浙江省台州市书生中学2014-2015学年高一上学期第三次月考数学试卷
一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）
1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为（） A． {1，2，4} B． {2，3，4} C． {0，2，4} D．{0，2，3，4}
2．已知幂函数y=f（x）的图象经过点 A．
B． 4
C．
，则f（2）=（）
D．
3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（） A． ﹣
4．已知cosα=﹣，sinα= A． 第一象限
0.5
B． C． D．﹣
，那么α的终边所在的象限为（）
C． 第三象限
D．第四象限
B． 第二象限
0.5
5．设a=0.5，b=0.3，c=log0.32，则a，b，c的大小关系是（）
A． a＞b＞c B． a＜b＜c C． b＜a＜c D．a＜c＜b
6．若sinx•cosx=，且 A． ±
7．若函数f（x）=
，则f[f（100）]=（）
D．0
B．
，则cosx﹣sinx的值是（）
C． ﹣
D．±
A． lg101 B． 5 C． 101
8．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（） （1）在 A． y=tanx
上单调递减，（2）最小正周期为2π，（3）是奇函数． B． y=cosx
C． y=sin（x+3π）
2
D．y=sin2x
9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m的内接矩形花园（阴影部
分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）
A． [15，20] B． [12，25] C． [10，30] D．[20，30]
10．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g
x
（x）=a+b的图象大致为（）
A． B． C．
11．若函数f（x）= A． 1或3
D．
的值域也为[1，b]，则b的值为（）
B． 1或
C．
D．3
12．给出下列五个命题： ①函数y=
是偶函数，但不是奇函数；
，0）对称；
②函数y=tanx的图象关于点（
③正弦函数在第一象限为增函数；
2
④方程x+（a﹣3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a＜0； ⑤函数f（x）=loga（6﹣ax）（a＞0且a≠1）在[0，2]上为减函数，则1＜a＜3． 其中正确的个数（） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个
13．若函数取值（） A．
14．已知f（x）=|2﹣x|，若0＜m＜n时满足f（m）=f（n），则mn的取值范围为（） A． （0，2） B． （0，2]
二、填空题（每题3分，共18分．） 15． 16．若
=，则tanα的值为．
=．
C． （0，4]
D．
2
在 [0，a]上的值域为[0，]，则实数a的
B． C． [0，π] D．
17．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是．
18．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x+lnx，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=．
19．存在实数x，使得关于x的不等式cosx＜a﹣sinx成立，则a的取值范围为．
20．设[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[﹣1.5]=﹣2，若函数函数g（x）=[f（x）]+[f（﹣x）]的值域为．
三、解答题（5题，共40分．） 21．已知sinα﹣3cosα=0 （1）求
2
2
，则
的值；
（2）求sinα+sinα•cosα的值．
22．已知函数f（x）=ln（3+x）+ln（3﹣x）． （Ⅰ）求函数y=f（x）的定义域； （Ⅱ）判断函数y=f（x）的奇偶性； （Ⅲ）若f（2m﹣1）＜f（m），求m的取值范围．
23．已知函数
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）若（3）若
24．已知函数f（x）=b•a，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32）
（1）求f（x）的解析式； （2）若不等式围．
25．已知函数f（x）=x﹣3|x﹣a|其中a∈R．
（1）当a=0时，方程f（x）=b+1恰有三个根，求实数b的值；
3
（2）若a＞0，函数g（x）=x+1﹣xf（x）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．
2x
，且f（2α）=1，求α的值； ，求函数f（x）的值域．
+1﹣2m≥0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数m的取值范
浙江省台州市书生中学2014-2015学年高一上学期第三次月考数学试卷
一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）
1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为（） A． {1，2，4} B． {2，3，4} C． {0，2，4} D．{0，2，3，4}
考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 计算题．
分析： 找出全集U中不属于A的元素，求出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，确定出所求的集合．
解答： 解：∵全集U={0，1， 2，3，4}，集合A={1，2，3}，
∴CUA={0，4}，又B={2，4}， 则（CUA）∪B={0，2，4}． 故选C
点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．
2．已知幂函数y=f（x）的图象经过点 A．
B． 4
C．
，则f（2）=（）
D．
考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 专题： 计算题．
分析： 先设出幂函数解析式来，再通过经过点（4，）得到参数的方程，解得参数，从而求得其解析式，再代入2求函数值．
α
解答： 解：设幂函数为：y=x ∵幂函数的图象经过点（4，）， ∴=4 ∴α=﹣
α
∴∴f（2）=
=
故选C．
点评： 本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题等基础知识，考查运算求解能力，幂函数要求较低，在构造函数和幂的运算中应用较多，属于基础题．
3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（） A． ﹣
B．
C．
D．﹣
考点： 任意角的三角函数的定义． 专题： 三角函数的求值．
分析： 由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，由此求得sinα= 的值． 解答： 解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5， ∴sinα==，
故选C．
点评： 本题主要考查任意角的三角函数的定义，
4．已知cosα=﹣，sinα= A． 第一象限
，那么α的终边所在的象限为（）
C． 第三象限
B． 第二象限 D．第四象限
考点： 三角函数值的符号． 专题： 三角函数的求值．
分析： 根据题意和“一全正二正弦三正切四余弦”判断出α的终边所在的象限即可．
解答： 解：由cosα=﹣＜0得，α的终边在第二或第三象限， 由sinα=
＞0得，α的终边在第一或第二象限，
所以α的终边在第二象限， 故选：B．
点评： 本题考查了三角函数值的符号，即利用口诀：一全正二正弦三正切四余弦判断角所在的象限．
5．设a=0.5，b=0.3，c=log0.32，则a，b，c的大小关系是（） A． a＞b＞c B． a＜b＜c C． b＜a＜c D．a＜c＜b
考点： 对数值大小的比较． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用指数函数和对数函数的单调性求解．
0.50.5
解答： 解：∵a=0.5＞b=0.3＞0， c=log0.32＜log0.31=0， ∴a＞b＞c． 故选：A．
点评： 本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的单调性的合理运用．
0.50.5
6．若sinx•cosx=，且 A． ±
B．
，则cosx﹣sinx的值是（）
C． ﹣
D．±
考点： 三角函数的化简求值． 专题： 三角函数的求值．
分析： 依题意，知cosx﹣sinx＜0，令t=cosx﹣sinx，易求t=，从而可得答案． 解答： 解：∵∴cosx＜sinx， ∴cosx﹣sinx＜0，
令t=cosx﹣sinx，∵sinx•cosx=，
则t=（cosx﹣sinx）=1﹣2sinx•cosx=1﹣2×=，
2
2
2
，
∴t=﹣，即cosx﹣sinx=﹣．
故选：C．
点评： 本题考查三角函数的化简求值，考察三角函数间的平方关系的应用与正弦函数与余弦函数的单调性质，是基本知识的考查．
7．若函数f（x）=
，则f[f（100）]=（）
C． 101
D．0
A． lg101 B． 5
考点： 分段函数的应用． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 直接利用分段函数求解即可．
解答： 解：函数f（x）=，则f[f（100）]=f（lg100）=f（2）=2+1=5．
2
故选：B．
点评： 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，基本知识的考查．
8．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（） （1）在
上单调递减，（2）最小正周期为2π，（3）是奇函数．
D．y=sin2x
A． y=tanx B． y=cosx C． y=sin（x+3π）
考点： 正弦函数的图象．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 分别判断每个函数是否满足条件即可．
解答： 解：A．y=tanx在上单调递增，不满足条件（1）．
B．函数y=cosx是偶函数，不满足条件（3）．
C．函数y=sin（x+3π）=﹣sinx，满足三个条件． D．函数y=sin2x的最小周期T=π，不满足条件（2）． 故选C．
点评： 本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的性质以及判断．
9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）
2
A． [15，20] B． [12，25] C． [10，30]
考点： 简单线性规划；一元二次不等式的应用． 专题： 应用题；压轴题．
D．[20，30]
分析： 设矩形的高为y，由三角形相似可得再由
，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，
，得y=40﹣x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得
出答案．
解答： 解：设矩形的高为y，由三角形相似得：
，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，
由
，得y=40﹣x，
∴x（40﹣x）≥300， 解得10≤x≤30． 故选C．
点评： 此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识，属于综合类题目．
10．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a+b的图象大致为（）
x
A． B． C．
D．
考点： 指数函数的图像变换；函数的零点与方程根的关系． 专题： 数形结合；转化思想． 分析： 根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，
可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．
解答： 解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b； 根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标； 观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，
又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；
x
在函数g（x）=a+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数， 又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方； 分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足； 故选A．
点评： 本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出a、b的范围．
11．若函数f（x）= A． 1或3
B． 1或
的值域也为[1，b]，则b的值为（） C．
D．3
X
考点： 二次函数在闭区间上的最值． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 通过求函数f（x）的对称轴x=1知，[1，b]在f（x）的增区间上，所以b=f（b）
=，所以解方程即得b的值，并且b＞1．
解答： 解：函数f（x）的对称轴为x=1，所以： 函数f（x）在[1，+∞）上单调递增； ∵x∈[1，b]；
；
解得b=3或1（舍去）． 故选D．
点评： 考查二次函数的对称轴，以及二次函数的单调区间．
12．给出下列五个命题： ①函数y=
是偶函数，但不是奇函数；
，0）对称；
②函数y=tanx的图象关于点（
③正弦函数在第一象限为增函数；
2
④方程x+（a﹣3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a＜0； ⑤函数f（x）=loga（6﹣ax）（a＞0且a≠1）在[0，2]上为减函数，则1＜a＜3． 其中正确的个数（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 函数的性质及应用．
分析： ①根据函数奇偶性的定义进行判断， ②根据正切函数的图象进行判断； ③根据正弦函数的单调性进行判断， ④根据根与系数之间的关系进行判断；
⑤根据复合函数单调性之间的关系进行判断．
D．4个
解答： 解：①由，即，解得x=±1，则f（x）=0，即f（x）是既是
奇函数也是偶函数，故①错误； ②函数y=tanx的图象关于点（
，0）对称，正确；
③正弦函数在第一象限不是增函数，故②错误；
④若方程x+（a﹣3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则得a＜0，故④正确；
⑤函数f（x）=loga（6﹣ax）（a＞0且a≠1）在[0，2]上为减函数，则满足
，
2
，解
即，则1＜a＜3．故⑤正确，
故选：C
点评： 本题主要考查各种命题的真假判断，根据函数的性质是解决本题的关键．综合性较强．
13．若函数取值（） A．
B．
C． [0，π]
D．
在[0，a]上的值域为[0，
]，则实数a的
考点： 正弦函数的定义域和值域． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 首先，根据所给条件，直接得到
解答： 解：∵f（0）=0，且在[0，a]上的值域为[0，∴
，
，然后，确定a的范围即可． ]，
∴≤a≤，
故选：B．
点评： 本题重点考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．
14．已知f（x）=|2﹣x|，若0＜m＜n时满足f（m）=f（n），则mn的取值范围为（） A． （0，2） B． （0，2]
考点： 基本不等式．
专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由题意易得0＜m＜，n＞即mn≤2，结合题意可得范围．
2
C． （0，4] D．
，可得m+n=4，由基本不等式可得4=m+n≥2mn，
2222
解答： 解：∵f（x）=|x﹣2|，且0＜m＜n，f（m）=f（n），
∴0＜m＜，n＞，
2222
∴2﹣m=n﹣2，即m+n=4，
22
由基本不等式可得4=m+n≥2mn，解得mn≤2， 但0＜m＜n，∴0＜mn＜2 故选：A
点评： 本题考查基本不等式，涉及二次函数的性质，属基础题．
二、填空题（每题3分，共18分．） 15．
=0．
2
考点： 对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用对数的运算性质即可得出．
解答： 解：原式=
=log61=0，
故答案为：0．
点评： 本题考查了对数的运算性质，属于基础题． 16．若
=，则tanα的值为．
考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的求值．
分析： 直接利用诱导公式化简求解即可．
解答： 解：∵=，
∴
=
=tanα=． 故答案为：．
点评： 本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，基本知识的考查．
17．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是3π．
考点： 扇形面积公式． 专题： 计算题．
分析： 把扇形的圆心角为 代入扇形的面积s=α r 进行计算求值．
0
2
解答： 解：扇形的圆心角为120，即扇形的圆心角为r=
2
，则扇形的面积是 α
=3π，
故答案为：3π．
点评： 本题考查扇形的面积公式的应用，求出扇形的圆心角的弧度数是解题的突破口．
18．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x+lnx，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣ln（﹣x）．
考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数是奇函数将x∈（﹣∞，0）转化为﹣x∈（0，+∞），然后利用条件即可得到函数的解析式．
解答： 解：当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞）， ∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=x+lnx，
∴当﹣x∈（0，+∞）时，f（﹣x）=﹣x+ln（﹣x）， ∵函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数， ∴f（﹣x）=﹣x+ln（﹣x）=﹣f（x）， 即f（x）=x﹣ln（﹣x），x＜0． 故答案为：f（x）=x﹣ln（﹣x）．
点评： 本题主要考查函数解析式的求法，根据函数的奇偶性将条件进行转化是解决本题的关键．
19．存在实数x，使得关于x的不等式cosx＜a﹣sinx成立，则a的取值范围为（﹣1，+∞）．
考点： 其他不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用．
2
分析： 问题等价于a大于cosx+inx的最小值，由三角函数和二次函数区间的最值可得．
2
解答： 解：存在实数x，使得关于x的不等式cosx＜a﹣sinx成立
2
等价于存在实数x，使得关于x的不等式a＞cosx+sinx成立，
2
故只需a大于cosx+inx的最小值即可，
令y=cosx+sinx=﹣sinx+sinx+1=﹣（sinx﹣）+，
由二次函数可知当sinx=﹣1时，y取最小值﹣1， ∴a的取值范围为：（﹣1，+∞） 故答案为：（﹣1，+∞）
点评： 本题考查不等式的成立问题，转化为求函数的最值是解决问题的关键，属基础题．
20．设[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[﹣1.5]=﹣2，若函数
，则
2
2
2
2
函数g（x）=[f（x）]+[f（﹣x）]的值域为{0，﹣1}．
考点： 函数的值域．
专题： 新定义；函数的性质及应用．
分析： 分别求出函数f（x）和f（﹣x）的值域，利用[x]的定义即可求[f（x）]，[f（﹣x）]的值域．
解答： 解：=，
当x＞0时，﹣1＜f（x）＜0，此时[f（x）]=﹣1 当x＜0时，0＜f（x）＜1，[f（x）]=0， 当x=0时，f（x）=0，[f（x）]=0， ∵f（﹣x）=
=
=1﹣
，
∴当x＞0时，0＜f（﹣x）＜1，此时[f（x）]=0 当x＜0时，﹣1＜f（﹣x）＜0，[f（x）]=﹣1， 当x=0时，f（﹣x）=0，[f（x）]=0， 综上当x=0时，y=[f（x）]+[f（﹣x）]=0
当x＞0时，y=[f（x）]+[f（﹣x）]=0﹣1=﹣1， 当x＜0时，y=[f（x）]+[f（﹣x）]=0﹣1=﹣1， ∴y的值域：{0，﹣1}． 故答案为：{0，﹣1}．
点评： 本题主要考查函数的新定义，利用指数函数的性质求函数f（x）的值域，是解决本题的关键．
三、解答题（5题，共40分．） 21．已知sinα﹣3cosα=0 （1）求
的值；
（2）求sinα+sinα•cosα的值．
考点： 三角函数的化简求值． 专题： 三角函数的求值．
2
分析： （1）将sinα﹣3cosα=0代入所求关系式，即可求得
2
的值；
（2）易求tanα=3，将sinα+sinα•cosα的分母化“1”，得到化“切”即可．
解答： 解：（1）原式=（2）∵sinα﹣3cosα=0， ∴tanα=3， ∴sinα+sinα•cosα=
2
，再“弦”
=11；
===．
点评： 本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是中档题．
22．已知函数f（x）=ln（3+x）+ln（3﹣x）． （Ⅰ）求函数y=f（x）的定义域； （Ⅱ）判断函数y=f（x）的奇偶性； （Ⅲ）若f（2m﹣1）＜f（m），求m的取值范围．
考点： 指、对数不等式的解法；函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （Ⅰ）由，求得x的范围，可得函数y=f（x）定义域．
（Ⅱ）由于函数y=f（x）的定义域关于原点对称．且满足 f（﹣x）=f（x），可得函数y=f（x）为偶函数．
2
（Ⅲ）化简函数f（x）的解析式为lg（4﹣x），结合函数的单调性可得，不等式f（m﹣2）＜f（m）等价于|m|＜|m﹣2|＜2，由此求得m的范围． 解答： 解：（Ⅰ）要使函数有意义，则
，解得﹣3＜x＜3，
故函数y=f（x）定义域为（﹣3，3）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数y=f（x）的定义域为（﹣3，3），关于原点对称． 对任意x∈（﹣3，3），则﹣x∈（﹣3，3）， ∵f（﹣x）=lg（3﹣x）+lg（3+x）=f（x），
∴由函数奇偶性可知，函数y=f（x）为偶函数．
2
（Ⅲ）∵函数f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）=lg（9﹣x），
由复合函数单调性判断法则知，当0≤x＜3时，函数y=f（x）为减函数． 又函数y=f（x）为偶函数，
∴不等式f（2m﹣1）＜f（m），等价于|m|＜|2m﹣1|＜3， 解得﹣1＜m＜或1＜m＜2．
点评： 本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断，复合函数的单调性，属于中档题．
23．已知函数
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）若（3）若
，且f（2α）=1，求α的值； ，求函数f（x）的值域．
考点： 三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （1）根据三角函数的性质即可求f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）根据f（2α）=1，解方程即可，求α的值； （3）根据函数的性质即可求函数f（x）的值域．
解答： 解：（1）f（x）的最小正周期T=，
由2kπ≤x﹣解得4kπ+
≤2kπ+π，k∈Z， ≤x≤4kπ+
，k∈Z，
，kπ+）=1，
]，k∈Z；
即函数的单调递减区间为[4kπ+（2）由f（2α）=2cos（得cos（若则α=（3）若则cos（x﹣
）∈[或
；
，则x﹣
]，
）=，
，则
，
∈[]，
即函数f（x）∈[]， 则函数f（x）的值域为[]．
点评： 本题主要考查三角函数的周期性，单调性和值域的求解，综合考查三角函数的图象和性质．
24．已知函数f（x）=b•a，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32）
（1）求f（x）的解析式； （2）若不等式
+1﹣2m≥0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数m的取值范
x
围．
考点： 其他不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法． 专题： 不等式的解法及应用．
x
分析： （1）把点A（1，8），B（3，32）代入函数f（x）=b•a，求得a、b的值，可得f（x）的解析式．
（2）不等式即 m≤•+•
2
+，令t=，则 m≤•t+t+．利
2
用二次函数的性质求得g（t）=•t+t+ 的最小值，可得m的范围．
x
解答： 解：（1）把点A（1，8），B（3，32）代入函数f（x）=b•a，可得
x
，
求得，∴f（x）=4•2．
（2）不等式
2
+1﹣2m≥0，即 m≤•+•+．
令t=，则 m≤•t+t+．
2
记g（t）=•t+t+=•+，由x∈（﹣∞，1]，可得t≥．
故当t=时，函数g（t）取得最小值为． 由题意可得，m≤g（t）min，∴m≤．
点评： 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，函数的恒成立问题，二次函数的性质应用，属于基础题．
25．已知函数f（x）=x﹣3|x﹣a|其中a∈R．
（1）当a=0时，方程f（x）=b+1恰有三个根，求实数b的值；
3
（2）若a＞0，函数g（x）=x+1﹣xf（x）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系． 专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．
22
分析： （1）当a=0时，方程化为x﹣3|x|=b+1，令y=x﹣3|x|，y=b+1，作图解答；
2
（2）g（x）=x+1﹣xf（x）=3x|x﹣a|+1=
解答： 解：（1）当a=0时，方程x﹣3|x|=b+1，
2
令y=x﹣3|x|，y=b+1， 作图如下，
则b+1=0，解得b=﹣1；
3
（2）g（x）=x+1﹣xf（x）=3x|x﹣a|+1，（a＞0） g（x）=
，作图如下，
2
3
，作出图象解答．
由g（）=﹣3解得x0=
+
+1=3
﹣3ax0+1，
a；
要使g（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值， m的取值范围为[0，），n的取值范围为（a，
a]．
点评： 本题考查了函数与方程的关系，同时考查了数列结合的数学思想，属于难题．
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