闭合电路欧姆定律的图象法

闭合电路欧姆定律的图象法

一、两种U-I图象

高中物理教材中为我们提供了两种U-I图象：

1、电阻中的电流随两端电压变化规律的U-I图象.

根据U=RI可知，U是I的正比例函数斜率k=tgθ=R(如图1所示).由此图象可以看出：

(1)当电阻一定时，电流I随电压U成正比变化．

(2)当电压一定时，如果R增大，则直线的斜率也增大，由图中知通过R的电流却减少．

(3)电阻R上消耗的功率P=UI，因此可用阴影部分的面积来表示，而且可以直观地看出当电压一定时，电阻越大，阴影部分的面积越小，即功率越小

2、用电流表和电压表测定电池的电动势和内电阻提供了闭合电路欧姆定律的U—I图象．

根据U＝E-Ir，U是I的一次函数，(如图2所示)

(1)直线与U轴交点A，表示了当I＝0时的路端电压U的值，由U=E-Ir知，当I＝0时，U=E．又由

外电路开路时的路端电压．在图

象上是直线在U轴上的截距.

(2)直线与I轴的交点B，表示了当U=0时的电流，而欲使U=0．只

线斜率的负值．

以上两种U—I图象虽然能表现出物理内容，但不能反映出U、I与外电阻R的关系．本文拟对此图象作以改进，更好地为教学服务．

二、U—I图象的改进

要反映当外电阻为R时的路端电压U和回路中的电流I，必须同时满足：

U＝E-Ir

U=RI

两个方程，在图象中，两直线交点的纵坐标就是路端电压，横坐标就是电流．为此我们将上述两种U—I图象合并在一个坐标系中．并且为了表示内电路的压降，我们令U轴O点向上表示路端电压U外、O点向下表示内压降U内，由于U内=Ir，所以内压降的图象也是过原点斜率

经这样改进之后，图象中不仅能直观地看出电源电动势和内电阻，而且还能反映以下内容．

1、路端电压U外和内压降U内

图中CE＝Itgθ=IR.故线段CE可表示路端电压U外．图中ED＝Itg=Ir，故线段ED可表示内压降U内．

而且，AODC是平行四边形．OA=CD，即E=U外+U内正满足闭合电路欧姆定律．

2、U外和U内随外电阻R的变化规律

我们知道当外电阻R变化时，路端电压U外、内压降U内以及回路中的电流I都将发生变化．这一变化规律可以用闭合电路欧姆定律来直

此U内=Ir减小，

又根据U外=E-Ir可知路端电压U外必将增大。

U—I图象经改进之后，就能直观地反映这一规律．因当R增大时，直线OM的斜率就增大，也就是θ角增大，假定R′＞R．则θ′＞θ，从图4可以看出C′E′＞CE，即路端电压增大，E′D′＜ED，即内压降减小，OE′＜OE，即回路中电流减小．并可以看出无论R怎样变化，U外和U内之和仍等于电源的电动势

由此例可以看出对定性讨论的问题，用图象比用公式来讨论更优越．

3、证明电源最大输出功率定理

证明当R=r时，电源输出功率最大的方法很多，下面我们利用改进后的U—I图象来证明．

由于电源输出功率P出=U外·I，因此可用图5中矩形OECF的面积来表示；同理；内电阻上消耗的功率P内=U内I，可用图中矩形OHDE的面积来表示．所以电源的功率P源=E=P出+P内，可用矩形FHDC的面积来表示．

由图中看出，当R不同时直线OM的斜率不同，因而矩形OECF面积和矩形OHDE面积都将不同，也就是输出功率P出、内电阻消耗功率P内以及电源功率P源都是随外电阻R变化的．欲使电源输出功率P出最大，翻译成数学语言即是：求在直角三角形斜边上找一点，使以这一点与两直角边组成的内接矩形的面积最大，在数学中不难证明只有当矩形的顶点C为三角形斜边中点时，内接矩形的面积方能最大．

即R=r时，电源输出功率最大．

下面我们再求P出的最大值．

若在图中取E为单位长，则线段CE的长度可表示电源效率η(见图5)．

我们可以看出，当外电阻R变化时，电源效率η也随之变化，并且外电阻R愈大，电源效率也愈大，但电源效率大并不等于电源输出功率也愈大．电源效率η→100％，而输出功率P出→O，当输出功率最大时，电源效率只有50%．

根据具体情况，有时要求电源的输出功率尽可能大些，有时又要求在保证一定功率输出的前提下尽可能提高电源的效率，这就可以利用此图象来选择适当的外电阻R．