函数的定义域、值域和最值

函数的定义域、值域和最值

一、函数的定义域：

（一）常见函数定义域：

xa0且a1yloga对数函数定义域为(0,)。

三角函数ysinx定义域为R；ycosx定义域为R；ytanx定义域为

{xxk2,kZ}。

（二）基本题型：

1.已知解析式求定义域：

（1）

yx23x41f(x)ln(x23x2x23x4)2x1logxx （2）

2.同一对应法则两个函数定义域问题：

2xfxf2（1）已知的定义域为[-1,1]，求的定义域。

xxf2flog2（2）已知的定义域为[-1,1]，求的定义域。

（3）已知fx的定义域为[0,2]，求

gxf2xx1的定义域。

3.与参数有关的函数定义域的求法：

2（1）已知f(x)mx6mxm8的定义域为R，求实数m的取值范围。 xxf(x)12m4（2）已知的定义域为R，求实数m的取值范围。

（3）已知函数f(x)1ax2231ax6

①若fx的定义域为R，求实数a的取值范围；②若fx的定义域为[-2,1]，求实数a的值。

二、函数的值域及最值：

（一）常见函数值域：

一次函数ykxb(k0)的值域为R。

4acb24acb2[,)(,]2yaxbxc(a0)4a4aa0a0二次函数，当时，值域为；当时，值域为。

反比例函数

ykk0x的值域为(,0)(0,)。

xya指数函数的值域为(0,)。

对数函数

xa0且a1yloga值域为R。

正弦函数、余弦函数的值域为[-1,1]；正切函数ytanx的值域为R。

（二）基本题型：

1.利用基本函数求值域：

xy164（1）

（2）下列函数中值域为(0,)的是（ ）

A．yx B.

121y51x C. y1x D.

2yx1xx0

2.反函数法：反函数的定义域与原函数的值域相同。形如

ycxdaxba0的值域可用此法。

5x1y4x2（1）

x2x[3,1]y2x1 （2）

2xbfxc的值域均可使用配方法。 F(x)af3.配方法：形如

22y64sinxcosx2x3yy0x2y1x0（1） （2）若，且，求的最小值。

4.换元法：形如yaxbcxda,b,c,d均为常数，且a0的函数常用此法。

换元时要注意两点：（1）新元的取值范围；（2）换元后的可操作性。

（1）求函数y2x41-x的最值。

（2）已知fx3,48，的值域为9，求

ygx12fx的值域。

5.判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得

a1x2b1xc1y2axb2xc22原函数的值域。形如

a1、a2不同时为零的函数常用此法。

2x24x7y2x2x3（1）

2fxx4ax2a6 （2）已知函数

①若fx的值域为[0,)，求a的值；②若函数fx0恒成立，求fa2aa3

3ab2ab,abc3abc 6.不等式法：基本不等式：

用不等式ab2ab要注意条件“一正二定三相等”，即①a0,b0②ab或ab为定值③ab三个条件缺一不可。

（1）求

fxxx1的最大值 （2）求

fxxx2x1x0的值域

22yx-3x3x2yx2x27.函数的单调性法：（1）求的值域 （2）求

x25x4 的最小值

8.数形结合法：

xfxmin2,x2,10xmina,b,c例 用表示a,b,c三个数中的最小值。设

x0，求fx的最大值。

9.导数法：

（1）将边长为1米得正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

2梯形的周长s梯形的面积，求s的最小值。

32fxxbxcx的导函数的图像关于直线x2对称 （2）已知函数

①求b的值； ②若fx在xt处取得极小值，记此极小值为gt，求gt的定义域及值域。

函数的单调性

一、常见函数的单调性

一次函数ykxb，当k0时，在(,)上是增函数；当k0时，在(,)上是减函数。

二次函数yaxbxc(a0)，当a0时，在在

(,-bb][-,)2a为增函数，在2a上为减函数。

2(,-bb][-,)2a为减函数，在2a上为增函数；当a0时，

反比例函数都是增函数。

ykk0x，当k0时，在(,0)和(0,)上都是减函数；当k0时，在(,0)和(0,)上

xxa0且a1在其定义域内均为增函数；当0a1时，yax和ylogayaa1当时，和xa0且a1yloga在其定义域内均为减函数。

2k,2kysinx在22kZ32k,2k2上为增函数，在2kZ上为减函数；ycosx在

2k,2kkZ上为减函数，在2k,2kkZ上为增函数；

为增函数。

k,kytanx在22kZ对号函数

yxkk0（，x，单调减区间为[k,0)和(0,k]，单调增区间为

k]和[k,)。

二、函数单调性的证明方法

1.定义法：

方法①任取x1,x2M，且x1x2，证明fx1fx2（或fx1fx2）

fx1-fx20fxx1-x2方法②任取x1,x2M，M上为减函数。

在M上为增函数；任取x1,x2M，

fx1-fx20fxx1-x2在

方法③任取x1,x2M，x1-x2fx1-fx20fx在M上为增函数；任取x1,x2M，

x1-x2fx1-fx20fx在M上为减函数。

2.导数法：设函数fx在某区间内可导。若fx0，则fx为增函数；若fx0，则fx为增函数。

三、判断函数单调性的常用方法：

1.定义法。

2.两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数。

3.奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。

4.互为反函数的两个函数有相同的单调性。 5.复合函数：同增异减。

四、练习题

2fxmxx5在2,)上是增函数，则m的 取值范围是-------------。 1.函数

2.偶函数fx在区间[0,)上单调递增，则满足

1f2x-1f3的

x取值范围是------------。

xfxx3e3. 函数的单调递增区间是------------。

4.函数yfx在(,)内有定义，对于给定的正数K，定义函数

fx2xfxfxKfKxKfxK，取函数

，当

K12时，函数fKx的单调递增区间为-------------。

5.函数

axx0f(x1)f(x2)fx0x1x2a3x4ax0满足对任意x1x2，都有成立，则

a的取值范围是-----。

6.

fxlogx22ax3a在2,)上是增函数，则实数a的取值范围为----------。

7.函数

fxxaxbab0，求fx的单调区间，并证明fx在其单调区间上的单调性。

8.已知

fx231x2ax23xa34时，判断fx在（-1,1）内的单调性。 ，当

9. fx是定义在R上的增函数，设Fxfxfax。（1）证明Fx在R上也是增函数；（2）证

a,0yFx明的图像关于点2成中心对称。

10已知函数. 的值；（2）设

fx13xx2axb3的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为y3x2，（1）求实数a,b

g(x)fxmx1是2,)上的增函数。①求实数

m的最大值；②当m取最大值时，是否存在

点Q，使得过点Q的直线若能与曲线yg(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标。若不存在，说明理由。