三角函数

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

中文名：三角函数公式

外文名：Formulas of trigonometric functions 应用学科：数学、物理、地理、天文等

适用领域范围：几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等

目录

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1 定义式

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2 函数关系

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3 诱导公式

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4 基本公式

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4.1 和差角公式

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4.2 和差化积公式

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4.3 积化和差公式

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4.4 倍角公式

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4.5 半角公式

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4.6 万能公式

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4.7 辅助角公式

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5 其他公式

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5.1 正弦定理

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5.2 余弦定理

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5.3 降幂公式

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5.4 三角和

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5.5 幂级数

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5.6 泰勒展开式

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5.7 傅里叶级数

定义式

锐角三角函数 任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切 （tan或tg） 余切（cot或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典[1] ． 函数关系

倒数关系：①

；②

；③

商数关系：① 平方关系：① ③

．

；②

；②

．

；

常用角度三角函数

sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3

sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4

cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin（45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出）

sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半) 正

诱导公式

公式一：

设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

公式二：

设 为任意角， 与 的三角函数值之间的关系：

公式三：

任意角 与 的三角函数值之间的关系：

公式四：

与 的三角函数值之间的关系：

公式五：

与 的三角函数值之间的关系：

公式六：

及 与 的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2] ．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：

k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：

记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．

以诱导公式二为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．

以诱导公式四为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．

诱导公式的应用：

运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：

特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

基本公式

和差角公式

二角和差公式

证明如图：负号的情况只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，过程与tan(α+β)相同．

证明正切的和差角公式

证明正弦、余弦的和差角公式

三角和公式

和差化积公式

口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．

积化和差公式

倍角公式

二倍角公式

三倍角公式

证明：

sin3a =sin(a+2a)

=sin^2a·cosa+cos^2a·sina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a)

=cos^2acosa-sin^2asina

=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a

=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a)

=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a

=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得：

tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)

四倍角公式

sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sin^2a-1)] cos4a=1+(-8*cos^2a+8*cos^4a)

tan4a=(4*tana-4*tan^3a)/(1-6*tan^2a+tan^4a)

五倍角公式

n倍角公式

应用欧拉公式： .

上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：

所以

其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而

所以

n倍角的三角函数

半角公式

（正负由 所在的象限决定）

万能公式

辅助角公式

．

证明：

由于 ，显然 ，且

故有：

其他公式

正弦定理

详见词条：正弦定理

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则有[3] ：

正弦定理变形可得：

余弦定理

详见词条：余弦定理

余弦定理

对于如图所示的边长为a、b、c而相应角为α、β、γ的△ABC，有：

也可表示为：

降幂公式

sin²α=[1-cos(2α)]/2

cos²α=[1+cos(2α)]/2

tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数， 这种级数称为幂级数。

泰勒展开式

泰勒展开式又叫幂级数展开法

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+…

实用幂级数：

ex= 1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+…,x∈R ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1) sin x = x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R cos x = 1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…, x∈R arcsin x = x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) +

(1*3*5)x7/(2*4*6*7)…+(2k+1)!!*x2k+1/(2k!!*(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表示双阶乘）[4]

arccos x = π/2 -[x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7)……], x∈(-1,1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 -…, x∈(-∞,1)

sinh x = x+x3/3!+x^/5!+…+x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R cosh x = 1+x2/2!+x^4/4!+…+x2k/(2k)!+…, x∈R

arcsinh x =x - x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) -(1*3*5)x7/(2*4*6*7)…, x∈(-1,1)

arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + …, x∈(-1,1)

在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

傅里叶级数

傅里叶级数

傅里叶级数又称三角级数

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx