(自己整理)圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习

圆锥曲线大综合

第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题

一．常考题型

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题

题型十：范围为题（本质是函数问题）

题型十一：存在性问题（存在点，存在直线ykxm，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）

二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题

2.交点与中点弦问题 3.弦长及面积问题 4.对称问题 5.范围问题 6.存在性问题 7.最值问题

8.定值，定点，定直线问题

第二部分 知识储备

一． 与一元二次方程ax2bxc0(a0)相关的知识（三个“二次”问题）

1. 2.

判别式：b24ac

韦达定理：若一元二次方程axbxc0(a0)有两个不等的实数根x1,x2，

2

1

则x1x23.

bc，x1x2 aa2求根公式：若一元二次方程axbxc0(a0)有两个不等的实数根x1,x2，

bb24ac则x1,2

2a二．与直线相关的知识

1. 2.

直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：ytan，[0,)；

②点到直线的距离公式：d式）

3.

Ax0By0CAB22（一般式）或dkx0y0b1k22 （斜截

弦长公式：直线ykxb上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离：

AB1k2x1x2(1k2)[(x1x2)24x1x2](或AB14.

两直线l1:① 5. 则x1y1y2) k2y1k1x1b1,l2:y2k2x2b2的位置关系：

l1l2k1k21 ②l1//l2k1k2且b1b2

中点坐标公式：已知两点A(x1,y1),B(x2,y2)，若点Mx,y线段AB的中点，

x1x1yy2 ,y122三．圆锥曲线的重要知识

考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线

1. 2.

圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程

②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程 3. 等

4.

圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数a,b,c三者的关系，p的几何意义

2b22b2圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆，双曲线，抛物线2p

aa

2

②焦点三角形的面积：p在椭圆上时SF1PF2b2tan2

p在双曲线上时SF1PF2b2/tan2

四．常结合其他知识进行综合考查

1． 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系 2． 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识 3． 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等

4． 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质

5． 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等

五．不同类型的大题 （1）圆锥曲线与圆

例1.（本小题共14分）

3x2y2已知双曲线C:221(a0,b0)的离心率为3，右准线方程为x

3ab（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l是圆O:xy2上动点P(x0,y0)(x0y00)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A,B，证明AOB的大小为定值…

【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

22a23c3，解得a1,c3，

（Ⅰ）由题意，得c3ay21. ∴bca2，∴所求双曲线C的方程为x2222222（Ⅱ）点Px0,y0x0y00在圆xy2上，

圆在点Px0,y0处的切线方程为yy0化简得x0xy0y2.

3

x0xx0， y0

2y21x22222由及x0y02得3x04x4x0x82x00， 2xxyy2002∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0x02， 2222∴3x040，且16x043x0482x00，

设A、B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2，

24x082x0则x1x22， ,x1x223x043x04∵cosAOBOAOBOAOB，且

OAOBx1x2y1y2x1x212x0x12x0x2， 2y0x1x21242x0x1x2x0x1x22 2x02222x082x082x08x0142 2223x042x03x043x042282x082x0220.

3x043x04∴ AOB的大小为90. 【解法2】（Ⅰ）同解法1.

22（Ⅱ）点Px0,y0x0y00在圆xy2上，圆在点Px0,y0处的切线

方程为yy0x0xx0y02y21x，化简得x0xy0y2.由及2xxyy20022x0y02得

3x3x202024x24x0x82x00 ①

24y28y0x82x00 ②

4

2∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0x02， 2∴3x040，设A、B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2，

2282x02x08则x1x22， ,y1y223x043x04∴OAOBx1x2y1y20，∴ AOB的大小为90.

22222（∵x0y02且x0y00，∴0x02,0y02，从而当3x040时，方程①

和方程②的判别式均大于零）.

x2y21t0的左顶点，直线练习1：已知点A是椭圆C:9tl:xmy1(mR)与椭圆C相交于E,F两点，与x轴相交于点B.且当m0时，

△AEF的面积为

16. 3（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线AE，AF与直线x3分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由.

（2）圆锥曲线与图形形状问题

x2例2.1已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．

4(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

x2解：(1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．

4因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．

31＋m2＝1，即m＝.

2411所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝3.

22所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得(2)假设四边形OABC为菱形．

因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，

m≠0)．

5

x24y24,由消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. ykxm设A(x1，y1)，C(x2，y2)， 则

x1x2y1y2x1x24kmm，. km22214k2214k所以AC的中点为Mm4km,. 2214k14k1. 4k因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为因为k·1≠－1，所以AC与OB不垂直． 4k所以OABC不是菱形，与假设矛盾．

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．

x2y2练习1：已知椭圆C：221(ab0)过点(2，1)，且以椭圆短轴的两个端

ab点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设M（x,y)是椭圆C上的动点，P（p,0)是X轴上的定点，求MP的最小值及取最小值时点M的坐标.

（3）圆锥曲线与直线问题 例3.1已知椭圆C:x22y24，

（1）求椭圆C的离心率.

（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，求直线

AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论.

x2y21， 解析：⑴椭圆的标准方程为：42a2，b2则c2，离心率ec2;

a222xy2相切.证明如下： AB⑵直线与圆

法一：

6

设点AB的坐标分别为x0y0t2，其中x00. 因为OA⊥OB，所以OAOB0，即tx02y00，解得t2y0. x0t2当x0t时，y0，代入椭圆C的方程，得t2,

2故直线AB的方程为x2.圆心O到直线AB的距离d2.

22xy2相切. AB此时直线与圆

y2当x0t时，直线AB的方程为y20xt，

x0t即y02xx0ty2x0ty00. 圆心O到直线AB的距离

d222y04，t又x02x0ty0.

2y022x0t2y0，故 x024x0x0d22y02x0x022x0y04y4x2020x8x162x4020202.

此时直线AB与圆x2y22相切. 法二：

由题意知，直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为ykx，OA⊥OB，

①当k0时，A20，易知B02，此时直线AB的方程为xy2或xy2， 原点到直线AB的距离为2，此时直线AB与圆x2y22相切； 1②当k0时，直线OB的方程为yx，

kykx联立22x2y422k212k2得点A的坐标12k22k212k2或12k；

1yxk得点B的坐标2k2， 联立y2

7

22k由点A的坐标的对称性知，无妨取点A212k212k2k于是直线AB的方程为：y2进行计算， 12k212k22x2k2kk12k21k12k2x2k，

2222即k12kx1k12ky2k20，

原点到直线AB的距离

d2k22k12k21k212k222,

此时直线AB与圆x2y22相切。 综上知，直线AB一定与圆x2y22相切. 法三：

①当k0时，A20，易知B02，此时OA2OB2，

AB222222，原点到直线AB的距离dOAOBAB22222，、

此时直线AB与圆x2y22相切； 1②当k0时，直线OB的方程为yx，

k设

Ax1y1Bx2y2，则

OA1k2x1，OB1ky221k2，

2ykx联立22x2y4222k212k2得点A的坐标12k22k212k2或12k；

于是OA1kxA41k212k221k212k22，OB21k2,

AB41k221k212k21k22，

21k2所以dOAOBAB212k221k22,直线AB与圆

x2y22相切；

12k2

8

综上知，直线AB一定与圆x2y22相切

x2y2练习1：已知椭圆C:221(ab0)过点(0,1)，且长轴长是焦距的2倍. 过

ab椭圆左焦点F的直线交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由；

（Ⅲ）若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率k的取值范围.

（4）圆锥曲线定值与证明问题

例4.1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为点到两个焦点的距离之和为4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点

3，且椭圆C上的2N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：|AM||AN|2|OP|2． x2y2解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为221(ab0)，

aba2b2c2,3c,由题意知解得a2，b1． 2a2a4,x2y21．……………………………5分 所以椭圆C的标准方程为4（Ⅱ）设直线AM的方程为：yk(x2)，则N(0,2k)．

由 yk(x2)，22x4y4,得(1+4k)x16kx16k40（*）．

2222设A(2,0)，M(x1,y1)，则2，x1是方程（*）的两个根，

28k2所以x1．

14k228k24k,)． 所以M(14k214k2

9

1616k241k228k228k224k2 |AM|(． )()22222(14k)14k14k14k |AN|44k221k2．

41k221k28(1k2)|AM||AN|．

14k214k2 设直线OP的方程为：ykx．

由 ykx，22x4y4,得(14k)x40．

2224k42y设P(x0,y0)，则x0，． 014k214k2244k288k22所以|OP|，2|OP|． 2214k14k2所以|AM||AN|2|OP|．

2X2y23例4.2:已知椭圆C：221 （a>b>0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，

2ab0），△OAB的面积为1.

（I）求椭圆C的方程；

(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。 求证：AN•BM为定值。

6x2y2练习1：已知椭圆C:221(ab0)的离心率为,椭圆短轴的一个端点与

3ab

10

两个焦点构成的三角形的面积为

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

52. 3(Ⅱ)已知动直线yk(x1)与椭圆C相交于A、B两点. ①若线段AB中点的横坐标为

17,求斜率k的值;②若点M(,0),求证:MAMB为定值. 23练习2：已知抛物线C : y2 ＝2 px（p＞ 0），其焦点为F，O为坐标原点，直线 AB（不垂

直于x轴）

过点F 且抛物线C交于 A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为－p ． （1）求抛物线C 的方程；

（2）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点 D ，求证：

|OD|＞2

|OM|练习3：动点P(x,y)到定点F(1,0)的距离与它到定直线l:x4的距离之比为

(Ⅰ) 求动点P的轨迹C的方程；

1. 2（Ⅱ） 已知定点A(2,0)，B(2,0)，动点Q(4,t)在直线l上，作直线AQ与轨迹C的另一个交点为M,作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：M,N,F三点共线.

（5）圆锥曲线最值问题

x2y23例5： 已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两

2ab点，|AB|2.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧. 直线PA，PB与直线

x4分别相交于M，N 两点. 若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横

坐标的取值范围及|EF|的最大值.

解：（Ⅰ）由题意可得，b1， …………………1分

11

ec3， …………………2分 a2a213， …………………3分 得a24 解a24， …………………4分

椭圆C的标准方程为x24y21. （Ⅱ）设P(x0,y0)(0x02)，A(0,1)，B(0,1)， 所以ky01y1PAx，直线PA的方程为y0x1， 0x0同理：直线PB的方程为yy01xx1， 0直线PA与直线x4的交点为M(4,4(y01)x1)， 0直线PB与直线x4的交点为N(4,4(y01)x1)， 0 线段MN的中点(4,4y0x)， 0所以圆的方程为(x4)2(y4y0x)2(14x)2， 00令y0，则(x4)216y20xx2(10)2， 04因为x2202y0114y01，所以 x2， 04所以(x4)28x50， 0因为这个圆与x轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以 58x0，解得x80(,2]. 05

12

…………………5分 …………………6分 …………………7分 …………………8分 …………………9分 …………………10分

…………………11分 …………………12分

设交点坐标(x1,0),(x2,0)，则|x1x2|2588（x02） x05所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分

x2y2练习1：已知椭圆C：221ab的一个焦点为F(2，0)，离心率为

ab6。过焦点F 的直线l 与椭圆C交于 A，B两点，线段 AB中点为D，O为坐标原点，过O，3D的直线交椭圆于M，N 两点。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）求四边形AMBN 面积的最大值。

练习2：已知椭圆C：mx23my21(m0)的长轴长为26，O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；

（Ⅱ）设点A(3,0)，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BA||BP|，求四边形OPAB面积的最小值.

（6）圆锥曲线存在性问题

x2y22例6.已知椭圆C： 221ab0的离心率为，点P0,1和点

2abAm,nm0都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用mn表示）；

（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

解析:

b1,2c,（I）由题意得解得a22， 2aa2b2c2,2xy21. 故椭圆C的方程为2

13

设M(xM,0).

因为m0，所以1n1.

n1x， mmm 所以xM，即M(,0).

1n1n直线PA的方程为y1因为点B与点A关于x轴对称，所以Bm,n.

设N(xN,0)，则xNm. 1n “存在点Q(0,yQ)使得OQMONQ”等价于“存在点Q(0,yQ)使得

OMOQ2”，即yQ满足yQxMxN. OQONmmmn21. 因为xM，xN，21n1n所以yQ22或yQ2，

故在y轴上存在点Q，使得OQMONQ， 点Q的坐标为(0,2)或(0,2).

223xy练习1：设F 1 ，F 2分别为椭圆221ab的左、右焦点，点P（1，）

2ab在椭圆E 上，且点P 和F1 关于点C（0，

（1）求椭圆E 的方程；

3） 对称。 4（2）过右焦点F2 的直线l与椭圆相交于 A，B两点，过点P且平行于 AB 的直线与椭圆交于

另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l 的方

程；若不存在，说明理由。

x2y2

练习2：设椭圆C：x2＝4 2y的焦点重合，a2＋b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线：

14

F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e＝3，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线l，使得OMON＝－1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由

3

15