手拉手模型
模型 手拉手
AAEEDB图1EADDCBC图2
B图3C 如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE=。 结论：△BAD≌△CAE。
等腰三角形分为:等边三角形、等腰直角、任意等腰三角形，几种特殊情况分别讨论如下：
1、等边三角形
条件：△OAB，△OCD均为等边三角形 结论：导角核心：
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2、等腰直角三角形
条件：△OAB，△OCD均为等腰直角三角形 结论：导角核心：
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2
3、任意等腰三角形
条件：△OAB，△OCD均为等腰三角形，且∠AOB = ∠COD 结论：
核心图形：
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核心条件：
接下来，将针对以“两个等边三角形”为载体的模型与方法进行分析和讲解。 两个等边三角形放在一起，最常见的就是“手拉手模型”，这个模型包含了许多非常重要的结论和方法！
重点给大家分享一下两个等边三角形放在一起的模型，其中最最重要的就是 两个
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等边三角形共顶点的模型，俗称 “手拉手模型”。
针对这个模型的研究，一般分为三个方向：
一、不变性
二、特殊位置出现的特殊结论(临界点)
三、增加部分条件得出的新结论
首先，我们来研究一下这个模型中都包含哪些 “不变性质”。
第一个不变性质就是全等，如下图：
无论两个等边三角形的相对位置如何△ACD≌△BCE（SAS）始终成立。
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第二个不变性质是角度问题，如下图：
根据第一条性质的全等，得出∠1=∠2，再依据“蝴蝶模型”或者“8”字模型倒角或者“四点共圆”都可以得出AD和BE的夹角 ∠APB=60°，这个结论不随等边三角形的相对位置变化而变化，也具有不变性。
第三个不变性质是角平分线，如下图：
CP始终平分∠BPD，也就是说∠BPC=∠DPC =60°始终成立。
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证法1：
如下图，分别作BE和AD的垂线段CH和CK，由△ACD≌△BCE（SAS），可以知道△ACD和△BCE的面积相等，底也相等，全等三角形对应高也相等，所以高CH=CK.根据角平分线的性质，可以知道CP平分∠BPD.
证法2：
如下图，根据 ∠1=∠2，AC=BC，在BP上截取BF=AP，则△ACP≌△BCF（SAS），
于是，CF=CP，∠FCP=∠BCA=60°，所以△FPC是等边三角形。
这样，也就得出∠FPC=∠DPC=60°，CP平分∠BPD.
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第四个不变性质就是“等边+120°模型”（这里中考不做要求） 这个模型在这里始终会出现。 对角互补旋转
也就是说在这个模型中，BP=CP+AP，PE=CP+PD始终成立。
最后，以上这些结论看似简单，但是要想让学生彻底掌握，需要进行巩固和强化训练，训练的方式最好就变换不同的角度和相对位置，让自己再去证明一次，找到所有的全等、不变角、角平分线、线段和差模型、等性质。
比如，进行以下四个图形位置的训练：
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二、特殊位置出现的特殊结论
手拉手模型共线
下面我先给大家继续介绍经典几何模型---手拉手模型，特殊位置下的特殊结论，这也是历年数学中考常考的几何压轴题型之一。
例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
（1）△ABE≌△DBC （2）AE=DC
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（3）AE与DC的夹角为60 （4）△AGB≌△DFB （5）△EGB≌△CFB （6）BH平分∠AHC （7）GF∥AC
解析：（1）∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°， ∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE， 即∠DBC=∠ABE， 在△ABE和△DBC中， 易证明△ABE≌△DBC（SAS）
(2) ∵△ABE≌△DBC（SAS） ∴AE=CD；
(3) ∵△ABE≌△DBC， ∴∠AEB=∠DCB.
又∵∠HFE=∠BFC(对顶角相等) △HFE和△BFC中， ∠EHF=180-∠AEB-∠HFE; ∠CBF=180-∠DCB -∠BFC，
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∴∠EHF=∠CBF=60 ∴AE与DC的夹角为60。
(4)AB=BD,BG=BF, ∠ABG=∠DBF=60 ∴△AGB≌△DFB
(5)EB=EC,BG=BF, ∠EBG=∠CBF=60 ∴△EGB≌△CFB
(6)过B作BM垂直AE于M，BN垂直CD于N。 证明△ABM ≌△DBM，则BM=BN ∴BH平分∠AHC
（7）∵△AGB≌△DFB ∴BG=BF 又∠GBF=60， ∴GBF为等边三角形 ∴∠GFB=EBC=60, ∴GF∥AC
三、增加部分条件得出的新结论 （8）线段和差关系
AH=DH+BH 或 CH=BH+HE
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(提示：在AH取I,HI=BH CH取P,HP=BH) （9）△BGF等边三角形 （10）四点共圆:
ABHD四点共圆， BFHG四点共圆， CBHE四点共圆
总结： “两个共顶点的等边三角形的手拉手模型”，对于这个模型的研究，给出了三个方向：
一、不变性(三个)
二、特殊位置出现的特殊结论
三、增加部分条件得出的新结论
我们本次内容仅仅涉及了到对于基本模型的不变性质的研究。这些不变性质涉及到了全等、角度、角平分线以及等边+120度线段和差模型等。
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