不等式的证明和应用
知识定位 不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
知识梳理 1. 不等式三个基本性质：
① 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 ② 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 ③ 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成
的一元一次不等式组的解集。 设a>b,不等式组
xa的解集是x>a xbxb的解集是 b A＞B． 商值比较法：原理 若 3.不等式的应用： >1，且B>0，则A>B。 1 （1）几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理 ① 三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 ② 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。 ③ 在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。 直角三角形中，斜边大于任一直角边。 ④ 有两组边对应相等的两个三角形中 如果这两边的夹角大，那么第三边也大； 如果第三边大，那么它所对的角也大。 ⑤ 任意多边形的每一边都小于其他各边的和 （2） 不等式(组)的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值，列不等式(组)解应用题． 其中，不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤是： （1）弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数； （2）找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系； （3）列出不等式(组)； （4）解这个不等式(组)，求出解集并作答． 例题精讲 【试题来源】 【题目】已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列． 【答案】x＜xy2＜xy． 【解析】分析 用作差法比较大小，即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b． 解 因为x-xy=x(1-y)，并且x＜0，-1＜y＜0，所以x(1-y)＜0，则x＜xy． 因为xy2-xy=xy(y-1)＜0，所以xy2＜xy． 因为x-xy2=x(1+y)(1-y)＜0，所以x＜xy2． 综上有x＜xy2＜xy． 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】若 1 试比较A，B的大小． 【答案】A＞B 【解析】 显然，2x＞y，y＞0，所以2x-y＞0，所以A-B＞0，A＞B． 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】若正数a，b，c满足不等式组 试确定a，b，c的大小关系． 【答案】b＜c＜a 【解析】 解①+c得 ②+a得 ③+b得 由④，⑤得 1 所以 c＜a． 同理，由④，⑥得b＜c． 所以a，b，c的大小关系为b＜c＜a． 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】当k取何值时，关于x的方程 3(x+1)=5-kx 分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解． 【答案】k≥-1或k＜-3． 【解析】解 将原方程变形为(3+k)x=2． (1)当 3+k＞0，即 k＞-3时，方程有正数解． (2)当3+k＜0，即k＜-3时，方程有负数解． (3)当方程解不大于1时，有 所以1+k，3+k应同号，即 得解为 k≥-1或k＜-3． 注意 由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【试题来源】 1 【题目】已知 求｜x-1｜-｜x+3｜的最大值和最小值． 3【答案】最大值是4，最小值是【解析】 311 ｜x-1｜-｜x+3｜ 达到最大值4．结合x＜-3时的情形，得到：在已 说明 对含有绝对值符号的问题，无法统一处理．一般情况下，是将实数轴分 成几个区间，分别进行讨论，即可脱去绝对值符号． 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】已知x，y，z为非负实数，且满足 x+y+z=30，3x+y-z=50． 求u=5x+4y+2z的最大值和最小值． 【答案】最大值130；最小值120 【解析】解 将已知的两个等式联立成方程组 1 所以①+②得 4x+2y=80，y=40-2x． 将y=40-2x代入①可解得 z=x-10． 因为y，z均为非负实数，所以 解得 10≤x≤20． 于是 u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10) =-x+140． 当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大．故当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120． 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程 (a-2b)x=1，(b-3c)x=1， (c-4d)x=1，x+100=d 的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？ 【答案】2433 【解析】解 由已知(a-2b)x=1，且根x＞0，所以a-2b＞0，又因为a，b均为整数，所以a-2b也为整数，所以 a-2b≥1，即a≥2b+1． 同理可得，b≥3c+1，c≥4d+1，d≥101．所以 a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3 ≥6(4d+1)+3=24d+9 ≥24×101+9=2433， 故a可能取得的最小值为2433． 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 1 【试题来源】 【题目】设p，q均为自然数，且【答案】 【解析】解 由已知 ，当q最小时，求pq的值 所以 21q＜30p＜22q． 因为p，q都为自然数，所以当q分别等于1，2，3，4，5，6时，无适当的p值使21q＜30p＜22q成立．当q＝7时，147＜30p＜154，取p=5可使该不等式成立．所以q最小为7，此时p=5．于是 pq=5×7=35． 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证： b＜a． 【答案】证明见解析 【解析】分析与证明 要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证． 因为b＜c，所以2b＜b+c，所以由b+c＜a+1得2b＜a+1， 所以由1＜a得1+a＜2a，所以 2b＜1+a＜2a， 即b＜a成立． 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 1 【题目】若自然数x 又x≥3时， 也不成立，故x只能为2． 当x=2时， 令y=3，则z=6． 当 x=2，y≥4时， 不成立． 故本题只有一组解，即x=2，y=3，z=6． 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】某地区举办初中数学联赛，有A，B，C，D四所中学参加，选手中， A， B两校共16名；B，C两校共 20名； C， D两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数． 【答案】A校7人，B校9人，C校11人，D校23人 【解析】解 设A，B，C，D四校的选手人数分别为x，y，z，u．据题意有 1 由①，②可知，x+y＜y+z，所以x＜z．又由于人数的多少是按A，B，C，D四校的顺序选派的，所以有x＜y＜z＜u． 由①与x＜y得16-y=x＜y，所以y＞8．由②与y＜z得20-y=z＞y，所以y＜10．于是8＜y＜10，所以y=9(因为人数是整数)．将y=9代入①，②可知x=7，z=11，再由③有u=23． 故A校7人，B校9人，C校11人，D校23人． 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】x53yz7850，其中x5表示十位数是x，个位数是5的两位数，3yz表示百位数是3，十位数是y，个位数是z的三位数，试确定x，y，z。 【答案】x=2，y=1，z=4． 【解析】 注意到x只能取1，2，3，4，…，9这九个数字，所以x=2，所以 所以y=1，z=4． 所以x=2，y=1，z=4． 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【试题来源】1995年全国初中数学联赛题 1 【题目】设实数a,b满足不等式a(ab)＜aab，试决定a,b的符号。 【答案】a<0, b>0 【解析】解：∵不等式两边都是非负数，∴两边平方不等号方向不变 两边平方得，a2－2a(a+b)+(a+b)2 两边除以a得，a+b> aaba 显然不等式要成立，只有 a1， 故a<0 a由此得a+b>－ab， 显然只有a+b>0, 又∵a<0, 故b>0 ∴a,b的符号是：a<0, b>0 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】已知：O是△ABC内的一点 求证： 1OAOBOC＜＜1 ABBCCA.2【答案】见解析 【解析】分析：本题实质是要证明2（OA＋OA＋OC）＞AB＋BC＋CA① 且OA＋OB＋OC＜AB＋BC＋CA② 证明：①∵OA＋OB＞AB A OB＋OC＞BC OC＋OA＞CA DO ∴2（OA＋OB＋OC）＞AB＋BC＋CA C②延长BO交AC于D， B∵AB＋AD＞OB＋OD， OD＋DC＞OC ∴AB＋AC＞OB＋OC，同理AB＋BC＞OA＋OC，BC＋CA＞OA＋OB 即2（AB＋BC＋CA）＞2（OA＋OB＋OC） 1 ∴ 1OAOBOC＜＜1 ABBCCA.2【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】求证直角三角形两条直角边的和，小于斜边与斜边上的高的和 【答案】见解析 【解析】已知：△ABC中，∠ACB＝Rt∠，CD⊥AB于D 求证：CA＋CB＜AB＋CD 证明：设CD＝h, a,b,c是∠A，∠B，∠C的对边 根据勾股定理，a2+b2=c2, ∴a2+b2＜c2＋h2 ① 根据三角形面积公式 11ab=ch ∴2ab＝2ch ② 22 ①＋②： （a+b）2<(c+h)2 C∵a+b>0, c+h>0 a∴a+b ccc∵c>0, a－c<0, c－b>0 (直角三角形中斜边大于任一直角边) ∴ (a+b)－(c+h)＜0 ∴ (a+b)＜(c+h) 再证明：学完四点共圆后，可证CA－CD＜AB－CB 在AB上截取BE＝BC，在AC上取CF＝CD， C两等腰△BCE和△CDF 顶角∠B=∠DCF F 1 ∴底角∠2＝∠1 2∴四边形CDEF是圆内接四边形 A E D B ∠EFA＝∠CDE＝Rt∠ ∴AF 【难度系数】3 【试题来源】1989年全国初中数学联赛题 【题目】已知：△ABC中，D，E分别在BC，AC上，∠B＝∠1＝∠2 如果△ABC，△ADC，△EBD的周长依次为m,n,p 求证： np5 m4【答案】见解析 【解析】证明：设BC＝a，AC＝b，AB＝c A ∵∠1＝∠2 ， ∴DE∥AC， 1 ∴△ABC∽△EBD∽△DAC E ∴ bDCAC，即DC＝ D ＝aACBC2B2Cb2a2b2BD＝BC－DC＝a－= aapBDa2b2nb∴ ， mBCa2ma55npba2b2bbb1∴－＋≤ 1244maaaaa2【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【试题来源】北京市竞赛题 【题目】今有浓度为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克? 【答案】甲种盐水最多取 2249克，最少取35克． x克，y克，z克，配成浓度为7%的 【解析】解：设甲、乙、丙盐水分别各取 1 盐水100克 其中0≤x≤60 ③， 0≤y≤60 ④， 0≤z≤47 ⑤， 由①②得 y=200-4x，z=3x-100， 于是由④有 0≤200-4x≤60， 解得 35≤x≤50， 由⑤有 0≤3x-100≤47， 所以综上，35≤x≤49． 答：甲种盐水最多取49克，最少取35克． 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】已知：正有理数a1是3的一个近似值，设a2=1+ 2 a11 求证 ：3介于a1和a2之间 【答案】见解析 【解析】提示：设3> a1 证3 a2312a33a13a13133= 1 a11a11a11① 假设a1 ； 则分母a1+1>0，分子 a1-<0，1-<0 ，所以 a2->0， ② 假设a1> a2<故 ； 则分母a1+1>0，分子 a1->0，1-<0 ，所以 a2-<0， 介于a1和a2之间 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 习题演练 【试题来源】 【题目】如果abc，并且xyz，那么四个代数式（1）axbycz；（2）axbzcy；（3）aybxcz；（4）azbxcy中哪一个最大？ 【答案】（1）最大 【解析】解: ,并且, , , , , , , (1) 得 , , (1) 得 , , 1 (3)得 , , 最大. 故最大. 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】商业大厦购进某种商品1000件，销售价定为购进价的125％．现计划节日期间按原定销售价让利10％，售出至多100件商品，而在销售淡季按原定销售价的60％大甩卖，为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季外要按原定价销售至少多少件商品? 【答案】435件 【解析】设购进价为a元，按原定价销售x件，节日让利销售y件，则淡季销售(1000－x－y)件． 依题意有 125％ax+125％(1—10％)ay+125％x60％a(1000－x-y)>1000a 即4x+3y>2000， ∵ y≤100， ∴ 4x>2000—3y≥1700， 又x是整数，∴x≥425． 所以，在节日和淡季外要按原定价销售至少435件商品才能赢利． 注：充分利用“赢利”这一不等关系，赢利即销售金颇大于成本，题目中并没有包含x、y的等量关系，但利用y≤100和不等式的传递性建立关于x的不等式，从而求出x的取值范围． 【知识点】不等式的证明和应用不等式的证明和应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】江苏省竞赛试题 1 【题目】货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10t，每只箱子的重量不超过1t，为保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3t的汽车? 【答案】5 【解析】设共需n辆汽车，它们运走的重量依次为a1，a2，…，an则 2≤ai≤3(I=1，2，…，n)，al＋a2＋…＋an=10 ∴2n≤10≤3n，解得 10n5． ∵ 车子数n应为整数，∴ n=4或5，但4辆车子不3够．例如有13只箱子，每只重量为10，而3×10＜3，4×10＞3，即每辆车子只能运走3 131313只箱子，4辆车子只能运走12只箱子，还剩一只箱子，故需5辆汽车． 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】已知：△ABC中，AB＝AC，D是三角形内的一点，∠ADB＞∠ADC 求证：∠DBC＞∠DCB 【答案】见解析 【解析】分析：为使已知条件∠ADB＞∠ADC集中在一起，把△ABD绕着点A旋转，使AB和AC 重合，即作△ABD的全等三角形ACE 证明：作∠CAE＝∠ABD，使AE＝AD，连结CE，DE 那么△ACE≌△ABD， A ∴CE＝BD，∠ACE＝∠ADB＞∠ADC ∵∠ADE＝∠AED， ∴∠DEC＞∠EDC， D E ∴DC＞CE，即DC＞BD ∴∠DBC＞∠DCB B C 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】1989年泉州市初二数学双基赛题 【题目】等边△ABC的边长为1，点P是三角形内一点 1 求证:1.5＜PA＋PB＋PC＜2 【答案】见解析 【解析】证明:设 , 下边证明即可证出 过P点作BC边的平行线EF,分别交AB、AC于E、F. 为等边三角形, , 又 在 中 为等边三角形 , , , , 即 , 即即 【知识点】不等式的证明和应用 1 得证. 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条 ab元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是( )． 2A．a>b B．a【解析】解：利润=总售价-总成本=×5-(3a+2b)=0.5b-0.5a，赔钱了说 明利润＜0 ∴0.5b-0.5a＜0， ∴a＞b 故选A. 【知识点】不等式的证明和应用 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 1 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容