自主学习导引
真题感悟
1．(2012 ·重庆 ) 设 x、y∈ R，向量 a＝ ( x, 1) ，b＝ (1 ，y) ，c＝ (2 ，－ 4) ，且 a⊥c，b∥c， 则 | a＋b| ＝
A. 5B. 10
C．2 5D． 10
分析 利用平面向量共线和垂直的条件求解．
∵ a＝ ( x, 1) ， b＝ (1 ， y) ， c＝ (2 ，－ 4) ，
由 a⊥ c 得 a·c＝ 0，即 2x－ 4＝ 0，∴ x＝ 2.
由 b∥ c，得 1×( － 4) －2y＝ 0，∴ y＝－ 2.
∴a＋ b＝ (3 ，－ 1) ，∴ | a＋ b| ＝ 32＋ －1
2
＝ 10.
答案 B
→ →
2．(2012 ·浙江 ) 在△ ABC中， M是 BC的中点， AM＝ 3， BC＝ 10，则 AB· AC＝ ________. 分析 利用向量数目积的运算求解． → → → →
如下图， AB＝ AM＋ MB，AC → → → →
＝AM＋ MC＝ AM－MB，
→ → → → → ∴ · ＝ ( ＋ ) ·( －
→ →2 → 2
－ ) ＝
→ 2 → 2
＝| AM| －| MB| ＝9－ 25＝－ 16. － 16
AB AC AM MB AM MB AM MB
答案
考题剖析
最近几年的新课标高考，对于平面向量的考察主假如向量的模、夹角的运算以及平行、垂直的判断及应用，要点考察的是平面向量数目积的运算与应用，考察形式多样，且常与其余数学知识交汇命题
网络建立
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高频考点打破
考点一：向量的相关运算问题
【例 1】(1)(2012 ·聊城模拟 ) 如图，在平行四边形
ABCD中， O是对角
线
线段 OD的中点， AN的延伸线与 CD交于点 E，则以下说法错误的选项是
→ → → → → →
A. AC＝ AB＋ ADB. BD＝ AD－AB
→ 1→
1→
→
5→
→
C.AO＝ 2AB＋ 2ADD. AE＝ 3AB＋ AD
→ → →
(2)(2012 ·天水模拟 ) 已知 O为△ ABC内一点， 且 OA＋ OC＋ 2OB＝ 0，则△积比值是
1
1 2
A. 2 B. 3 C. 3 D． 1 [ 审题导引 ](1) 利用平面向量的加减法及平面向量基本定理逐个判断； (2) 把所求面积的比转变为线段的比值．
→ → → → [ 规范解答 ] 3 (1) 设 AE＝ λAN＝ λ( AB＋ BN)
＝ →
＋ → ＝ → ＋3 → ＋ 3 → ， λAB 4λBD
λ(
→ － →)＝1 4λAB 4λAD
→ λAB
4AD AB
→
又设 DE＝ μDC，
→
∴ →＝ → ＋ →＝→＋ → ＝ ＋ →
AE AD DE AD 1
μ DC AD
4 μAB
故 43
λ＝ μ
，∴
λ＝ 3
.
λ＝ 1
μ＝ 1
4
3
∴ →＝ 1→
→
＋ . 应选 D.
(2)AE
如下图，3AB
AD
设 AC的中点为 M， → → →
则OA＋ OC＝ 2OM，
→ → →
又→OA＋ OC
＋ 2OB＝ 0， →∴OM＝－ OB，
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AC、BD的交
N是
点，
AOC与△ ABC的面
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即 O是 BM的中点，
1
故△ AOC的底边 AC上的高是△ ABC底边 AC上高的 2，
1
∴△ AOC与△ ABC的面积比值是 2. [ 答案 ](1)D(2)A 【规律总结】
平面向量运算中的易错点
平面向量的线性运算包含向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这种问题时，常常出现的错误有：忽略向量的终点与起点，致使加法与减法混杂；错用数乘公式．对此，要注意三角形法例和平行四边形法例合用的条件，运用平行四边形法例时两个向量的起点一定重合；运用三角形法例时两个向量一定首尾相接，不然就要把向量进行平移，使之切合条件． 【变式训练】
→→→→→ ) 在△ ABC中，点 P是 BC上的点 . BP＝ 2PC， AP＝ λAB＋ μAC，1．(2012 ·密云一模 则
A．λ＝ 2，μ＝ 1 B ． λ＝ 1， μ＝ 2
1
2 2 1
C．λ＝ 3，μ＝ 3D． λ＝ 3， μ ＝3 分析 如图，
→ → → →
2
→
1→ 2→
1
2
AP＝ AB＋ BP＝ AB＋ 3BC
→2→→
＝AB＋ 3( AC－AB) ＝ 3AB＋ 3AC，∴ λ＝ 3， μ＝3. 答案 C
考点二：平面向量的数目积及应用
【例 2】(1)(2012 ·三明模拟 ) 在边长为 ＝ ________.
→→→→→→
ABC中，若BC＝ 2BD，CA＝ 3CE，则 1 的正三角形 AD·BE (2)(2012 ·海淀一模 ) 已知向量 a＝ (1 ，x) ， b＝ ( － 1， x) ，若 2a－ b 与 b 垂直，则 | a| ＝
A. 2B. 3 C．2 D ．4
→→→→→
(1) 向量 AD与 BE用 AB， BC或 AC表示计算其数目[ 审题导引 ] 积； (2) 利用 (2 a－ b) ⊥ b，求出 x，而后计算 | a|. [ 规范解答 ]
→ →
12
→→→→ → → (1) AD·BE＝ ( AB＋ BD) ·(AE－AB) → →
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＝ AB＋ 2BC 3AC－ AB
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2→→→ 2
1→ → 1→ →
1 2
＝ ×1×1× － 1＋ ×1×1× － ×1×1× － ＝－ .
＝ 3AB· AC－ | AB| ＋ 3BC· AC－ 2BC· AB 2 1 1 1 1 3
2
3
2 2
1 4
(2)(2 a－ b) · b＝ (3 ， x) ·( － 1，x) ＝ x2－ 3＝ 0， ∴x＝±
3，∴ | a| ＝2.
1
(1) －4 (2)C [ 答案]
【规律总结】 [ 易错提示 ]
因为两向量的数目积与它们的模和夹角相关，所以数目积是解决长度、夹角
π－ B，这一点不要犯错．
( 尤 其是垂直 ) 等问题的重要工具．注意在△ 量与的夹角为角 A，而与的夹角为 【变式训练】
ABC中，向量的夹角与△ ABC的内角之间的关系，向
2．(2012 ·皖南八校联考 ) 设向量
3
a、 b 知足： | a| ＝ 2，a·b＝ ， | a＋b| ＝ 2 2，则 | b|
2
等于
A. B． 1
1 3
2
C. 2D． 2
分析
答案
B
| a＋b| 2＝ ( a＋ b) 2＝| a| 2＋ 2a· b＋| b| 2＝ 4＋ 3＋ | b| 2＝ 8，∴ | b| ＝ 1.
3．(2012 ·厦门模拟 ) 已知平面向量 a、 b 知足 a·(a＋ b) ＝ 3，且 | a| ＝ 2， | b| ＝ 1，则向 量 a 与 b 的夹角为
π π 2π 5π A.6B. 3C. 3 D. 6 分析
2
a·(a＋ b) ＝ | a| ＋a· b＝ 4＋a· b＝ 3，
a· b
| ||
∴cos 〈 a，b〉＝
∴〈 a， b〉＝
2π
3
a
| 2×1 b
＝
－1
＝－ ，
2
1
.
答案 C
考点三：平面向量的综合应用性问题
xπ 3 3 【例 3】已知向量 a＝ cos x ， sin x ， b＝ cos ，－ sin x ，且 x∈ 0， ，求：
2 2 2 2 2
(1) a· b 及 | a＋b| ；
3
(2) 若 f ( x) ＝a· b－ 2λ| a＋ b| 的最小值是－ 2，求 λ 的值． [ 审题导引 ]
应用向量的数目积公式和模的公式，可得
f ( x) 的表达式，再运用三角函数知识
化简 f ( x) ，依据 f ( x) 的表达式求出 λ的值．
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3x x 3x x 2
[ 规范解答 ] (1) a· b＝cos ＝ cos 2 x，
2 cos 2－ sin 2 sin
x 2
3x 3x x 2
2
| a＋ b| ＝
cos
23x
2 ＋ cos 2 ＋ sin 2 － sin 23
x
2
x
2
x
3x x 3x x
2
＝
cos π
2 ＋ sin 2 ＋ cos 2＋ sin 2 ＋ 2 cos 2 cos 2－ sin 2 sin
＝ 2＋ 2cos 2 x＝ 2 cos 2x，
∵ x∈ 0， 2 ，∴ 0≤cos x≤1，∴ | a＋ b| ＝ 2cos x. (2) f ( x) ＝ a· b－ 2λ| a＋b| ＝ cos 2 x－ 2λ·2cos ＝ 2(cos x－λ ) 2－ 1－ 2λ2，
x
当 λ ＜ 0 时，当且仅当 cos x＝0 时， f ( x) 获得最小值－ 1，这与已知矛盾；当 0≤ λ≤1时，当且仅当 cos x＝ λ 时， f ( x) 获得最小值－ 1－ 2λ2，
3 1 2 由已知，得－ 1－ 2λ ＝－ 2，解得 λ＝ 2；
当 λ ＞ 1 时，当且仅当 cos x＝1 时， f ( x) 获得最小值 1－4λ，
3 5 由已知，得 1－ 4λ ＝－ 2，解得 λ＝ 8，与 λ＞ 1 矛盾．
1 综上所述， λ＝ 2.
【规律总结】
平面向量综合应用的技巧
[ 例 3] 表现了函数问题向量化、向量问题函数化的等价转变思想，此中，模的平方与向量数目 积之间的关系 | a| ＝ a· a＝ x＋ y 和 a＝ ( x， y) 是实现向量与实数互化的依照和桥梁，也是
222
重要的转变方法．在近几年的高考取，常常以解答题的形式考察上边所说的这种转变，且常有于以三角函数为背景的中易档解答题中．
【变式训练】
4．(2012 ·青岛二模 ) 已知向量
m
＝ (sin
x
， 3sin
x ) ， ＝(sin
n
x
，－ cos
x
) ，设函数 f ( x) ＝m· n，若函数 g( x) 的图象与 f ( x) 的图象对于坐标原点对称．
(1) 求函数 ( )在区间 － ，
g x
4
π π
上的最大值，并求出此时
6
x
的值；
(2) 在△ ABC中， a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C的对边， A 为锐角，若 f ( A) － g( A) ＝ ， b＋ c
3 2
＝ 7，△ ABC的面积为 分析 (1)
＝
2 3，求边 a 的长．
由题意得： f ( x) ＝ sin 2x－ 3sin xcos x
－
1－ cos 2 x
2
3
sin 2
x＝ －sin 2x＋
1 2 1
所以 g( x) ＝－ － sin
2x－
2 π 6
π ， 6
，
2
π π
π
2π π
因为 x∈ － 4 ， 6 ，所以 2x－ 6 ∈ － 3 ， 6 ，
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π π
π
所以当 2x－ 6 ＝－ 2 ，即 x＝－ 6 时， π π 1
函数 ( )在区间 － ， 上的最大值为 .
g x
4 6 2 3 (2) 由 f ( A) －g( A) ＝ 2，
π
1
π 3
得 1－ sin 2A＋ 6 ＋ sin 2A－ 6 ＝ 2，
化简得： cos 2 A＝－ 2. π
1
π
又因为 0＜ A＜ 2 ，解得： A＝ 3 ，
由题意知： S△ ABC＝ 2bcsin A＝ 2 3，解得 bc＝ 8， 又 b＋ c＝ 7，所以 a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A
＝ ( b＋ c) － 2bc(1 ＋ cos A) ＝ 49－2×8× 1＋ ＝
25， 2
2
1
故所求边 a 的长为 5. 名师押题高考
→ → →→ → ABC中， AB＝ 1，CP＝ CA＋ 3CB，则 CP·AB＝ ________. 【押题 1】在正三角形 7 → →→→→→→
·＝(7 ＋ 3) · ＝7· → ＋3→ · 分析
CP AB CA CB AB CA AB CB AB
＝7×1×1×cos 120 °＋ 3×1×1×cos 60 °＝－ 2.
[ 押题依照 ] 本题主要考察平面向量的线性运算及数目积运算，属中等偏易题．每年高考大部分状况下都会波及此类题目，有时还会与正、余弦定理交汇命题，所以在备考取掌握其基础
知识，能娴熟运算即可．
【押题 2】在△ ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c. 已知向量 m＝ ( b，a－ 2c) ，n＝ (cos
A－ 2cos C， cos B) ，且 m⊥ n.
sin C
(1) 求 sin A的值；
(2) 若 a＝ 2，| m| ＝ 3 5，求△ ABC的面积 S. 分析 (1) 解法一
由 ⊥ ，得 (cos
m n
b A
－2cos
C
) ＋ ( － 2 )cos
a
c
B
＝ 0.
依据正弦定理，得 sin Bcos A－ 2sin Bcos C＋ sin Acos B－ 2sin Ccos B＝ 0.
所以 (sin cos ＋ sin cos ) － 2(sin cos ＋ sin cos ) ＝ 0，即 sin( ＋ ) － 2sin(
BA
A B
B C
CB
A B
B ＋ C) ＝0.
2
2
2
2
－b
2
sin C
因为 A＋ B＋C＝π，所以 sin C－ 2sin A＝ 0. 即 sin A＝ 2. 解法二 由 m⊥ n 得， b(cos A－ 2cos C) ＋( a－ 2c)cos B ＝0.
2
2
2
2
2
2
2
依据余弦定理，得
a b ＋ c － a ＋ × a ＋ c － b － 2 × a ＋ b －c － 2 × ＋ c ×
c b a b
2bc 2ac 2ab 2ac
sin C c
＝ 0.
即 c－ 2a＝ 0. 所以 sin A＝ a＝ 2.
(2) 因为 a＝2，由 (1) 知， c＝ 2a＝ 4.
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因为 | m| ＝ 3 5，即 b2＋ a－2c 解得 ＝3.
b
2
＝ 3 5，
2
2
2
3 ＋ 4 － 2
7
8所以 cos A＝ 2×3×4 ＝ 所以 sin
.
＝ 15 .
A
8
1
1 15
所以△ ABC的面积 S＝2bcsin A＝ 2×3×4× 8 3 ＝ 4 15. [ 押题依照 ]
向量的垂直、平行是向量的要点内容，而向量与三角恒等变换，三角函数的性
质，正、余弦定理综合的题目是高考的一类热门题型．本题主要考察了向量垂直的充要条件、
向量的模以及正、余弦定理的综合应用，难度中等，切合高考的要求，故押本题．
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