x1x2x1x2

二、填空题：共7小题，每小题4分，共计28分.请把答案填写在答卷相应的位置上. ．．．．．．．．11．计算：(cos75sin75)(cos75sin75)= ▲ .

12．函数f(x)lg(xx)，则f(x)的单调递减区间是 ▲ ． 13．若对任意x＞0，

342x≤a恒成立，则a的取值范围是 ▲ 2x5x114．如右图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15.BDC30,CD30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB= ▲ 米. 15．已知an2n1， 则10a19a28a33a82a9a10 ▲ 16．设O为ABC的外心，且3OA4OB5OC0，则ABC的内角C的值为 ▲ 17．设函数f(x)x32ex2mxlnx，记g(x)f(x)，若函数g(x)至少存在一个零点，则x实数m的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：共5小题，共计72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明或演算步骤.

18．（本题满分14分）已知f(x)23sinxsin2x. sinx（1）求f(x)的周期，并求x0,时的单调增区间. （2）在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C所对的边，若A的最大值. 19

．（

本

题

满

分

14

分

）

集

合

，且a3，求ABAC3Ax2x11x3，

Byyasin,π,π,a0且a为常数.

62（1）求集合A和B；

（2）若AB，求a的取值范围.

第 2 页 共 7 页

20．（本题满分14分）已知函数f(x)x44x3ax21在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减。 （1）求a的值；

（2）若斜率为24的直线是曲线yf(x)的切线，求此直线方程；

（3）是否存在实数b，使得函数g(x)bx21的图象与函数f(x)的图象恰有2个不同交点？若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由.

21．（本题满分15分）已知数列{bn}满足bn1bn1217，且b1，Tn为{bn}的前n项和. 42（1）求证：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式； （2）如果对于任意nN*，不等式

第 3 页 共 7 页

1212k2n7恒成立，求实数k的取值范围.

12n2Tn

22．（本题满分15分）已知函数g(x)1lnx在[1，＋∞）上为增函数，且0,，

xsinm1lnx，m∈R． x（1）求θ的值；

（2）若f(x)g(x)在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围； f(x)mx（3）设h(x)2e，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f(x0)g(x0)h(x0)成立，求mx的取值范围．

2011学年第一学期期中考试 数学答案

一、选择题： 1 D 2 D 3 A 4 B 5 C 6 A 7 A 8 C 9 A 10 B 二、填空题： 11. 1113 12.[,) 13 [,) 14 156

227215 2036 16.三、解答题：

1 17.(,e2]

e418．解：（Ⅰ）fx23sinx2cosx4sin(x6)………………2分

当x62k2kZ时，f(x)取得最大值为4

fx的最大值为4，x 的取值集合为x|x2k,kZ……4分

3第 4 页 共 7 页

（Ⅱ） 由acasinCasinB得，c=，同理可得b= sinAsinCsinAsinAa2sinBsinC2cosA2sinBsin(B) ∴ABAC=cbcosAsin2A33sinBcosBsin2B当B311sin2B(1cos2B)sin(2B) 22263212分

3ABAC最大为时，19.解：（1）Axx3或x4 By1aya 2（2）a0,4

20.解：（1）由已知得，f(x)4x312x22ax，f(1)0，a4。

32 （2）f(x)24，即x3x2x60，(x3)(x22)0，

3，8） 切点为（，此切线方程为：y824(x3)，即y24x64。

（3）令h(x)f(x)g(x)，则h(x)x44x3(4b)x2x2(x24x4b)

由h(x)0得：x0,或x24x4b0.--------（*）

(4)24(4b)4b，

当0,即b0时，（*）无实根，f(x)与g(x)的图象只有1个交点； 当0,即b0时，（*）的实数解为x=2, f(x)与g (x)的图象有2个交点； 当0,即b0时，若x=0是（*）的根，则b=4,方程的另一根为x=4,此时，f(x)与g(x)的图象有2个交点；当b0且b4时，f(x)与g(x)的图象有3个不同交点。 综上，存在实数b=0或4，使函数f(x)与g(x)的图象恰有2个不同交点。

11111bn，所以bn1(bn) 24222111则{bn}成等比数列,首项为b13，公比为…………2分

22211n11n11所以bn3()，bn3()…………4分

22221n11 （2）因为bn3()

22*21．解：（1）对任意nN,都有bn1第 5 页 共 7 页

1)n111n2n6(11)n…………7分 所以Tn3(12...n1)n12222222122n712k*因为不等式对任意nN恒成2n7，化简得kn2(12n2Tn)3(1立 ……………8分

2n72(n1)72n792nccn1 ，则n1n2n2n12n2当n5,cn1cn,{cn}为单调递减数列，

当1n5,cn1cn,{cn}为单调递增数列 …………11分 133c4c5,所以, n5时, cn取得最大值…………13分 1632322n73*knN所以, 要使k对任意恒成立，…………14分

2n32设cn22.解：（1）由题意，g(x)1分

∵θ∈（0，π），∴sin0．故sinx1≥0在1,上恒成立，…………………2分

只须sin11≥0，即sin≥1，只有sin1．结合θ∈（0，π），得4分

1sinx1≥0在上恒成立，即………1,≥0．sinx2xsinx21π．……2mmx22xm（2）由（1），得f(x)g(x)mx2lnx．f(x)g(x)．…………5xx2分

∵f(x)g(x)在其定义域内为单调函数， ∴mx22xm≥0或者mx22xm≤0在[1，＋∞）恒成立．………………………6分

2xmx22xm≥0 等价于m(1x2)≥2x，即m≥，

1x2 而

2x22，（）max=1，∴m≥1． …………………………………………

1x21x1xxx8分

mx22xm≤0等价于m(1x2)≤2x，即m≤2x在[1，＋∞）恒成立， 1x2而

2x∈（0，1]，m≤0． x21………………………………………………1,．

综上，m的取值范围是,010分

（3）构造F(x)f(x)g(x)h(x)，F(x)mx第 6 页 共 7 页

m2e2lnx． xx

当m≤0时，x[1,e]，mx一

个

x0m2e≤0，2lnx<0，所以在[1，e]上不存在xx使

得

f(0x)0g(成x)h(立． ………………………………………………………12分

m22emx22xm2e当m0时，(F(x))'m22．…………………………14分

xxxx2因为x[1,e]，所以2e2x≥0，mx2m0，所以(F(x))'0在x[1,e]恒成立．

故F(x)在[1,e]上单调递增，F(x)maxF(e)me解得mmm 4，只要me40，

ee4ee21

4e,)．…………………………16分 2e1故m的取值范围是(

第 7 页 共 7 页