2019年中考初三数学专题系列
辅助圆
模型一：“隐形圆”解点的存在性
模型分析“定边、定角”圆上找.具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点在两段 弧上.
1.如图，已知线段AB.
（1）请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P； （2）请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P； （3）请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P.
2.（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.请你在图①中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的点P；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图②中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的点P； （3）如图③，在正方形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图③正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的点P.
3.如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为___________.
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模型二：“隐形圆”解角的最值
模型分析同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角.如图①，∠B＝∠D ＝∠E；如图②，∠F＞∠B＞∠G.
4.如图，线段AB是球门的宽，球员（前锋）在距球门前一定距离的直线b上，在直线b上是否存在一点P，使得球
员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由.
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5.如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.
（1）使∠APB＝30°的点P有________个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有， 请说明理由.
模型三：“隐形圆”解线段的最值
模型分析平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值.具体分以下 三种情况讨论（规定OD＝d，⊙O半径为r）：
第一种：当点D在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为（d＋r）， DE的最小值为（d－r）；
第二种：当点D在圆上时，d＝r，如图③：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r＝2r （即为⊙O的直径），DE的最小值为d－r＝0（点D，E重合）；
第三种：当点D在⊙O内时，d 7.如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D 专业资料整理 WORD格式 运动.连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为_________（请在图中画出点P的运动路径） 8.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB上一个动点，将△AMN沿MN所在 直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值为___________.（请在图中画出点A′的运动路径） 9.如图，∠AOB＝45°，边OA，OB上分别有两个动点C，D，连接CD，以CD为直角边作等腰直角△CDE，当CD长 保持不变且等于2cm时，则OE的最大值为___________.. 模型四：“隐形圆”解面积的最值 模型分析三角形中，若一边长为定值，这一边所对的角度也为定值，则满足条件的点在两段弧上运动，当这个角 的顶点在其对边的中垂线与弧的交点处时该三角形的面积达到最大，此时该三角形为等腰三角形. 例：如图，AB＝2，∠APB＝90°，要求S△APB的最大值，当且仅当PO⊥AB时，△APB的面积最大. 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AD＝2，BC＝4，则四边形ABCD面积的最大值是___________.. 11.如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝4，则四边形ABCD面积的最小值是 ___________. 12.如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，分别以AC，BC为边向外作正方形ACED，正方形CBMN，连接EN， 则△ECN面积的最大值为___________.___.. 13.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上 运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（） A.B.C.D. 13.如图,在Rt△ABC中,∠B=60°,BC=3,D为BC边上的三等分点,BD=2CD,E为AB边上一动点,将 △DBE沿DE折叠到△DB′E的位置,连接AB′,则线段AB′的最小值为：___________. 专业资料整理 WORD格式 14.如图,O的直径为4,C为O上一个定点,∠ABC=30°,动点P从A点出发沿半圆弧AB?向B点运动(点P与点C在直 径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点。 (1)在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为___. (2)在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为___. 15.如图,在平面直角坐标系中,直线y=- 3 x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.点Q在直线AB上,点P在x轴上, 4 且∠OQP=90°. (1)当点P与点A重合时，点Q的坐标为___； (2)设点P的横坐标为a，则a的取值范围是___. 16.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于C(0,2)，连接AC、BC. (1)求抛物线解析式； (2)BC的垂直平分线交抛物线于D.E两点，求直线DE的解析式； (3)若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标。 17.在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、 BC边相交于点E.F，连接EF. (1)如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长； (2)将三角板从(1)中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究 并解答： ①∠PEF的大小是否发生变化?请说明理由； ②在旋转中，当点F与BC边中点重合时，求四边形AEFP的面积； ③直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长。 专业资料整理 WORD格式 专业资料整理 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容