复习讲义—线面角与面面角(含答案)

复习讲义〔1〕

线面角与面面角

一、知识与方法要点：

1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平

面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。假设垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的间隔。

2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或者者作出它的平面角(要证明)。作二

面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。假设二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。 3．断定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。

两个平面垂直的性质定理是：假设两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 二、例题

例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．

(1)求证：AC1⊥平面A1BD．

(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值． 解：(1)连AC，

∵C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥BD． 又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．

同理AC1⊥A1B

∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．

(2)设正方体的棱长为a，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1，

∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．

连结BE，那么∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在RtMEB中，ME2AC13a， 222ME262，∴tanMBEBEaaa2BE26例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，

使C点挪动的间隔等于AC时停顿，并记为点P． 〔1〕求证：面ABP⊥面ABC；

〔2〕求二面角C-BP-A的余弦值． 证明〔1〕 由题设知AP＝CP＝BP．

∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心， 即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP， 由面面垂直的断定定理知，面ABP⊥面ABC． 〔2〕解法1 取PB中点E，连结CE、DE、CD． ∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD．

．

△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角． 又由〔1〕知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，

由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．

13DE31设BC1，那么CE，DE，cosCED． 222CE332例3．如下列图，在正三棱柱ABC(1)求证：BE(2)假设AA1A1B1C1中，EBB1，截面A1EC侧面AC1．

EB1；

A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1

所成二面角(锐角)的度数．

证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足，如图，

∵面A1EC⊥面AC1，∴EG⊥侧面AC1．

取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC． ∵面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1，

得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC1于FG． ∵BE∥侧面AC1，∴BE∥FG，四边形BEGF是∴BE∥AA1，∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC． 解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结A1D． ∵∠B1A1C1＝∠B1C1A1＝60°，

∴∠DA1C1＝∠DA1B1＋∠B1A1C1＝90°，即DA1⊥A1C1． ∵CC1⊥面A1C1B1，

由三垂线定理得DA1⊥A1C，所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．且∠A1C1C＝90°． ∵CC1＝AA1＝A1B1＝A1C1，∴∠CA1C1＝45°，即所求二面角为45°． 说明：假设改用面积射影定理，那么还有另外的解法．

，BE＝FG．

三、作业： 1．平面

的一条斜线a与平面成

角，直线b

，且a,b异面，那么a与b所成的角为

〔A〕

A．有最小值，有最大值

 2B．无最小值，有最大值D．有最小值

。 2。

〔D〕

C．有最小值，无最大值 ，有最大值

2．以下命题中正确的选项是

A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个 B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个 C．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条 D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个

3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为 45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，那么垂足间的间隔是

A．30

B．20

C．15

D．12

〔A〕

4．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为

角是 A．30°

2，底面边长为3，E是SA的中点，那么异面直线BE与SC所成的

C．60°

D．90°

〔C〕

B．45°

5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan22，那么它的侧棱与底面所成的角为2

6．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. 〔Ⅰ〕求证：AB⊥CD；〔Ⅱ〕求AB与平面BCD所成角的余弦值.

7．正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值．

解 过A，E分别作AH⊥面BCD，EO⊥面BCD，H，O为垂足，

∴AH

2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC，

∠ECO即为所求．∵AB=AC=AD，∴HB=HC=HD ∵△BCD是正三角形，∴H是△BCD的中心， 连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点，

DH2233DFaa，在Rt△ADH中， 33238．在四面体ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB．

求证：〔1〕EF⊥DC；〔2〕平面DBC⊥平面AEF．

证明 如图1-83．〔1〕∵AD⊥面ABC．∴AD⊥BC．又∵∠ABC＝90°．∴BC⊥AB． ∴BC⊥面DAB．∴DB是DC在面ABD内的射影．∵AF⊥DB．∴AF⊥CD〔三垂线定理〕． ∵AE⊥CD．∴CD⊥平面AEF．∴CD⊥EF．

面BCD．∴面AEF⊥面BCD．

〔2〕∵CD⊥AE，CD⊥EF．∴CD⊥面AEF．∵CD

〔3〕由EF⊥CD，AE⊥CD∴AEF为二面角B-DC-A的平面

又∵AF⊥DB，AF⊥CD，BD∩CD＝D∴AF⊥平面DBC，