高等工程数学数值分析部分试题与解答(1)

一、填空题 1. 求方程

xf(x)根的牛顿迭代格式是 .

xnf(xn)1f(xn)xn1xn

2. 在求解方程组AXb时，建立的迭代格式X(k1)BX(k)f对于任意初始向量X(0）及任意f收敛的充要条件是 .

(B)1 3.

设 f(x)x3x1,则差商(均差)f[0,1,2,3] ，

f[0,1,2,3,4] .

4. 设xj(j0,1,n,n)为互异节点，lj(x)(j0,1,n,n)为Lagrange插值基函数，

则lj(x) ，x2jlj(x) .

j0j01，x2

二、计算题

1. 已知单调连续函数yf(x)的如下数据：

xi f(xi) -0.11 0.00 1.50 1.80 -1.23 -0.10 1.17 1.58 求若用插值法计算，x约为多少时f(x)1（小数点后保留5位）。

L2(x)(xx0)(xx2)(xx0)(xx1)(xx1)(xx2)f0f1f2(x0x1)(x0x2)(x1x0)(x1x2)(x2x0)(x2x1)x1.321479

2. 试给出求解线性方程组

x12x22x31 x1x2x33

2x2xx5231的Gauss-Seidel迭代法，并说明其收敛性.

解：解线性方程组的系数矩阵可以表示为

000221221000 111010100001DLU， 221001220000则Gauss-Seidel迭代格式为

X(k1)BX(k)f(DL)1UX(k)(DL)1b，

0221这里B(DL)U021，b为右端向量，

002且(B)21，则该迭代法发散.

3. 用复化Simpson公式求积分

Iexdx01

1的近似值时，为使计算结果误差不超过104，问至少需要取多少个节点？

2解：由f(x)ex，f(4)(x)ex，ba1，有

Rnfba4(4)1114hf()e10

28802880n24解得n2.08441，故至少需将0,1三等分，即取2317个节点.

ny'y0;2hyn,y(0)1,2h并证明4. 用梯形方法解初值问题  证明其近似解为x当h0时，它收敛于原初值问题的准确解ye.

证：梯形公式为yn1yn由f(x,y)yyn1yn1h[f(xn,yn)f(xn1,yn1)]2hyn(ynyn1)222h2hynyn12h2hn2h2hn1y02h因 y01,yn.2h用上述梯形公式以步长h经n步计算到yn,故有nhx.

2h2hlimynlimlimh0h0h02h2hnxhex