2019-2020学年湖北省恩施州咸丰县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 下列图形中有稳定性的是( )
A. 正方形 B. 长方形 C. 直角三角形 D. 平行四边形
3. 在平面直角坐标系中，已知点𝐴(4,3)，则点A关于x轴的对称点的坐标为( )．
A. (3,4) B. (4,−3) C. (−4,3) D. (−4,−3)
4. 下列计算正确的是( )
A. 𝑎2⋅𝑎2=2𝑎4 C. 3𝑎2−6𝑎2=−3𝑎2
B. (−𝑎2)3=𝑎4 D. (𝑎−3)2=𝑎2−9
5. 如图，已知𝐴𝐵=𝐴𝐷，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△
𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶的是( ) .
A. 𝐶𝐵=𝐶𝐷 C. ∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐷𝐶𝐴
B. ∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶 D. ∠𝐵=∠𝐷=90°
6. 下列有关三角形的说法：①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平
分线必交于一点；④三条高必在三角形内．其中正确的是( )
A. ①②
7. 若分式
𝑎2−1𝑎−1
B. ①③ C. ②④ D. ③④
有意义，则a满足的条件是( )
A. 𝑎≠1的实数 C. 𝑎≠1或−1的实数
B. a为任意实数 D. 𝑎=−1
8. 如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺
的两条平行对边上，若∠𝛼=135°，则∠𝛽等于( )
A. 45° B. 60° C. 75° D. 85°
9. 已知𝑎+𝑏=3，𝑎𝑏=2，则𝑎2+𝑏2的值等于( )
3
A. 8
1
3
B. 7 C. 12 D. 6
10. 若代数式𝑥−2和2𝑥+1的值相等，则x的值为( )
A. 𝑥=−7 B. 𝑥=7 C. 𝑥=−5 D. 𝑥=3
11. 如图，∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐴，𝐴𝐶=𝐵𝐷，𝐴𝑂=𝐵𝑂，下列结论不一定正确的
是( )
A. 𝐵𝐶=𝐴𝐷 C. ∠𝐶=∠𝐷
B. 𝐶𝑂=𝐷𝑂 D. ∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶+∠𝐷
12. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线交于点D，过点D作𝐸𝐹//𝐵𝐶交
AB于E 交AC于F，若𝐴𝐵=10，𝐵𝐶=7，𝐴𝐶=8，则△𝐴𝐸𝐹的周长为( )
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 计算−(−𝑎)2的结果是________．
14. 已知(𝑎+2𝑏)2=(𝑎−2𝑏)2+𝐴，则𝐴= ______ ．
15. 下图是由全等的图形组成的，其中𝐴𝐵=5𝑐𝑚，𝐶𝐷=2𝐴𝐵，则𝐴𝐹= ．
16. 下面是一个三角形数阵：根据该数阵的规律，猜想第十行所有数
的和是____．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 把下列各式分解因式：(1)𝑎3−4𝑎𝑏2
(2)𝑥4−18𝑥2𝑦2+81𝑦4
四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）
18. 计算
(1)−𝑎𝑏2𝑐⋅(−2𝑎2𝑏)2÷6𝑎2𝑏3
43
(2)4(𝑥+1)2−(2𝑥−5)(2𝑥+5)．
19. 解分式方程：
(1)
(2)2−2−𝑥=𝑥−2．
1
3−𝑥
3𝑥
+=1 𝑥2−9𝑥−3
20. 在平面直角坐标系中，直线𝜄过𝑀(3,0)，且平行于y轴。
(1)若△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别为𝐴(−2,0)，𝐵(−1,0)，𝐶(−1,2)，△𝐴𝐵𝐶关于直线𝜄的对称图形是△𝐴1𝐵1𝐶1，写出△𝐴1𝐵1𝐶1的三个顶点坐标；
(2)如果点P的坐标是(−𝑎,0)，其中𝑎>0，点P的关于y轴对称点是点𝑃1，点𝑃1关于直线l对称点是点𝑃2，求𝑃𝑃2的长。
21. 先化简，再求值：(1+𝑎)·𝑎2−1，其中𝑎=3．
1
𝑎2
22. 某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中足球的单价比篮球的单价少20
元，用900元购进的足球个数和1200元购进的篮球个数相等． (1)篮球和足球的单价各是多少元？
(2)该校打算用800元购买篮球和足球，且两种球都必须购买，请问恰好用完800元的购买方案有哪几种？
23. 已知：如图，𝛥𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=45
∘
，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，BE平分∠𝐴𝐵𝐶，且𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于E，与
CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH，与BE交于点G．
(1)求证：𝐵𝐹=𝐴𝐶； (2)求证：𝐶𝐸=2𝐵𝐹．
(3)𝐶𝐸与BG的大小关系如何？试证明你的结论．
1
24. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=4𝑐𝑚，动点P从点C出发以1𝑐𝑚/𝑠的速度沿CA
匀速运动，同时动点Q从点A出发以√2𝑐𝑚/𝑠的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为𝑡(𝑠)．
(1)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？
(2)是否存在某一时刻t，使△𝐴𝑃𝑄是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2.答案：C
解析：解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性． 故选：C．
稳定性是三角形的特性．
稳定性是三角形的特性，这一点需要记忆．
3.答案：B
解析：
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 解：∵点𝐴(4,3)，
∴点A关于x轴的对称点的坐标为(4,−3)， 故选B．
4.答案：C
解析：
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算、合并同类项、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则、完全平方公式分别判断得出答案． 【详解】
A、𝑎2⋅𝑎2=𝑎4，故此选项错误； B、(−𝑎2)3=−𝑎6，故此选项错误； C、3𝑎2−6𝑎2=−3𝑎2，正确；
D、(𝑎−3)2=𝑎2−6𝑎+9，故此选项错误； 故选：C．
5.答案：C
解析：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、𝐻𝐿. 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．本题要判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，已知𝐴𝐵=𝐴𝐷，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加𝐶𝐵=𝐶𝐷、∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶、∠𝐵=∠𝐷=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，而添加∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐷𝐶𝐴后则不能．
解：𝐴.添加𝐶𝐵=𝐶𝐷，根据SSS，能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，故A选项不符合题意； B.添加∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶，根据SAS，能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，故B选项不符合题意； C.添加∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐷𝐶𝐴时，不能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，故C选项符合题意； D.添加∠𝐵=∠𝐷=90°，根据HL，能判定△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，故D选项不符合题意． 故选C．
6.答案：B
解析：
本题考查的知识点是三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的中线、角平分线、高的定义对四个说法分析判断后利用排除法求解．
解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，说法正确；
②三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故三条高必交于一点的说法错误； ③三条角平分线必交于一点，说法正确；
直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；④锐角三角形的三条高在三角形内部；
钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故三条高必在三角形内的说法错误； 故①、③正确， 故选B．
7.答案：A
解析：解：∵分式∴𝑎−1≠0， 解得：𝑎≠1． 故选：A．
直接利用分式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
𝑎2−1𝑎−1
有意义，
8.答案：C
解析：
此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1的度数是解题关键．直接利用平行线的性质以及三角形的性质进而得出答案． 解：如图
由题意可得：∵∠𝛼=135°， ∴∠1=45°，
∴∠𝛽=180°−45°−60°=75°． 故选：C．
9.答案：D
解析：
本题考查了完全平方公式及代数式的求值，能熟记完全平方公式是解此题的关键． 先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可． 解：∵𝑎+𝑏=3，𝑎𝑏=2，
∴𝑎2+𝑏2=(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏=32−2×=6，
23
3
故选：D．
10.答案：B
解析：解：根据题意得：𝑥−2=2𝑥+1， 去分母得：3𝑥−6=2𝑥+1， 解得：𝑥=7，
经检验𝑥=7是分式方程的解． 故选：B．
根据题意列出分式方程，求出分式方程的解得到x的值即可．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
1
3
11.答案：D
解析：
本题考查全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出对应角与对应边是解题的关键.利用“边角边”证明△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐴𝐷全等，根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等解答． 解：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐴𝐷中， 𝐴𝐶=𝐵𝐷
{∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐷𝐵𝐴， 𝐴𝐵=𝐵𝐴
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐵𝐴𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐷，∠𝐶=∠𝐷，
∵𝐴𝑂=𝐵𝑂
∴𝐵𝐶−𝐵𝑂=𝐴𝐷−𝐴𝑂，
即𝐶𝑂=𝐷𝑂，故A、B、C选项结论正确; ∵∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶+∠𝐶𝐴𝑂，∠𝐷与∠𝐶𝐴𝑂不一定相等， ∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶+∠𝐷不一定成立． 故选D．
12.答案：D
解析：解：∵𝐸𝐹//𝐵𝐶， ∴∠𝐸𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝐶， ∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶， ∴∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐸𝐷𝐵， ∴𝐸𝐷=𝐸𝐵，
同理可证得𝐷𝐹=𝐹𝐶，
∴𝐴𝐸+𝐴𝐹+𝐸𝐹=𝐴𝐸+𝐸𝐵+𝐴𝐹+𝐹𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐶=10+8=18， 即△𝐴𝐸𝐹的周长为18， 故选：D．
利用平行和角平分线的定义可得到∠𝐸𝐵𝐷=∠𝐸𝐷𝐵，所以可得𝐸𝐷=𝐸𝐵，同理可得𝐷𝐹=𝐹𝐶，所以△𝐴𝐸𝐹的周长即为𝐴𝐵+𝐴𝐶，可得出答案．
本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到𝐸𝐷=𝐸𝐵，𝐷𝐹=𝐹𝐶是解题的关键．
13.答案：−𝑎2
解析：
本题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用积的乘方运算法则再结合幂的乘方运算法则化简求出答案． 解：−(−𝑎)2=−𝑎2． 故答案为−𝑎2．
14.答案：8ab
解析：解：∵(𝑎+2𝑏)2=(𝑎−2𝑏)2+𝐴， ∴𝐴=(𝑎+2𝑏)2−(𝑎−2𝑏)2， =𝑎2+4𝑎𝑏+4𝑏2−𝑎2+4𝑎𝑏−4𝑏2， =8𝑎𝑏．
把方程变形为：𝐴=(𝑎+2𝑏)2−(𝑎−2𝑏)2，再用完全平方公式展开求解得到A． 本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构并表示出A的式子是关键．
15.答案：60cm
解析：
此题考查了全等图形的性质，掌握全等图形的性质是关键，根据𝐴𝐵=5𝑐𝑚，得到𝐶𝐷=2𝐴𝐵=10𝑐𝑚，根据全等图形的性质即可得到AF的长． 解：∵𝐴𝐵=5𝑐𝑚， ∴𝐶𝐷=2𝐴𝐵=10𝑐𝑚．
由全等图形的性质得𝐴𝐹=4(𝐴𝐵+𝐶𝐷)=4×(5+10)=60𝑐𝑚． 故答案为60cm．
16.答案：1000
解析：
主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．根据数阵可知第2行中的数据相邻的数差2，第3行中的数
据相邻的数差3，共有5个数，第4行中的数据相邻的数差4，共有7数，所以第10行中的数据相邻的数差10，共有19个数，即10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，90，80，70，60，50，40，30，20，10，所以这19个数的和是1000 解：由题中数据找规律可知，
第10项的数为：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，90，80，70，60，50，40，30，20，10，
则这19个数的和为1000， 故答案为1000．
17.答案：解：(1)原式=𝑎(𝑎2−4𝑏2)
=𝑎(𝑎+2𝑏)(𝑎−2𝑏)； (2)原式=(𝑥2−9𝑦2)2
=［(𝑥+3𝑦)(𝑥−3𝑦)］
=(𝑥+3𝑦)2(𝑥−3𝑦)2．
2
解析：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． (1)原式提取a，再利用平方差公式分解即可；
(2)先利用完全平方公式分解，再用平方差公式分解即可．
18.答案：解：(1)原式=−4𝑎𝑏2𝑐⋅4𝑎4𝑏2÷6𝑎2𝑏3
=−3𝑎5𝑏4𝑐÷6𝑎2𝑏3 =−𝑎3𝑏𝑐；
21
3
(2)原式=4(𝑥2+2𝑥+1)−(4𝑥2−25) =4𝑥2+8𝑥+4−4𝑥2+25 =8𝑥+29．
解析：本题考查了整式的混合运算，掌握单项式的乘法法则和完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
(1)根据单项式的乘法法则进行计算即可；
(2)根据完全平方公式、平方差公式进行计算即可．
19.答案：解：(1)方程的两边同乘(𝑥+3)(𝑥−3)，得
3+𝑥(𝑥+3)=(𝑥+3)(𝑥−3)， 解得𝑥=−4．
检验：把𝑥=−4代入(𝑥+3)(𝑥−3)=7≠0． 故原方程的解为：𝑥=−4； (2)原方程可化为：2+𝑥−2=𝑥−2， 方程的两边同乘(𝑥−2)，得 2(𝑥−2)+1=3−𝑥， 解得𝑥=2．
检验：把𝑥=2代入(𝑥−2)=0．
故𝑥=2是分式方程的增根，此分式方程无解．
1
3−𝑥
解析：(1)观察可得最简公分母是(𝑥+3)(𝑥−3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
(2)观察可得最简公分母是(𝑥−2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 本题考查了解分式方程，(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；(2)解分式方程一定注意要验根．
20.答案：解：(1)由题意可知：𝐴1(8,0)、𝐵1(7,0)、𝐶1(7,2)，
如图所示：
(2)如图1，
当0<𝑎<3时，∵𝑃与𝑃1关于y轴对称，𝑃(−𝑎,0)， ∴𝑃1(𝑎,0)，
又∵𝑃1与𝑃2关于l：直线𝑥=3对称， 设𝑃2(𝑥,0)，可得：∴𝑃2(6−𝑎,0)， 则𝑃𝑃2=6−𝑎+𝑎=6； 如图2，
𝑥+𝑎2
=3，即𝑥=6−𝑎，
当𝑎>3时，∵𝑃与𝑃1关于y轴对称，𝑃(−𝑎,0)， ∴𝑃1(𝑎,0)，
又∵𝑃1与𝑃2关于l：直线𝑥=3对称， 设𝑃2(𝑥,0)，可得：∴𝑃2(6+𝑎,0)， 则𝑃𝑃2=6+𝑎−𝑎=6． 综上所述，𝑃𝑃2的长为6．
𝑥−𝑎2
=3，即𝑥=6+𝑎，
解析：本题考查了学生动手操作的能力，也考查学生对概念理解与操作技能掌握情况．本题设置了轴对称变化和点的坐标变化的有关问题，对于考查目标的实现具有很好的作用．题目的背景清晰、明快，设计自然、合理．
(1)因为关于直线l的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△𝐴1𝐵1𝐶1的三个顶点的坐标；
(2)𝑃与𝑃1关于y轴对称，利用关于y轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出𝑃1的坐标，再由直线l的方程为直线𝑥=3，利用对称的性质求出𝑃2的坐标，即可𝑃𝑃2的长．
21.答案：解：原式=
=
𝑎𝑎−1
𝑎+1𝑎
·
𝑎2
(𝑎−1)(𝑎+1)
．
3
3
当𝑎=3时，原式=3−1=2．
解析：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
22.答案：解：(1)设足球的单价为x元/个，则篮球的单价为(𝑥+20)元/个，
根据题意得：
900𝑥
=
1200
𝑥+20
，
解得：𝑥=60，
经检验，𝑥=60是原分式方程的解， ∴𝑥+20=80．
答：足球的单价为60元/个，篮球的单价为80元/个．
(2)设恰好用完800元可购买篮球a个和足球b个， 根据题意得：80𝑎+60𝑏=800，
3
∴𝑎=10−𝑏.
4∵𝑎、b都是正整数，
∴①𝑏=4时，𝑎=7；②𝑏=8时，𝑎=4；③𝑏=12时，𝑎=1．
∴有三种购买方案：①购买篮球7个，足球4个；②购买篮球4个，足球8个；③购买篮球1个，
足球12个．
解析：(1)设足球的单价为x元/个，则篮球的单价为(𝑥+20)元/个，根据数量=总价÷单价结合用900元购进的足球个数和1200元购进的篮球个数相等，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后，即可得出结论；
(2)设恰好用完800元可购买篮球a个和足球b个，根据总价=单价×数量，即可得出关于a、b的二元一次方程，根据a、b均为正整数，即可找出不同购买方案．
本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；(2)根据总价=单价×数量，列出关于a、b的二元一次方程．
23.答案：解：∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，∠𝐴𝐵𝐶=45°，
∴△𝐵𝐶𝐷是等腰直角三角形． ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷．
∵∠𝐷𝐵𝐹=90°−∠𝐵𝐹𝐷，∠𝐷𝐶𝐴=90°−∠𝐸𝐹𝐶，且∠𝐵𝐹𝐷=∠𝐸𝐹𝐶， ∴∠𝐷𝐵𝐹=∠𝐷𝐶𝐴． 在𝑅𝑡△𝐷𝐹𝐵和𝑅𝑡△𝐷𝐴𝐶中， ∠𝐷𝐵𝐹=∠𝐷𝐶𝐴∵{𝐵𝐷=𝐶𝐷， ∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐴𝐷𝐶
∴𝑅𝑡△𝐷𝐹𝐵≌𝑅𝑡△𝐷𝐴𝐶(𝐴𝑆𝐴)． ∴𝐵𝐹=𝐴𝐶；
(2)证明：∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸． 在𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐴和𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐶中
∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸{𝐵𝐸=𝐵𝐸， ∠𝐵𝐸𝐴=∠𝐵𝐸𝐶
∴𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐴≌𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐶(𝐴𝑆𝐴)．
∴𝐶𝐸=𝐴𝐸=2𝐴𝐶． 又由(1)，知𝐵𝐹=𝐴𝐶， ∴𝐶𝐸=2𝐴𝐶=2𝐵𝐹；
(3)证明：∠𝐴𝐵𝐶=45°，CD垂直AB于D，则𝐶𝐷=𝐵𝐷． H为BC中点，则𝐷𝐻⊥𝐵𝐶(等腰三角形“三线合一”)
连接CG，则𝐵𝐺=𝐶𝐺，∠𝐺𝐶𝐵=∠𝐺𝐵𝐶=2∠𝐴𝐵𝐶=2×45°=22.5°，∠𝐸𝐺𝐶=45°． 又∵𝐵𝐸垂直AC，故∠𝐸𝐺𝐶=∠𝐸𝐶𝐺=45°，𝐶𝐸=𝐺𝐸． ∵△𝐺𝐸𝐶是直角三角形， ∴𝐶𝐸2+𝐺𝐸2=𝐶𝐺2， ∵𝐷𝐻垂直平分BC， ∴𝐵𝐺=𝐶𝐺，
∴𝐶𝐸2+𝐺𝐸2=𝐶𝐺2=𝐵𝐺2；即2𝐶𝐸2=𝐵𝐺2，𝐵𝐺=√2𝐶𝐸， ∴𝐵𝐺>𝐶𝐸．
1
1
1
1
1
解析：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、𝐻𝐿.在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点． (1)利用ASA判定𝑅𝑡△𝐷𝐹𝐵≌𝑅𝑡△𝐷𝐴𝐶，从而得出𝐵𝐹=𝐴𝐶．
(2)利用ASA判定𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐴≌𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐶，得出𝐶𝐸=𝐴𝐸=2𝐴𝐶，又因为𝐵𝐹=𝐴𝐶所以𝐶𝐸=2𝐴𝐶=2𝐵𝐹 (3)利用等腰三角形“三线合一”和勾股定理即可求解．
1
1
1
24.答案：解：(1)如图1中，连接BP．
在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，
∵𝐴𝐶=𝐵𝐶=4，∠𝐶=90°， ∴𝐴𝐵=4√2，
∵点B在线段PQ的垂直平分线上， ∴𝐵𝑃=𝐵𝑄，
∵𝐴𝑄=√2𝑡，𝐶𝑃=𝑡，
∴𝐵𝑄=4√2−√2𝑡，𝑃𝐵2=42+𝑡2， ∴(4√2−√2𝑡)2=16+𝑡2， 解得𝑡=8−4√3或8+4√3(舍弃)，
∴𝑡=(8−4√3)𝑠时，点B在线段PQ的垂直平分线上； (2)①如图2中，
当𝑃𝑄=𝑄𝐴时，易知△𝐴𝑃𝑄是等腰直角三角形，∠𝐴𝑄𝑃=90°． 则有𝑃𝐴=√2𝐴𝑄， ∴4−𝑡=√2⋅√2𝑡， 解得𝑡=3． ②如图3中，
4
当𝐴𝑃=𝑃𝑄时，易知△𝐴𝑃𝑄是等腰直角三角形，∠𝐴𝑃𝑄=90°． 则有：𝐴𝑄=√2𝐴𝑃，
∴√2𝑡=√2(4−𝑡)， 解得𝑡=2，
综上所述：𝑡=3𝑠或2s时，△𝐴𝑃𝑄是以PQ为腰的等腰三角形． (3)如图4中，连接QC，作𝑄𝐸⊥𝐴𝐶于E，作𝑄𝐹⊥𝐵𝐶于F．
4
则𝑄𝐸=𝐴𝐸，𝑄𝐹=𝐸𝐶，
可得𝑄𝐸+𝑄𝐹=𝐴𝐸+𝐸𝐶=𝐴𝐶=4．
∴𝑆=𝑆△𝑄𝑁𝐶+𝑆△𝑃𝐶𝑄=2⋅𝐶𝑁⋅𝑄𝐹+2⋅𝑃𝐶⋅𝑄𝐸=2𝑡(𝑄𝐸+𝑄𝐹)=2𝑡(0<𝑡<4)．
1
1
1
解析：本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． (1)连接PB，由点B在线段PQ的垂直平分线上，推出𝐵𝑃=𝐵𝑄，由此构建方程即可解决问题； (2)分两种情形分别构建方程求解即可；
(3)如图4中，连接QC，作𝑄𝐸⊥𝐴𝐶于E，作𝑄𝐹⊥𝐵𝐶于𝐹.则𝑄𝐸=𝐴𝐸，𝑄𝐹=𝐸𝐶，可得𝑄𝐸+𝑄𝐹=𝐴𝐸+𝐸𝐶=𝐴𝐶=4.根据𝑆=𝑆△𝑄𝑁𝐶+𝑆△𝑃𝐶𝑄=2⋅𝐶𝑁⋅𝑄𝐹+2⋅𝑃𝐶⋅𝑄𝐸，计算即可；
1
1
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