2020届上海市闵行区高考一模(期末)数学试题

已知集合A3,1,0,1,2,Bxx1，则AIB__________.

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】3,2

【解析】将A中元素逐个代入x1，符合的有3、2，即AB3,2. 故答案为：3,2.

【题干序号】2 复数5i2的共轭复数是___________.

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】2i 【解析】Q5i25(2i)5(2i)(2i)(2i)52i， 复数

5i2的共轭复数是2i 故答案为2i

【题干序号】3

计算：lim3n2n13L2n1__________.

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】3

试卷第1页，总17页

【解析】Q132n112n1nn2，

223n23nlim23. limn13L2n1nn故答案为：3.

【题干序号】4

已知0x1，使得x1x取到最大值时，x__________.

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题

1 2【解析】Q0x1，

【答案】

x1x2x1x，即x1x故答案为：

【题干序号】5

11，当且仅当x1x时等号成立. 221. 2rruuurruuurr在ABC中，已知ABa ，BCb，G为ABC的重心，用向量a,b表示向量

uuurAG___________

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题

2r1r【答案】a+b

33uuur1uuuruuur1r1rBABCba， 【解析】由重心的性质可知BG333uuuruuuruuurr1r1r2r1r所以AGABBGabaab.

3333试卷第2页，总17页

2r1r故答案为：a+b

33

【题干序号】6 设函数fx

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】x2

【解析】由题意得fxlog2x1log2xlog2xx1，即x2x2，

2log2x1log2x

1，则方程fx1的解为____________ 1解得x2或x1，由函数定义域可知x2. 故答案为：x2.

【题干序号】7 已知x21示）

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】56

【解析】由题意得a3xC6588a0a1x2a2x4a8x16，则a3 ____________ （结果用数字表

x123556x6，

a356.

故答案为：56.

【题干序号】8

若首项为正数的等比数列an，公比qlgx，且a100a99a101，则实数x的取值范围是____________

试卷第3页，总17页

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】0,1 1098【解析】Qa10，a99a1q0， 2由题意可得a99qa99a99q

q1q2，q1，即lgx<-1，01. 10【题干序号】9

如图，在三棱锥DAEF中，A1,B1,C1分别是DA, DE, DF的中点，B,C分别是

AE,AF的中点，设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V1，三棱锥D AEF的体积为

V2，则V1:V2____________

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】3:8

【解析】设SVABCS，点A1到平面ABC的距离为h，

试卷第4页，总17页

由题意易知SVAEF4S，点D到平面ABC的距离为2h，

V1Sh，V2g4Sg2hV1:V23:8.

故答案为：3:8

【题干序号】10

138Sh， 3uuuvrrr若O是正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，QOAii1,2,3,4,5,6,a,b,cQ，且

rrrrrrrrra,b,c互不相同，要使得abgc0，则有序向量组a,b,c的个数为

____________

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】48

【解析】

①如左图，这样的a，b有6对，且a，b可交换，此时c有2种情况，

rrrrrrrr有序向量组a,b,c个数为62224个；

②如右图，这样的a，b有3对，且a，b可交换，此时c有4种情况，

rrrrrrrr有序向量组a,b,c个数为32424个.

综上所述，总数为242448个. 故答案为：48.

【题干序号】11

试卷第5页，总17页

若fxxagx3a，且x0,1上的值域为0, f1，则实数a的取值范围是____________

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】0,

4【解析】由题意fxxax3a，

当a0，函数图像如左图，fxminf03a0，不符合题；

21当a0，函数图像如右图，

Qf03a2f2aa2，结合图像，当x0,1，fxmaxf0或

f1，

2Q值域为0,f1f1f0a13a13a，，即，a1. 4综上a0,.

41

【题干序号】12

设函数fxAsinx则下述结论中:

①若fx0fx恒成立，则x0的值有且仅有2个； ②fx在0,0,A0,x0,2，若fx恰有4个零点，. 68上单调递增；

19试卷第6页，总17页

③存在和x1，使得fx1fxf(x1④“A1”是“方程fx2)对任意x0,2恒成立；

1在[0,2]内恰有五个解”的必要条件. 2所有正确结论的编号是______________；

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】①③④

【解析】Qfx恰有4个零点，32图像如图：

19254，,，函数的61212

①如图，即fxA有两个交点，正确； ②结合右图，且当258递增，错误； 时，fx在0,1225③QT12121925,，,，

225191212Q1212,，存在fx1为最小值，22519fx1为最大值，正确；

2④结合右图，若方程fx11在0,2内恰有五个解，需满足f0，即221fx，同时结合左图，当，不一定有五个解，正确. A1A12故答案为：①③④.

二、单选题

【题干序号】13

已知直线l的斜率为2，则直线l的法向量为（ ） A．1,2

B．2,1

C．1,2

试卷第7页，总17页

D．2,1

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】D

【解析】Q直线l斜率为2，

直线的一个方向向量可以为1,2，法向量可以是2,1.

故选：D.

【题干序号】14 命题“若xa，则A．0,

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】D 【解析】Qx10”是真命题，实数a的取值范围是（ ） xB．,1

C．1,

D．,0

x10，x1或x0， xxx1或x0xxa， a1.

故选：D.

【题干序号】15

在正四面体ABCD中，点P为BCD所在平面上的动点，若AP与AB所成角为定值,0,A．圆

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题

， 则动点P的轨迹是（ ） 4B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

试卷第8页，总17页

【答案】B

【解析】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令AB与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与AB所成角为定值，所以面BCD与圆锥的相交轨迹即为点P的轨迹.根据题意，AB不可能垂直于平面即轨迹不可能为圆. 面BCD不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可BCD，进一步计算AB与平面BCD所成角为arctan2，即arctan2时，轨迹为抛物线，arctan2时，轨迹为椭圆， Q0,故选：B.

，所以轨迹为椭圆. 4

【题干序号】16

a已知各项为正数的非常数数列an满足an1a1n ，有以下两个结论:①若a3a2，

则数列an是递增数列；②数列an奇数项是递增数列，则（ ） A．①对②错

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】D

【解析】Qan为各项为正数的非常数数列，a10且a11，

B．①错②对

C．①②均错误

D．①②均正确

1当a11时，显然an为递增数列，①②均正确；

2当0a11时，a2a1aa1,1,a3a1aa1,a1a，不满足①的前提

121a3a2；

试卷第9页，总17页

a4a1a3a1a2,a1a1a3,a2，a5a1a4a1a2,a1a3a3,a4，

依此类推，a2ka2k1,a2k2，a2k1a2k1,a2k即偶数项递减，奇数项递增. 故选：D.

三、解答题

【题干序号】17

如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上)，圆锥的母线长为4,AB,CD是底面的两条直径，且AB4,ABCD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心.



（1）求圆柱的侧面积；

（2）求异面直线OF和PC所成的角的大小.

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】（1）23；（2）arccos3 4【解析】（1）设圆柱上底面的圆心为O，连接FO、PO，

试卷第10页，总17页

在PAO中，F是PA的中点，FO//AO，OA2

FO11OA1，OOPO3， 222S圆柱侧=2OFOO23.

（2） F，O分别是PA、AB的中点，FO//PB，

异面直线OF和PC所成的角等于PB和PC的夹角BPC，

PB PC4，BC22，

cosBPCPBPCCB2PBPC222161683.

24443异面直线OF和PC所成的角为arccos.

4

【题干序号】18 已知函数fx2xa x2（1）若fx为奇函数，求a的值；

（2）若fx3在x1,3上恒成立，求实数a的取值范围.

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】（1）a1；（2）a40

试卷第11页，总17页

【解析】（1）QxR，fx为奇函数

f00，即1a0，a1.

（2）Qx1,3，fx3恒成立，

 2xa3即a32x22x恒成立， x2239x令y32x22x2x，又22,8 24ymin40，a40.

【题干序号】19

某地实行垃圾分类后，政府决定为A, B,C三个小区建造一座垃圾处理站M，集中处理三个小区的湿垃圾.已知A在B的正西方向，C在B的北偏东30o方向，M在B的北偏西20o方向，且在C的北偏西45o方向，小区A与B相距2km,B与C相距3 km.

（1）求垃圾处理站M与小区C之间的距离；

（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里a元，一辆小车的行车费用为每公里a元(其中为满足100是199内的正整数) .现有两种运输湿垃圾的方案：

方案1:只用一辆大车运输，从M出发，依次经A,B,C再由C返回到M； 方案2:先用两辆小车分别从A、C运送到B，然后并各自返回到A、C，一辆大车从

M直接到B再返回到M.试比较哪种方案更合算?请说明理由. 结果精确到小数点后两

位

试卷第12页，总17页

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题

【答案】（1）5.44公里；（2）当00.32时，方案二合算；当0.321时，方案一合算.

【解析】（1）在MBC中，MBC50o，MCB105o，BC3，

BMC 25o.

MC33sin50o由正弦定理得：，MC5.4385.44. ooosin50sin25sin25所以垃圾处理站M与小区C间的距离为5.44公里.

MB33sin105o（2）在MBC中，由得：MB6.857 ooosin105sin25sin25在MBC中，MBA70o，AB2，

MA2AB2MB22ABMBcos70o，MA6.452.

方案一费用:

y1aMAABBCCMa6.452235.43816.890a，

方案二费用:y22aMB2aABBCa13.71310 当y1y2时，方案二合算，此时00.32； 当y1y2时，方案一合算， 此时0.321；

综上，当00.32时， 方案二合算；当0.321时，方案一合算.

【题干序号】20

222已知抛物线:y8x和圆:xy4x0，抛物线的焦点为F.

试卷第13页，总17页

（1）求的圆心到的准线的距离；

（2）若点Tx,y在抛物线上，且满足x1,4， 过点作圆的两条切线，记切点为A、B，求四边形TAFB的面积的取值范围；

（3）如图，若直线l与抛物线和圆依次交于M、P、Q、N四点，证明:

MPQN

【答案序号】

1PQ的充要条件是“直线l的方程为x2” 2【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题 【答案】（1）4；（2）[25,82]；（3）见解析

【解析】（1）由xy4x0可得: x2y24，的圆心与的焦点F

222重合，

的圆心2,0到的准线x2的距离为4.

（2）四边形TAFB的面积为:S2212TF422x22y24 2x228x42x24x，

当x1,4时，四边形TAFB的面积的取值范围为[25,82].

（2）证明(充分性) :若直线l的方程为x2，将x2分别代入y28x

x2y24x0得M2,4，P2,2，Q2,2，N2,4. MPON11PQ2，MPQNPQ.

221PQ，则线段MN与线段PQ的中点重合， 2试卷第14页，总17页

(必要性) :若MPQN设l的方程为xtym，Mx1,y1，Nx2,y2，Px3,y3，Qx4,y4， 则y1y2y3y4，将xtym代入y28x得y28ty8m0， y1y28t，64t232m0即2t2m0，

同理可得，y3y42tm2，

1t22tm28t即t0或m4t22， 21t而当m4t22时，将其代入2t2m0得2t220不可能成立； .

2当t0时，由y8m0得：y122m，y222m，

将xm代入xy4x0得y322m24m，y4m24m，

QMP11PQ，22mm24m2m24m， 22m22m0，m2或m0（舍去） 直线l的方程为x2.

MPQN

1PQ的充要条件是“直线l的方程为x2”. 2【题干序号】21

已知数列an满足a11,a2aa1,an2an1an1and,nN

*（1）当da2时，写出a4所有可能的值；

（2）当d1时，若a2na2n1且a2na2n1对任意nN*恒成立，求数列an的通项公式；

（3）记数列an的前n项和为Sn，若a2n,a2n1分别构成等差数列，求S2n.

【答案序号】

【来源】2020届上海市闵行区高考一模（期末）数学试题

试卷第15页，总17页

3n,n为奇数2【答案】（1）a410或a44或a46或a40；（2）an；

na1,n为偶数2（3）n1a

【解析】（1）当da2时，an2an1an1an2， 即an1an是以1为首项、2为公差的等差数列，

an1an2n1，

可得：a3a23，a4a35，a332，a4a35，

a410或a44或a46或a40.

（2）当d1时，an2an1an1an1 即an1an是首项为a1.公差为1的等差数列，

an1ana1n1a2n，

a2n1a2na22n，a2na2n1a32n， Qa2na2n1且a2na2n1，

a2na2n1a22n，a2na2n1a32n， a2n1a2n11，a2n12n，

a2na32na2n1a1n，

3n,n为奇数an2.

na1,n为偶数2（3）由己知得an1ana1n1dnN若a2n，a2n1分别构成等差数列，

则a2na2n1a12n2dn2，②

*①

a2n1a2na12n1dn1，③

a2n2a2n1a12ndn1，④

试卷第16页，总17页

由②+③得:a2n1a2n1a12n1da12n2dn1

Qa2n1是等差数列， a2n1a2n1必为定值，

a2n1a2n1a12n1da12n2d

或a2n1a2n1a12n1da12n2d， 即a2n1a2n1dn2或a2n1a2n1dn2， 而由①知a3a2a1d，即a3a2a1d

a3a1a1a1d，

即a3a1d或a3a12a1d（舍）

a2n1a2n1dnN*，a2n11n1dnN*.

同理，由③+④得:a2n2a2na12nda12n1dn1

a2n2a2nd或a2n2a2nd，

由上面的分析可知:a3a1a1d

而a4a3a12d，a4a2a1da12d， 即a4a2d或a4a22a22d（舍）

a2n2a2nd

a2nan1dnN*，从而a2k1a2ka2k1a2k2a1kN*

S2na1a2···a2n1a+1a1an1a.

试卷第17页，总17页