专题11.3 二项式定理(讲)(解析版)

1.能用计数原理证明二项式定理；

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

知识点一 二项式定理

n1n1b＋…＋Cranrbr＋…＋Cnbn(n∈N*)； (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0na＋Cnannnrr

(2)通项公式：Tr＋1＝Crb，它表示第r＋1项； na

n1(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，Cn，…，Cn.

－

－

－

知识点二 二项式系数的性质

性质 对称性 性质描述 nk与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ckn＝Cn －增减性 二项式系数Ckn n＋1当k＜(n∈N*)时，是递增的 2n＋1当k＞(n∈N*)时，是递减的 2二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项当n为奇数时，中间的两项CCn2n取得最大值 n12n与Cn12n取得最大值 知识点三 各二项式系数和

0＋C1＋C2＋…＋Cn＝2n. (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Cnnnn

n24135

(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2

－1

.

【知识必备】(a＋b)n的展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，

次数由零逐项增1直到n.

n1n1(4)二项式的系数从C0n，Cn，一直到Cn，Cn.

－

考点一 通项公式及其应用

【典例1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2 )(1+x）4的展开式中x3的系数为( ) A．12 【答案】A

31【解析】由题意得x3的系数为C42C44812，故选A．

B．16 C．20 D．24

【举一反三】（浙江杭州高级中学2019届模拟） (1) (x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________.

a

(2)在(1－x)7＋x＋的展开式中，若x2的系数为19，则a＝________.

x

3

6

【答案】(1)40 (2)2

233233则x3y3

【解析】(1)由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x·C3C25(2x)(－y)＋y·5(2x)(－y)＝40xy，

的系数为40.

3aa7261(x)521216x＋(2)(1－x)＋的展开式中x的系数为C7(－x)6＋C6＝C67x＋C6xa，则aC6＋C7＝xx

3

6

1

19，解得a＝2.

【方法技巧】求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可.

【变式1】（安徽安庆一中2019届模拟） 12－2的展开式的常数项是( ) (1) (x＋1)

xA.5

B.－10 C.－32 D.－42

5

3110

的展开式中所有的有理项为________. (2)x－

32x

1

1＋2(1＋x)6的展开式中x2的系数为( ) (3) xA.15 B.20 C.30 D.35

456345－

【答案】(1)D (2)x2，－，x2 (3)C

4825611【解析】(1)由于－2的通项为Cr5·xx

5(－2)5＝－42. 数项是C1(－2)＋C55·

5

5－r

·(－2)r＝Cr(－2)r·x5·

r－52

1－2的展开式的常，故(x2＋1)·

x

5

1－(2)二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck10

2x

k10－2k

3

.

10－2k由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N.

3令

10－2k3

＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r， 32

∵k∈N，∴r应为偶数.

∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，

456345－

∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，－，x2.

48256

1144r2x2和·41＋2(1＋x)6展开式中含x2的项为1· (3)因为(1＋x)6的通项为Cr所以CCx，因为C26x，66＋C6＝xx2616×5621＋2C2＝2×＝30，所以6

x2(1＋x)展开式中x的系数为30. 2×1

考点二 二项式系数与各项的系数问题 【典例2】（浙江镇海中学2019届模拟）

(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.

【答案】(1)3 (2)1或－3

【解析】(1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，

即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3. (2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2

＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39， ∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3， ∴m＝－3或m＝1. 【方法技巧】

1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.

2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋f（1）＋f（－1）f（1）－f（－1）

a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

22

【变式2】（江苏扬州中学2019届模拟）

2

x3＋的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7的系数为( ) (1)已知xA.5

B.40 C.20 D.10

n

(2)若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为( ) A.29 B.29－1 【答案】(1)B (2)D

2

x3＋的展开式的各项系数和为243，令x＝1得3n＝243，即n＝5， 【解析】(1)由x

222r15－4r3)5－r·＝2r·x3＋＝x3＋，则Tr＋1＝Cr∴(xCx，令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中x75·5·xxx的系数为22×C25＝40.

(2)(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29

＝39，∴a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.

考点三 二项式系数的性质

n

5

r

n

C.39 D.39－1

3x＋1【典例3】（上海复旦大学附中2019届模拟）二项式3的展开式中只有第11项的二项式系

x

n

数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )

A.3

B.5

C.6

D.7

【答案】D

3x＋13x＋1【解析】根据3的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴3的展开

xx

n

n

式的通项为Tr＋1＝Cr(3x)20·20－r

14r

－r－r2020·C20·x3，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0，3＝(3)·

x

r

3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项.

【方法技巧】

nC1.二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为；

2

n2n

n＋1n＋3C当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为

22

2.二项展开式系数最大项的求法

n12n或

Cn12n.

如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，

Ak≥Ak－1，

A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得.

Ak≥Ak＋1，

【变式3】（黑龙江大庆实验中学2019届模拟）已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m

＋1

展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( A.5

B.6

C.7

D.8

【答案】B

【解析】由题意可知，a＝Cm2m，b＝Cm

2m＋1.

∵13a＝7b，∴13·（2m）！（2m＋1）！m！m！＝7·m！（m＋1）！，

即132m＋7＝1

m＋1，解得m＝6.

)