上海市闵行区2021届高三一模考试数学试卷(有答案)

一、选择题

1.若a为实数，则“a1”是“A. 充分非必要条件 C.充要条件

2.若lg2a，lg3b，则log512等于( ) 2abA. 1a11”的 ( ) aB.必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

a2bB. 1a2abC. 1aa2bD. 1a22xy3.已知点P为双曲线1a0,b0右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I22ab是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有S△IPFS△IPF3S△IFF,则双曲线的渐近线方

12122程是（ ） A.yx

B.y2x

2C.y3x

D.y3x

34.如图，正四棱锥PABCD的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB、PD于点E、F（可与端点重合），则四棱锥PAEMF的体积的取值范围是（ ）

1A. 2,1 14B.2,3 4C.1,3 8D.9,1 二、填空题

5.已知集合AN， B{x2x15}，则AB=__________．（用列举法表示）

6.已知复数z满足zi2i（i为虚数单位），则z___________.

7.若函数fx2x1的图像与g(x)的图像关于直线yx对称，则g(9)____________. π8.若tan()3，则tan____________.

49.在12x的二项展开式中，x3项的系数为__________．（用数字作答）

10.如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为3，则异面直线AA1与BD1所成角的

6大小是_____________.

11.新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）、 4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和 2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有__________种．（用数字作答）

1212.设k{2，， 0)(0， 1)，且xk|x|，则k取值的集合是__________. 1， ， ，2}，若x(13315x1,0x213.已知定义在[0,)上的函数f(x)满足fx.设f(x)在2n2,2nnN*fx22,x2上的最大值记作an，Sn为数列an的前n项和，则Sn的最大值为________________. 14.已知nN， n2，函数yn3n的图像与y轴相交于点An、与函数ylog1(x4)的x2n3n3nn图像相交于点Bn，△OAnBn的面积为Sn(O为坐标原点)，则limSn________.

15.已知平面向量a,b,c，对任意实数t，都有btaba，btcbc成立．若a3，

c2，ac7，则b=_____________. 16.已知函数fxx1，给出下列命题： x①存在实数a，使得函数yfxfxa为奇函数；

②对任意实数a，均存在实数m，使得函数yfxfxa关于xm对称； ③若对任意非零实数a， fxfxak都成立，则实数k的取值范围为,4； ④存在实数k，使得函数yfxfxak对任意非零实数a均存在6个零点. 其中的真命题是__________.（写出所有真命题的序号）

三、解答题

17.如图，在圆柱OO1 中，AB是圆柱的母线，BC是圆柱的底面O的直径，D是底面圆周上异于B、C的点．

（1）求证： CD平面ABD；

（2）若BD2，CD4，AC6，求圆柱OO1的侧面积． xxx18.已知函数f(x)22sincos22cos22．

222（1）求函数f(x)在区间0,π上的值域；

（2）若方程f(x)=3(0)在区间0,上至少有两个不同的解，求的取值范围． 19.大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式．比如Ai(ai， bi)(i1，，， 2 3 ， n)是平面直角坐标系上的一系列点，其中n是不小于2的正整数，用函数yf(x)来拟合该组数据，尽可能使得函数图像与点列Ai(ai， bi)比较接近．其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数yf(x)的拟

1合误差为：(f(x))[(f(a1)b1)2(f(a2)b2)2n上，有5个点的坐标数据如下表所示：

x (f(an)bn)2]． 已知在平面直角坐标系

1 2 3 2 4 5 7 y 2.2 1 4.6 （1）若用函数f1(x)x24x5来拟合上述表格中的数据，求(f1(x))； （2）若用函数f2(x)2|x2|m来拟合上述表格中的数据．

①求该函数的拟合误差(f2(x))的最小值，并求出此时的函数解析式yf2(x)； ②指出用f1(x),f2(x)中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？

x2y220.已知椭圆： 221(ab0)过点(0， 2)，其长轴长、焦距和短轴长三者的平方依次成等差

ab数列．直线l与x轴的正半轴和y轴分别交于点Q、 P，与椭圆相交于两点M、 N，各点互不重 PN2NQ． 合，且满足PM1MQ， （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的方程为yx1，求

1112的值；

（3）若123，试证明直线l恒过定点，并求此定点的坐标．

21.已知数列an与bn满足an1anbn1bn（为非零常数），nΝ. （1）若bn是等差数列，求证：数列an也是等差数列； （2）若a12,3,bnsin（3）设a1b1，b2nπ，求数列an的前2021项和； 2bnbn1bn2(n3,nN) ，若对an中的任意两项ai，2，

2aji,jN*，ij，aiaj2都成立，求实数的取值范围．

参考答案

1.答案：B 解析： 2.答案：C 解析： 3.答案：D 解析： 4.答案：D 解析： 5.答案：1,2 解析： 6.答案：12i 解析： 7.答案：3 解析： 8.答案：2 解析： 9.答案：160 解析： 10.答案：arctan解析： 11.答案：90 解析：

212.答案：2,

322 3解析： 13.答案：64 解析： 14.答案：6 解析： 15.答案：解析： 16.答案：②③ 解析：

17.答案：（1）由已知可知AB平面BCD，CDABCD

221 3平面BCD，

点D是O上异于B、C的点，BC是O的直径， 所以CDBD， 又ABBDB，∴ CD平面ABD

（2）在Rt△BDC中，BD2，CD4，BDC90，

BCBD2CD2224225，

ABAC2BC262(25)24

圆柱O1O的侧面积为：S侧BCAB85．

解析：

18.答案：（1）f(x)2sinx2cosx， π所以f(x)2sin(x)，

4ππ

因为函数在0,上是增函数，在,π上是减函数，

44

所以当xπ时，f(x)的最大值为2，当x时，f(x)的最小值为2． 4所以函数f(x)的值域为[2,2]． π（2）f(x)2sin(x)(0)

4π3由f(x)=3得sin(x)=，

42πππ2π所以x=2kπ或x=2kπ(kZ)

4343所以x=2kππ2kπ5π或x=(kZ)． 1212由于方程f(x)=3(0)在区间0,π上至少有两个不同的解， 所以只需解得 解析：

19.答案：（1）若用函数f1(x)x24x5x21来拟合上述表格中的数据，

2π5π,0,π， 121255，所以的取值范围为,． 12121则(f1(x))[(22.2)2(11)2(22)2(54.6)2(107)2]

51(0.2202020.4232)1.84； 5（2）①若用函数f2(x)2|x2|m来拟合上述表格中的数据，则

1(f2(x))[(2|12|m2.2)2(2|22|m1)2(2|32|m2)2(2|42|m4.6)2(2|52|m7)2]52m0.08m0.28(m0.04)20.27840.2784，

则当m0.04时，(f2(x))的最小值为0.2784，

｜x2｜0.04. 此时f2(x)2②由上可知，(f1(x))1.84，(f2(x))m20.08m0.28 比较(f1(x))与(f2(x))，发现当146125m461125时，(f1(x))>(f2(x))，此时用

｜x2｜f2(x)2m来拟合上述表格中的数据更好；

当m146125或461125时，(f1(x))=(f2(x))，用f1(x)、f2(x)拟合效果一样；

时，(f1(x))<(f2(x))，此时用f1(x)x24x5来拟合上述表

当m146125或m461125格中的数据更好. 解析：

1）∵椭圆： x2y220.答案：（a2b21(ab0)过点(0， 2)，b2，

设焦距为2c，由条件得(2a)2(2b)22(2c)2， 又a2b2c2，解得a212．

x2y2∴椭圆的标准方程为1241．

（2）由题意，P(0， 1)， Q(1， 0)，设M(x1， y1)， N(x2， y2)， ∵PM1MQ， PN2NQ， ∴(x1， y11)1(1x1， y1)， (x2， y21)2(1x2， y2)， 从而xx111(1x1)， x22(1x2)，于是1， x21x2x， 112∴11112x12x1x22， 1x2x1x2x2y2由1241得，4x26x90，∴x3x91x2， x12，yx124

∴

1111x12x1x228； 21x2x1x23（3）显然直线l的斜率k存在且不为零，

设直线l的方程为ykxmm0，M(x1， y1)， N(x2， y2)， 则：P(0,km)， Q(m, 0)

由PM1MQ得(x1， y1km)1(mx1， y1)，注意到x1m ∴x11mx1，从而1x1mx，同理x22， 1mx2又123，∴x1x22m(x1x2)3m20①，

x2y2联立1241，得(13k2)x26k2mx3k2m2120，

yk(xm)则36k4m24(13k2)(3k2m212)1212k24k2m20②，

且xx6k2m3k2m2121213k2,x1x213k2③

③代入①得3k2m21213k22m6k2m13k23m203m21213k20，∴m2，（满足②） 故直线l的方程为ykx2，所以直线l恒过定点(2， 0)．

m)， Q(x0， 0)， M(x1， y1)， N(x2， y2)， 另解：由题意设P(0， y1m)1(x0x1， y1)，注意到y1y20 由PM1MQ，知(x1，∴y1my11，从而1mm1，同理21， y1y2又123，∴y1y2m(y1y2)0①，

显然直线l的斜率k存在且不为零，不妨设直线l的方程为xtym， x2y21联立124，得(t23)y22mt2yt2m2120，

xt(ym)则4mt4(t3)(tm12)0242222mt2t2m212②，且y1y22,y1y22t3t3③，…14分

③代入①得t2m2122m2t20，(mt)24， ∵直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、 P， ∴mt0，mt2（满足②），

直线l的方程为xty2，所以直线l恒过定点(2， 0)． 解析：

21.答案：（1）设bn的公差为d，则an1anbn1bnd(nN)，故数列an是等差数列；

nπ（2）由bnsin，可知bn是周期为4的数列，即bn4bn；

2 由an4anan4an3an3an2an2an1an1an

bn4bn3bn+3bn2bn+2bn1bn+1bn bn4bn0，即an也是周期为4的数列. 又由a12,bnsinn，an1an3bn1bn可求： 2a21，a34，a41， S4a1a2a3a44，

所以S2021a1a2a3a4a5a1505S42018.

a2018a2019a2020a2021

（3）由bnbn1bn21(n3,nN)得bn1bnbnbn1(n2,nN)， 22即bn1bn是以b2b1则bn1bn1为首项，为公比的等比数列， 22n122n11

2所以bnbnbn1bn1bn212n1b2b1b1

12n212

1n11n1221.

133212则anbna1b12132n1n123 .

当n为奇数时，an2132n123单调递减，且23an； an当n为偶数时，an因为0，故213223单调递增，且2223；

2223，

所以an的最大值为a1，最小值为a222，

因为对an中的任意两项ai，aji,jN*，aiaj2都成立， 所以a1a22， 解得2,00,2

综上，的取值范围是2,0

0,2.