3拉格朗日方程及振动

动能定理从能量的角度来描述物体的运动现象。现我们将力所作的功的概念进一步推广，可由能量的观点可推出拉格朗日方程。 （一）、势力场与势函数

如果质点在某空间内任何位置都受有一个大小，方向完全确定的作用力。即质点所受到的力仅与质点的位置有关，记为：F(x,y,z) 那么这个空间称之为力场。将F向坐标轴投影就有：

XFx(x,y,z) , YFy(x,y,z) , ZFz(x,y,z)

设上述的函数是单值、连续、并且具有一阶偏导数。 现我们计算F在力场中运动时所作的功，由功的定义知道：

W(FxdxFydyFzdz) (其中L为质点运动的轨迹)

L一般地讲，这个积分与质点运动的路径有关。现仅讨论与路径无关的情况。这对于理解物体运动的本质是很有意义的。

如果上述的线积分仅与质点的起始位置与终了位置有关，而与路径无关。由高等数学知该微分三项式为某一函数的全微分，即

dU(FxdxFydyFzdz)。显然U是坐标x，y，z的函数，则定义：

UU(x,y,z)———力场的势函数。

如果质点从M0运动到M，则代入上述的线积分则有：

WM0MM0MdUU(x,y,z)U(x0,y0,z0)

UUU并且 Fx ； Fy ； Fzxzy

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（二）、势能、势能函数

前面我们纯粹从数学的角度引进了势函数，通过势函数，我们可方便地计算有势力的功。势函数的概念比较抽象，但在矢量场的分析中具有普遍的意义。在我们力学分析中，还经常用到物理意义较为明显的势能函数，由势能函数来代替势函数。现我们来看两者的关系。首先来定义势能的概念。所谓势能即：

势能——当物体在势力场中某一位置时，具有作功的能量。

显然，势能具有相对的意义。选取不同的基准位置，则同一位置的势能具有不同的数值。

现以质点为例，由定义知：质点M点的势能等于质点从M点

运动到M00时，力场中的力所作的功。根据前面的讨论，这个功为

二点势函数的差。现我们用V来表示，即：

M0VWMM0MdUU0U

即 VU(x0,y0,z0)U(x,y,z)

显然V是x，y，z的函数。则我们称 V——势能函数。 现我们将基准面M0选定为零势面，即U00故又有：

VU

这就是说，势能函数与势函数仅差一个负号。由此我们又有

UVUVUVFx；Fy；Fz xxzzyy几种常见的具体问题的势能函数书上P 都有。

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势能函数可以判断系统在某位置是否稳定。

dV当dxxxMdV0

dxxxMd2V0且 2dx0

xx0则系统在xx0位置是渐近是稳定的。

（三）、机械能守恒定律：

设系统有两个位置（和两个瞬时）则：

T1V1T2V2常量

如果设一个状态为任意位置的，一个是初始的，则上式对时间求导数，可以得运动微分方程。即由T1V1TV常量，

dTdV0 dtdt机械能守恒定律在碰撞中常用，即碰撞前和碰撞后，机械能守恒（包括动量守恒，动量矩守恒等等）

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拉格朗日方程

在推出动力学普遍方程时我们用的是直角坐标来表示质点系的运动。一般地说用直角坐标来表示质点系的运动并不总是方便的，特别是研究多自由度的非自由质点系动力学问题中，如果采用广义坐标来研究则方便得多。

设有一具有理想的完整约束（即几何条件的约束）的非自由质点系，并设此质点系具有k个自由度数，故可用k个广义坐标q1,q2,,qk表示质点系的位置。作一直角坐标系0xyz，设质点系中任一质点Mi的位置，

可用矢量ri(xi,yi,zi)表示。显然，如果约束是非定常的，则位矢ri是广

义坐标及时间的函数。即

riri(q1,q2,,qk,t) (i1,2,,n) （1）

此处，n是质点系质点的数目。实际上这里也给出了质点系的约束方程

有nk个。riqj(j1,2,,k)

ririqj (i1,2,,n) （2）

j1qjk已知动力学普遍方程为：

(Fimiri)ri0

ni1展开后得：

nrFirimiiri0 （3）

ni1i1上式中左边第一项表示主动力系在质点系中的虚位移中的元功之和，写

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成广义坐标的形式，即

kFiriQjqj （4）

ni1j1式中，Qj是对应于广义坐标qj的广义力。

（左边是主动力和直角坐标表示，而右边是广义力和广义位移表示。用

不同的坐标，但表示的都是主动力所作的功，是一回事） （3）式左边第二项表示惯性力系在质点系中的虚位移中的元功之和，将（2）式代入得：

knririmrr(mrq)(mr)qj （5） iiiiijiiqji1i1j1qjj1i1nnk（注意上式中和式次序的交换）为了将上式中位矢对时间的导数也用广义坐标形式表示，将上式括号中的式子改写为：

ririddri （6） miri(miri)miriqjdtqjdtqj现在来证明上式中有关及的两个关系式：

1）、将（1）式位置矢量对时间求导数，可求得任一质点的速度

kririj （7） viriqtj1qjrij表示广义坐标对时间的变化率，此式中，q称为广义速度。并且知道

tri和仅仅是广义坐标及时间的函数。由此可求得一个关系式 qj 32

viri （8） qjq2）、将（7）式对任一广义坐标q求偏导数，得：

22kviriririj qqqqtj1qqjj只是时间的函数与其他广义坐（这里注意广义坐标相互是独立的，故q标无关）

另一方面，直接对（1）式位置矢量求广义坐标q的偏导数后，再对时间t求偏导数得：

22kriridrij ()qdtqtqj1qqj由此得到另外一个关系式（比较上面两式）

rrdi(i) qjdtqj将这两个关系式代入（6）式之中，可得到：

22mvmvdrvvdiiiii(mvi)mvi()() miviiiiij2jqj2qjdtqqjdtq（矢量自身点乘即平方）将此结果代入（5）式中，并引入质点系动能T

mivi2 T2i1n由此可求得：

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kdTTmrr()qj （10） iiijqji1j1dtqn将（4）式和（10）式代入普遍方程（3）式中，最后求得

dTT(Qj)qj0 jqjdtqj1显然，上式对于任意的广义坐标变分qj恒等于零，因此，在各项中qj的系数，即所有括号项中均分别为零上式才恒成立，即

kdTTQj (j1,2,,k) （11） jqjdtq这就是第二类拉格朗日方程。它描述具有完整约束的非自由质点系动力学的普遍规律。它是由k个二阶常微分方程组成的方程组，其中包含k个独立广义坐标。如将此方程组积分，就可求得解q1,q2,,qk由时间参数表示的函数，这就是以广义坐标表示的质点系运动方程。它含有2k个由起始条件确定的常数，即t0时的，质点系广义坐标和广义速度决定。

当主动力具有势时，设质点系的势能为V，这主动力的广义力为：

V (j1,2,,k) Qjqj因而拉格朗日方程可写成

dTT (j1,2,,k) ()jdtqqjqj由于势能V不依赖于广义速度，因而有

V0。如引入拉格朗日jq34

函数LTV，即它表示质点系的动能与势能之差。则上式可改写成：

dLL()0 (j1,2,,k) jdtqqj此即在保守系统中，拉格朗日方程的形式。

由此可知，当解决在保守系统中的质点系中的质点系动力学问题，即要写出系统的运动微分方程时，就归结成为求拉格朗日函数LTV的问题。显然，拉格朗日函数具有能量的量纲。这不但在机械系统中成立，在电动力学中，有些问题也可求出拉格朗日函数，从而通过拉格朗日方程，来建立电动力学的运动微分方程，故拉格朗日函数及拉格朗日方程，具有更为普遍的意义。

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求系统固有频率的方法

物体结构的固有频率是表示系统的一种固有特性，故计算固有频率，在工程动态问题中是很重要的，必须熟练掌握。

一、标准运动微分方程法

用动力学方法（动量定理、动量矩定理、动能定理，或拉格朗日方程等），建立系统的运动微分方程。将方程写成标准形式，即：

2nxx0

再由微分方程坐标参数的系数决定n。注意这里所谓的坐标可以是线位移，也可以是角位移。

例 可绕水平轴摆动的物体，称为复摆（亦称物理摆），设物体的质量为m，对轴的转动惯量为J，中心C至轴O的距离为l，如图所示。求复摆微幅振动时的振动周期T。

解：取偏角为坐标，以逆时针为正。由定轴转动时的动量矩定理，得复摆的运动微分方程为：

O l mglsin J在很微小时，可令sin，于是上式可写为：

 C mg mgl0 J这就是所求系统的微分方程标准形式。其坐标前的系数就是系统固有

mgl圆频率的平方，即p,则系统的固有周期为：

JT2J2pmgl

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二、静伸量长法

对质量弹簧系统（如图）而言，当系统在平衡位置时，弹簧有静伸长st，(如图)。 其平衡方程为：kstpmg。

k m l0 故kmgst。代入固有频率的表达式，则有：

kmst nmgmst （1.2.1）

stf12ggP 进一步又有：

st （1.2.2）

其中：k、m应为系统的等效刚度及等效质量。这些都要记住

例 均值悬臂梁长为l，弯曲刚度为EI，重量不计，自由端附有重如图所示。试求出Pmg的物体，系统的固有频率。

l m st

y 解：由材料力学知，在物体重力的作用下，梁的自由端将有静挠度

Pl3st

3EI1代入公式得：f21st2g3EIg13Plst23EIml3st

3EI 3mlst1答：系统的固有频率为：f2

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三、能量法

在阻尼可以略去不计的情况下，系统为一保守系统。振系在自由振动时的动能和势能之和（即机械能）保持常值。（仅质量—弹簧系统） 现我们仍以质量——弹簧系统为例(如图)。 不考虑阻尼，因大多数情况下小阻尼对固有频 k 率的影响不大。

0 现设系统的机械能是守恒的：那么系统在任 m x 何一个位置上具有的动能T和势能V的总和不变。就是说：

U机TV常数 (a)

当振体在平衡位置以外的任一位置，其动能可表示为：

2T1mx (b) 2而这位置的势能V包括两部分，即：

VVgVE (c)

振体的重力势能 ——— Vg ；及弹簧势能 ———VE 取系统的平衡位置为势能的零点，则

Vgmgx

0VEx(mgkx)dxmgx1kx2

22代入(c)式则得： VVgVE1kx (d)

2U机TVE常数 (e)

在振动过程中，振体达到平衡位置时，x0即系统的势能为零，但

振体的速度最大。也就是说，系统的全部机械能等于全部动能，即

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12mTmaxmxax (f) 20，当振体达到极端位置时，即xxmax时，其速度等于零，即:x故其动能为零。也就是说，系统的势能达到最大并且等于全部机械能，即：

Vmax1kxmax (g) 2由于系统机械能是守恒的故有：

TmaxUmaxVmax （1.2.3） 即

2m2k2maxxmax x22于是我们就有：

maxxkn (1.2.4) xmaxm这就是计算系统固有频率的能量法。 顺便说一下，如果将(a)式对时间求导数，即

dU0 （1.2.5） dt可得到系统的微分方程，然后再用标准微分方程法求的系统的固有频率。

一般来说固有频率的计算有三种方法三种法的特点： 对于单个物体来说，用标准微分方程法较简单。 对于已知静伸长量时，用静伸长量法较为方便。尤其是对一些连续弹性体来说更为方便。

而能量法则主要用于系统较复杂的系统。象一些机构问题，则能显示出

能量法的优点。因问题仅归结为写出系统的动能和势能即可。条件仅是系统的机械能守恒

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如图所示的机构，滑轮B和轮C半径相同且r5cm，质量相等且

mBmC4kg。轮心C处联结一弹簧，并与斜面平行300。绳子A端挂一重物，质量为5kg。弹簧静变形st10cm，轮C作纯滚动时，求系统在平衡位置附近作微幅振动的频率。

解：先求弹簧系数，静平衡时， 一、取C轮为研究对象（如图）； 二、受力分析（如图）。作用在轮上的力

C 300 ATmAg

r kst 有绳子拉力TmAg，轮自重mCg，弹簧拉力

kst，以及法向反力N和摩擦力F。

C D N F

三、列平衡方程。对C轮与斜面的接触点D取矩方程，即

MDsinkst)r 00： mAgr(mCg可解得： kmAgrmCgsinst294.3N(m )用能量法求系统的固有频率。 一、取系统为研究对象（如图）；

二、运动分析C轮作纯滚动，B轮作定轴转动；重物A作直线平动；建立坐标。系统作微振动时，取重物A位移x（如图）为系统的自由度坐标。

三、受力分析（如图）

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四、写出系统的动能。由运动分析以及刚体不同运动形式动能的定义式，可得系统的动能为

1111222JCCJBBmAx2 TmCx2222再由各物体的运动关系对系统动能的表达式将其变量归一化。即因

xr；xCBr。

以及轮的转动惯量为：J1212C2mCr；JB2mBr

则系统的动能可表示为：

T111x211x212mCx222mCr2r222mBr2r22mAx2 12(32m1C2mBmA)x2 写出系统的势能。

由于我们将坐标的原点取在静平衡位置，故重力势能没有，系统只

有弹性势能。 V122kx

显然最大动能以及最大势能为：

T131max2(2mC2mBmA)x212max；Vmax2kxmax 由计算系统故有频率的能量法，得到系统的故有频率为：

xmax131nx(mCmBmA)4.76rads

maxk22

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电动机重2500N(，)由四个刚性系数

k300Ncm的弹簧支持。在电动机转子上装

有2(N)的物体，偏转轴中心距离为e1(cm)。已知电动机被限制在铅垂方向运动，求：

（1）发生共振时的转速；

（2）当转速为1000rmin时，稳定振动的振幅。

解：（1）系统为单自由度系统。支持弹簧时四

k e k 个并联形式，其等效弹簧刚性系数为：ke4k1200Ncm。系统的整

25002体质量为：M250.2(kg)。则系统的固有频率为：

gke120000ng21.68(rads)

M2502故发生共振的转速为：g21.68(rads)；（下面注意单位换算）

（2）当转速为1000rmin时，2n100(rads)。系统所受的10激励力为：Fmesint，最大激励力为：(m为偏心物体的质

Hm2e 量)Hme；系统单位质量最大激励力为：hMM2me2无阻尼强迫振动振幅为：B0.00084(cm) 222Mn1()2hnn 42

C1 A A 400 第 题图 F2 300 第 题图 F 200 P M a v0 4m OA M 600 r 3m l O1  k E O1 vA y  mCg   v O x h 2R P   a C b E ⅠⅡⅢⅣⅤ 1 O D l O1 1 v0 xA r3 a 1 x E B M O A C O R y R B v vr s C x st O A A mAg 43 XA

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