抛物线及其标准方程教案及教学设计与说明

《抛物线及其标准方程》

教学设计与说明

焦作市第十一中学

刘士祥

《抛物线及其标准方程》教学设计

教材：北师大版高中《数学》选修2-1第三章第二节第一课时

授课教师： 焦作市第十一中学 刘士祥

教学目标：

1.知识与技能

理解抛物线的定义；掌握抛物线标准方程的求法，以及抛物线四种形式和p的几何意义。 2.过程与方法

通过本节课的学习,使学生经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；巩固圆锥曲线的研究方法，以及推导抛物线方程所用的坐标法。进一步体会方程思想，数形结合思想，分类讨论思想在数学中的应用. 3.情感态度与价值观

感受抛物线是刻画现实世界中较多事物的曲线，激发学生学习数学的兴趣和研究问题的热情。

教学重难点：

重点：抛物线的定义；p的几何意义；抛物线标准方程及应用。 难点：抛物线定义的形成过程；如何建系求抛物线的标准方程。

教法与学法：

以“引导启发”式为主导，教师是课堂教学的组织者与引导者，突出学生的主体地位。 以小组合作学习形式，结合探究过程与设置的思考问题，让学生在自主思考、合作交流中探究新知识。

教学手段：

多媒体辅助教学、实物投影、几何画板演示。

教学过程：

一、提出问题，课堂引入

【课件投影】

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问题1.我们知道，二次函数的图像是一条抛物线，你能发现我们身边的抛物线吗？

设计意图：通过学生回答和图片展示，使学生对抛物线有感性认识，引发学生思考，让学生体会到 “抛物线在生活中有广泛的应用”，激发学生学习抛物线的兴趣。 紧接着提出一个实际问题：“农夫取水” 【课件投影】 “农夫取水”问题

小河水井一块田地旁有一条小河，田里有一口水井，水井到小河有一定的距离,假设小河和水井内都有足够的水，本着就近取水的原则,请在田地中作一个边界，使得位于边界一侧的点到小河里取水，位于另一侧的点到水井处取水。 设计意图：问题本身来源于生活，有很强的现实性和趣味性，在教师叙述结束后试图激活学生的思维，课堂上气氛一定会更加热烈，引人入胜；同学们一定会表现得跃跃欲试，很想一探究竟。该怎么画呢？

师生互动把“农夫取水”问题转化为数学模型：

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问题2：农夫取水问题:如图：直线l表示一条小河，定点F表示一口水井，点F到直线l的距离为定值p（p>0），本着就近取水的原则，所作边界上的点应该到点F的距离等于到直线l的距离。

二、合作交流，探究新知

1、探究问题 【课件投影】

问题3：边界上的每一点M应当具有什么特征？ 问题4：大家能做出一个这样的M点吗？ 问题5：如何做出一般的M点？（介绍画法） 问题6：所有的M点组成的点集是什么曲线？(抛物线)

设计意图：通过问题串引导学生探究。这一部分目标是探究抛物线的定义，分成了3个小部分：1.得出边界上的点的特征，并初步确定一个边界上的M点（问题4,问题5）。2.师生合作得出一般M点的画法。3.通过作图与几何画板来呈现M点构成的图形。

（1）每一个环节都试图让足够多的学生参与进来。试图引导学生在多角度全方位的思考后在脑海中形成MFd的动点M的画法和曲线特征。这一切都是他们自己主动参与探究的结果，让学生体验探究的成功与收获。

（2）环节与环节之间环环相扣，层层深入。教师循循善诱，步步为营，将探究过程一点一滴推进，从而加强学生的科学精神的培养和思维严谨性的锻炼。最后利用几何画板将点M组成的集合呈现出来，再从更高的感性上来认识抛物线。体现出螺旋上升的教学过程，为下一步更高的理性认识——抛物线定义做好铺垫。

在学生探究点集组成什么曲线时，教师不断地强调M满足MFd的几何特征，这是抛物线的本质属性，也是抛物线定义的核心。 2、形成概念

通过几何画板动画演示，让学生试图给抛物线下定义。 【课件投影】

抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线L (l不过F）的距离相等的点的集合叫作抛物线。定点F叫作抛物线的焦点,定直线L叫作抛物线的准线。

至此，对抛物线的认识已经上升到了理性认识，接着又提出问题8

问题8：定义中为什么要求直线l不过定点F？如果点F在直线l上，轨迹又是什么？（引

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发学生思考，学生回答：过点F且垂直l的一条直线）

设计意图：使学生深入认识抛物线的定义，重视定义中的条件。到此教学难点1完全突破。 3、深化探究

下面转到教学难点2---抛物线方程的求法

问题9：请同学们回忆椭圆的标准方程推导的方法与步骤是什么呢？(学生回答)

建系，设点，列式，坐标化，化简，检验

设计意图：回忆前面所学知识，做好知识准备。

问题10：“农夫取水”问题中所得的抛物线开口向右，焦点到准线的距离为常数P(P>0)，求此抛物线方程时，如何建立坐标系呢？（学生分组思考交流）

教材只给出了一种建系方式，但学生了解建系的基本方法，所以在建系时可能不只一种.为了体现学生的主体地位，这里先让学生建系，教师再汇总学生的结果，得出三种建系方案，并用投影仪展示. 然后把全班学生分成三组让学生求出三种建系情况下的方程，为标准方程的理解奠定基础.部分学生在推导方程时存在困难，及时给出提示.（建系，求方程分开进行，有利于难点的突破） y

（1） o F x y22pxp2（2） y o F y x y2pxp22（3） o F x y2px2实物投影学生推导结果比较，选择最优。

设计意图：让学生亲身经历抛物线方程的推导过程，加强学生对坐标法的认识，培养学生主动学习，合作学习的精神，有利于难点的突破。

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4、建立方程 【课件投影】

方程 y2 = 2px（p＞0）叫作抛物线的标准方程。其中焦点F（

p 的几何意义: 焦 点 到 准 线 的 距 离。 （强调利用数形结合的思想理解p的几何意义）

一般地，我们把顶点在原点、焦点F 在坐标轴上的抛物线的方程叫作抛物线的标准方程. 5、适度拓展 【课件投影】

问题11：一条抛物线在坐标系中的位置不同，则方程也不同.顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线还有其他形式吗？ (引发学生思考，交流得出，还有三种形式)

OFxpp，0），准线x = 

22yl图形 ly标准方程 焦点坐标 准线方程 OFx ylO py2 2pxp ,0x2p02Fx y 2pxyp ,0p022x p 2FOx2pyx2 llyOFx p0p 0,2 p0,2 py2x22py p0y p2学生观察图形，交流总结得出相应结论，并总结记忆规律：一次项定轴，正负定方向。 设计意图：培养学生观察、类比、概括的能力，突出抛物线方程和焦点、准线的内在联系，

有利于学生知识的掌握。学生在探究问题11时，可能会利用图象变换的方法来解决，这样体现了在解析几何中数与形的密切关系，进一步掌握数形结合的思想。

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三、学以致用，巩固提高

1、例题讲解 【课件投影】

例1.根据下列条件求抛物线的标准方程：

3（1） 已知抛物线的焦点坐标是F(2,0)； （2）已知抛物线的准线方程是x

2

例2.已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离是2，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.

学生独立完成，教师作简单分析，然后让学生看教材，注意解题过程的书写格式。 设计意图：引导学生善于看教材，重视教材上的例题，规范学生解答题的过程。 例3.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

(1)y2x

(2)y4x2(3)4y23x

（投影学生做题情况，并让学生试着总结方法）

学生总结思路：第1步：将抛物线方程化为标准形式；第2步：求出定焦点位置，画出草图；第4步：求出焦点坐标和准线方程

设计意图：题目的设计由易到难，层层深入。通过对解题方法的总结，使学生形成解题技能，提高解题能力。

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p的值；第3步：确2

2、巩固练习 【课件投影】

1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

(1)y4x2

(2)y24x

学生总结思路：先将抛物线方程化成标准形式，数形结合求出焦点坐标和准线方程。 2. 根据下列条件求抛物线的标准方程： （1）焦点F（-1,0） （2）准线：y=2

学生总结思路：先定型，再定量.由焦点位置或准线方程确定抛物线的形式，然后求出 p 的值。

设计意图：当堂检测，反馈效果，总结方法，提升解题能力，感受成功的喜悦。 思维升华 【课件投影】

求顶点在原点，经过点p(4,2)，且焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程.

设计意图：满足层次较高学生的学习要求，渗透数形结合的思想和分类讨论的思想。 3、回顾反思 【课件投影】 1.知识内容：

（1）抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线L (l不过F）的距离相等的点的集

合叫作抛物线。定点F叫作抛物线的焦点,定直线L叫作抛物线的准线。 （2）抛物线的标准方程：

①焦点在轴正半轴：

； ②焦点在轴负半轴：；

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③焦点在轴正半轴：

（3）p的几何意义：焦点到准线的距离。 2.学习中用到的数学思想和方法：

；④焦点在轴负半轴：.

（1）类比的思想；（2）数形结合思想；（3）分类讨论思想； （4）坐标法； （5）待定系数法。 设计意图：回顾本节课所学知识，加深印象。 4、作业设置：必做题，选做题，思考题 【课件投影】 必做题：

教科书76页 A组2，3，4 选做题：

（1）求过点A(3,2)的抛物线的标准方程.

（2）求对称轴为x轴,抛物线上的点(m,8)到焦点的距离等于17的抛物线的标准方程.

思考题：

二次函数 yax2(a0)的图像是抛物线，它是抛物线标准方程吗？它的焦点坐标和准线方程是什么？

设计意图:分层设置，满足不同程度学生的需要。将二次函数的图像与本节所学抛物线对比联系，使学生形成完整的知识体系。

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《抛物线及其标准方程》教学设计说明

教材：北师大版高中《数学》选修2-1第三章第二节第一课时

授课教师： 焦作市第十一中学 刘士祥

一、教学内容的本质、地位、作用

《抛物线及其标准方程》是北师大版教材高中数学选修2-1第三章第二节第一课时的内容。本章主要研究抛物线的定义、图像，标准方程，以及它们在实际生活中的简单应用。

通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础。而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养，对学生进一步理解坐标法和数形结合思想有很好的作用，也进一步巩固了圆锥曲线的研究方法。

二、教学目标分析

根据新课程标准要求,结合新课程理念教材特点以及学生的认知情况，我制定了如下教学目标： 1.知识与技能

（1）理解抛物线的定义； （2）掌握抛物线标准方程的求法； （3）抛物线四种形式； （4）p的几何意义。 2.过程与方法

通过本节课的学习，使学生经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；巩固圆锥曲线的研究方法，以及推导抛物线方程所用的坐标法。进一步体会方程思想，数形结合思想，分类讨论思想在数学中的应用。 3.情感态度与价值观

感受抛物线是刻画现实世界中较多事物的曲线，激发学生学习数学的兴趣和研究问题的热情。培养学生抽象概括和类比迁移的能力，增强学生主动探索的意识、自主思考的习惯与合作探究的团队精神。

数学教学中应该以知识为依托，以思想方法为核心，以提高学生的能力素质为目的。根据教材的特点、学生身心发展的合理需要，本节课在知识与技能上只要求学生了解圆锥曲线的共同特征及其简单应用，适度拓展了圆锥曲线的统一定义，要求学生能够熟练运用

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直接法和定义法求解曲线方程。本节课的难点是抛物线标准方程的探索。所以，在探究过程中，结合学生的知识储备与认知能力，通过巧妙的问题设置，让学生亲身参与探究抛物线标准方程的过程，经历观察、发现、猜想、探索、归纳的科学探索过程，渗透“从特殊到一般，再从一般回到特殊”的科学研究方法，鼓励学生在自主思考、合作交流中学习新知识。在学生学习过程中，强化数学思想方法的运用，培养学生的数学思维能力。

三、教学问题诊断及措施

1．教学中需要注意的几个问题

（1）本节课的学习要运用到前面所学知识，要提前做好知识准备； （2）在探索抛物线定义和标准方程的过程中，注意思考的严谨性； （3）强调说明定直线不过定点。 2．所采取的措施

（1）在引入课题时，通过与实际生活相联系，激发学生学习的兴趣；

（2）在对抛物线定义的探究过程中，先通过学生之间讨论、交流、实验、让学生教学生，然后教师作出解释；在探究抛物线的标准方程时，让学生自己主动参与到推导过程当中，实现学生的主体地位，让学生体验成功的喜悦；

（3）借助几何画板演示，形象直观的给予说明。

四、教法特点及预期效果分析

1.教法特点

《课程标准》强调：要在课堂教学中突出学生的主体地位，注重学生的自主、合作、探究。为了实现这一教学理念，结合本节课特点，以“引导启发”式为主导，本课设计了三个认知层次：一、课堂引入，提出问题；二、合作交流，探究新知；三、学以致用，巩固提高。探究过程分为五个环节：探索发现——大胆猜想——深入探究——得出结论——深度拓展。认知层次层层深入，探究过程环环相扣，顺利的完成了教学目标。

课堂教学中，教师是课堂教学的组织者和引导者，突出学生的主体地位，鼓励学生积极参与教学活动。在教师的组织和引导下，学生通过动手实践、独立思考、自主探索、合作交流等方式，经历了知识的生成过程，享受了成功的愉悦。通过创设适当的问题情境，引导学生在行为和思考上积极、主动的参与，激发了学生的学习兴趣，师生之间、生生之间保持了有效的互动。教学中，随时发现、肯定学生的闪光点；同时，结合学生暴露出的思想或方法上的问题，给予适时点拨。

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利用多媒体辅助教学，借助实物教具、几何画板演示，形象直观，方便学生理解知识；使用实物投影仪，让学生展示解题过程并讲解，让学生树立自信心，培养学生的综合素质。

2.预期效果分析

通过本节课的学习，学生会对抛物线有了新的认识，了解了抛物线的定义和标准方程，能够运用解决一些简单问题。通过解题计算，学生能够熟练运用直接法和定义法求解曲线方程。

教育的本质不在于告诉他一个真理，而在教他怎样去发现真理。在亲身参与探究抛物线定义及标准方程中，学生经历了观察、尝试、探究、归纳的科学探索过程，了解了一般的科学研究方法，使学生的逻辑思维能力得到一定程度的提高。

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