高考理科数学模拟试题1

一、选择题（本大题共8小题：每小题5分：共40分：在每小题给出的四个选项中：只有一项是符

合题目要求的。） 1． 已知R为实数集：M{x|x2x0},N{x|x1}：则M(CRN)( )．

A．{x|0x1} B．{x|0x2} C．{x|x1} D．

y 1 2i：则|z|( )． 1i21 A． B． C．1 D．2

223． 设P(x,y)是图中的四边形内的点或四边形边界上的点：则z2xy2． 若复数z的最大值是( )．

A．2 B．1 C．1 D．2

4． 如图：一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形：则其体积是( )．

-1 O -1 第3题图

1 x 433428A． B . C. D .

3633主视图 左视图 5． 设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长：则直线 xsinAayc0与bxysinBsinC0的位置关系是( )．

A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直

俯视图

第4题图 6． 如图：圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播. 若D是DFE弧与x 轴的交点：设OD = x(0xa)：圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)：则函数yf(x)的图象大致是( )． y y y a x O a x O O A B

y C E F D 第6题图

A y B a x C O D a x O a x x2y27． 已知点F1、F2分别是椭圆221的左、右焦点：过F1且垂直于x

ab轴的直线与椭圆交于A、B两点：若△ABF2为正三角形：则该椭圆的离心

率e是( )．

y A F1 F2 x B 3211 A． B. C. D. 第7题图

3223|lg|x||,(x0)8． 已知函数f(x)：则方程f2(x)f(x)0的实根共有( )．

(x0)0, A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

二、填空题（本大题共6小题：每小题5分：共30分。把答案填在答题卷题中横线上）

9． (x)的展开式中的常数项是 （用数字作答）.

10．用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)：要使这个窗户通过的阳光最充足：则框架的长与宽应为 .

11．函数f(x)2x7x6与g(x)x的图象所围成封闭图形的面积为 . 12．考察下列一组不等式：

21x62353225252,2454235253,255523522253,.

将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广：使以上的不等式成为推广不等式的特例：则推广的不等式可以是___________________.

13．若框图所给的程序运行的结果为S=132：那么判断框中 应填入的关于k的判断条件是 .

14．等差数列an的前n项和为Sn：公差d0. 若存在正整 数m(m3)：使得amSm：则当nm（nN）时：有

否 开始 k=12 , s=1 是 s=s×k k=k-1 第13题图 输出s 结束 Sn_____an（填“>”、“<”、“=”）.

三、解答题（本大题共6小题：共80分：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分12分）

a(3sinx,cosx),b(cosx,cosx)f(x)2ab2m1（x,mR）. 已知：：

(1) 求f(x)关于x的表达式：并求f(x)的最小正周期：

(2) 若x[0,

2]时f(x)的最小值为5：求m的值.

16．（本小题满分12分）

如图：四边形ABCD为矩形：且AD4,AB2：PA平面ABCD：E为BC上的动点. (1) 当E为BC的中点时：求证：PEDE： P (2) 设PA1：在线段BC上存在这样的点E：使得二面角

PEDA的大小为

. 试确定点E的位置. 4 B A D E 第16题图

C 17、（本小题满分14分）

设数列bn的前n项和为Sn：且bn22Sn：数列an为等差数列：且a514：a720. (1) 求数列bn的通项公式： (2) 若cnanbn,n1,2,3,

18.（本小题满分14分）

已知动圆过定点1,0：且与直线x1相切.

(1) 求动圆的圆心轨迹C的方程：

(2) 是否存在直线l：使l过点（0：1）：并与轨迹C交于P,Q两点：且满足OPOQ0？若存在：求出直线l的方程：若不存在：说明理由.

19．（本小题满分14分）

为了对佛山市中考成绩进行分析：在60分以上的全体同学中随机抽出8位：他们的数学分数(已折算为百分制)从小到大排是60、65、70、 75、80、85、 90、95：物理分数从小到大排是72、 77、 80、84、88、90、93、95.

(1) 若规定85分(包括85分)以上为优秀：求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率：

(2) 若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 数学分数x 60 65 70 75 80 85 物理分数y 72 77 80 84 88 90 化学分数z 67 72 76 80 84 87 ：Tn为数列cn的前n项和. 求证：Tn7. 27 90 93 90 8 95 95 92 (2) 用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度：

(3) 求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01）：并用相关指数比较所求回归模型的效果.

参考数据：x77.5：y85：z81：

(xi18ix)1050：

：

2(yi18iy)2456：

：

(zi18iz)5502：

8(xi18ix)(yiy)688(xi18ix)(ziz)755(yi18iˆi)7y2(zi1iˆi)294：105032.4,45621.4,55023.5. z

20．（本小题满分14分）

已知函数f(x)x22alnx(x0), x(1) 若f(x)在[1,)上单调递增：求a的取值范围：

(2) 若定义在区间D上的函数yf(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式

xx1[f(x1)f(x2)]f(12)成立：则称函数yf(x)为区间D上的“凹函数”. 22试证当a0时：f(x)为“凹函数”.

数学试题参考答案和评分标准（理科1）

一、选择题（每题5分：共40分）

序号 答案 1 A 2 B 3 D 4 B 5 C 6 A 7 D 8 C 二、填空题（每题5分：共30分） 9．20. 10．3mm. 11．

12．amnbmnambnanbma,b0,ab,m,n0（或a,b0,ab,m,n为正整数）.注：

填2若填2mn8. 35mn2m5n2n5m以及是否注明字母的取值符号和关系：均不扣分：

m15m12m525m或am1bm1ambabm可给3分.

13．k10. 14．<.

三、解答题（本大题共6小题：共80分）

215. 解：(1) f(x)23sinxcosx2cosx2m1……………………………………………………2分

3sin2xcos2x2m ………………………………………………………………………………………………4分

2sin(2x)2m. …………………………………………………………………………………………………………6分

6f(x)的最小正周期是. …………………………………………………………………………………………………7分

7(2) ∵x[0,]：∴2x[,] …………………………………………………………………8分

26667∴当2x即x时：函数f(x)取得最小值是2m1. ………………………10分

662∵2m15：∴m3. …………………………………………………………………………………………………12分

16. 方法一：(2) 证明：当E为BC中点时：ECCD1：从而DCE为等腰直角三角形：则

DEC45：同理可得AEB45：∴AED90：于是DEAE：…2分

又PA平面ABCD：且DE平面ABCD：∴PADE：…………………………………………4分 ∴DE平面PAE：又PE平面PAE：∴DEPE. …………………………………………………6分 （也可以利用三垂线定理证明：但必需指明三垂线定理）

(2) 如图过A作AQDE于Q：连AE,AQ：则

PPQDE：

∴PQA为二面角PEDA的平面角. ………8分 设BEx：则CE2x.

AQECD在RtPAQ中,PQA4B,AQP1.

在RtABE中,AE1x2,在RtAQE中,EQx,

在RtAQD中DQ3,于是DEx3

…………………………………………………………

10分

在RtDCE中：有(x3)2(2x)21

解之得x23。

zP点E在线段BC上距B点的23处. …………………………………………………………………………12分

方法二A为原点：AB,AD,AP所在直线为

x,y,z 轴：建立空间直角坐标系：如图. …………………………1分

（1）不妨设APa：则P(0,0,a),E(1,1,0),D(0,2,0)： BADy从而PE(1,1,a),DE(1,1,0)：………………………4分 于是PEDE(1,1,a)(1,1,0)110：

xEC所以PEDE,所以PEDE …………………………………………………………………………………6分 （2）设BEx：则P(0,0,1),E(1,x,0),D(0,2,0)：

则PE(1,x,1),DE(1,x2,0).………………………………………………………………………………8分 易知向量AP(0,0,1)为平面AEDPDE的法向量为n(a,b,c)：则应有

abxc0nPE0, 即解之得c2b：令b1,则c2：a2x： ab(x2)0nDE0,从而n(2x,1,2)：………………………………………………………………………………………………………10分

依题意cos4nAPnAP222：即：解之得x123（舍去）：x123 222(x2)52. 3所以点E在线段BC上距B点的23处.…………………………………………………………………12分 17. 解：（1）由bn2－2Sn：令n1：则b122S1：又S1b1：所以b12. ……………………………………………………………………………………2分 9当n2时：由bn2－2Sn：可得bnbn12(SnSn1)2bn.

b1即n＝. …………………………………………………………………………………………………………………………4分 bn－13211所以bn是以b1为首项：为公比的等比数列：于是bn2n. …………5分

3331（2）数列an为等差数列：公差d(a7－a5)3 ,可得an3n1. ………………7分

21从而cnanbn2(3n1)n. ……………………………………………………………………………………8分

31111Tn2[25283(3n1)n],3333∴ ……………10分 11111Tn2[2253(3n4)n(3n1)n1].33333b222(b1b2)：则b22111111Tn2[332333n(3n1)n1]. …………………11分 3333333771n7从而Tnnn1. …………………………………………………………………………14分

2232318.（1）如图：设M为动圆圆心： F1,0：过点M作直线x1的垂线：垂足为N：由题意

∴

知：MFMN： ………………………………………………2分

即动点M到定点F与定直线x1的距离相等：由抛物线的定义知：点M的轨迹为抛物线：其中F1,0为焦点： ∴ x1为准线：动点R的轨迹方程为y4x ………………………5分 （2）由题可设直线l的方程为xk(y1)(k0)： 由2 NMxAx1oF1,0xk(y1)2y4x2 △16k160：k1或k1 ………………………………………………………………………………7分 设P(x1,y1)：Q(x2,y2)：则y1y24k：y1y24k……………………………………………9分

由OPOQ0：即 OPx1,y1：OQx2,y2：于是x1x2y1y20：……11分

222即k2y11y21y1y20：(k1)y1y2k(y1y2)k0：

得y4ky4k0

2 4k(k1)k4kk0：解得k4或k0（舍去）：…………………………………13分 又k41： ∴ 直线l存在：其方程为x4y40 ………………………………………14分

19. 解：(1)这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀：则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应：种数是C4A3（或A4）：然后将剩下的5个数学分数和物理分

5数任意对应：种数是A5。根据乘法原理：满足条件的种数是

33222333C4A3A55。

…………………………………………………………………………………………………………………………………

4分 5分

这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有A8。

335C4A3A51故所求的概率P. 814A88………………………………

………………………………………………………………………………

6分

(2) 变量y与x、z与x的相关系数分别是

r7556880.99. 0.99、r32.423.532.421.4可以看出：物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关. …………………………8分

ˆbxa、zˆbxa. (3) 设y与x、z与x的线性回归方程分别是y根据所给的数据：可以计算出b6880.65,a850.65*77.534.63： 1050b7550.72,a810.72*77.525.20. ……………………………………………………10分 1050所以y与x和z与x的回归方程分别是 ˆ0.65x34.63、zˆ0.72x25.20. …………………………………………………………11分 y794又y与x、z与x的相关指数是R210.98、R210.83. ……13分

456550ˆ0.65x34.63比回归模型zˆ0.72x25.20的拟合的效果好. …14分 故回归模型y

20. （Ⅰ）由fxx22a2alnx：得f'x2x2 ……………………………………2分

xxx函数为[1,)上单调函数. 若函数为[1,)上单调增函数：则f'x0在[1,)上恒成立：

2a2在上恒成立. 也即0a2x2在[1,)上恒成[1,)2xxx即不等式2x立. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………4分

222x2：上述问题等价于a(x)max：而(x)2x2为在[1,)上的减函数：xx则(x)max(1)0：于是a0为所求. …………………………………………………………6分

22（Ⅱ）证明：由fxxalnx 得

xfx1fx21211ax1x22lnx1lnx2

22x1x22令(x)xx12x1x2212alnx1x2 ……………………………………………………………………………7分 2x1x22xx4xxxxf1212aln12 ………………………………………………………………8分

222x1x22x1x2 ① ………………………………………10分 11 而x12x22x12x222x1x22422 又x1x2x1x22222xx124x1x2： ∴

x1x24 ② …………11分 x1x2x1x2∵x1x2x1x2xx2 ∴lnx1x2ln1： 22x1x2 ③ ……………………………………………………………………13分 22∵a0 ∴alnx1x2alnxx214xx由①、②、③得x12x221alnx1x212alnx1x2 2x1x22x1x2fx1fx2xx即f12：从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分

22