论固流耦合渗透固结数学模型的建立
基于多相连续介质力学的理论，把土体抽象为叠合连续体，建立了有限变形下固-流耦合渗透固结问题的数学模型，模型中反映了固-流相的相互耦合作用。
标签：固流耦合； 多相介质； 有限变形； 数学模型
1 基本假设
在以固相为宿主相的三相介质固结问题中，作如下假设：
(1)平衡及临界状态以前，固相骨架为准静态的；
(2)流相在固相骨架中的渗流服从达西定律；
(3)固相骨架处理为均质各向同性体；
(4)流相为理想流体。
2 有效应力原理
以固相为宿主相的骨架的变形主要由有效应力控制，有效应力原理表示为
σ=σ′-pm（1）
其中，σ为总应力，σ′为有效应力，都是以拉应力为正，p为流体应力，以压应力为正。许多学者提出了适用于岩土修正的有效应力原理
σ=σ′-am（2）
其中，α为修正系数。
3 固相骨架的应力平衡方程
由假设1，忽略固相骨架的惯性力，利用多相介质的动量守恒定律，得到固相骨架的有效应力表示的平衡方程为：
gσ 式中，σ其表达式为
p=sfpf=sgp（4）
sg=sf=1（5）
se为固相骨架的有效应力，以拉应力为正，P为平均孔隙压力，se
+ρsbs-grad（p）=0（3）
式中：sf，sf分别为水相和气相流体的饱和度，而pf，ps分别为岩土中水相压力和气相压力。方程（3）是以固相骨架为脱离体建立的平衡方程，σ
se实
际上是有效应力。由于现实状态，通常都是需要求解的状态，一般知道的是初始状态的边界条件和状态，对现实状态的初始条件和状态是未知的，是需要求解的。为了求解，还需要把方程（3）转化到初始状态下的物质描述中。
假设体力和面力在物体的变形过程中保持不变，可以用到平衡方程：
Tseij，j
Lagrange应力张量是非对称的应力张量，使用起来很不方便，把上式变
+ρ
s0
bs0i
-p
,j
=0（6）
Lagrange
应力得
换到Kirchhoff应力所表示的平衡方程为：
XjS
式中，Xi为
Lagrangian
坐标，Xj为
seki
xjXk+ρ
s0b
soc-p，i=0（7）
Eulerian
s0
坐标；ρs和ρs0分
别为现实构形和初始构形的固体质量密度；b0，b构形的外体力密度；S
4 在变形多孔介质中的流相控制方程
se表示固相有效的
分别为现实构形和初始
Kirchhoff应力。
流体渗流运动是由流体流动的连续方程（质量守恒）、流体状态方程、流体渗流方程组成。
假设渗流速度满足达西定律：
V=-KUgrad（p）（8）
由多相介质的质量守恒定律，流相的连续方程为： ρ
4.1 气相控制方程
令式（9）中m=g ，便得到气相流动的连续方程： ρ
式中：C
)g为气体的质量增加速率，它可以反映相之间的相互作用。由
=Vs-Kgρg
gg+ρgd
iv
（Vg）=C
)g（10）
gm+ρmd
iv
（Vm）=C
)m（9）
Vsg的物理意义，有：Vg=Vs+Vsg
k （11）
代入上式（10），有： ρ Vs-Kgρgk d ρ 其中： θ
t
为固相骨架的体积变形。
4.2 液相控制方程
令式（10）中m=l，便得到液相流动的连续方程： ρ 式中：
C
)l为液相的质量增加速率，它可以反映相之间的相互作用。
gl+ρld
iv
（Vl）=C
)l（14）
usx
x+usy
y+u
sz
z
gS=Vs
k，k
=
t（m
Te）=
ggρg+C
)gρg=0（13）
iv
Kgρgk
rgugBg+RsfkrfufBfgrad（pg）-θ
gS-
rgugBg+RsfkrfufBfgrad（pg）=
C
)g（12）
gg+ρgd
iv
（Vg=Vs+V
sg）=
rgugBg+RsfkrfufBfgrad（pg）
由Vsl
Vl=Vs=Vsl=Vs-Klk
代入式(14)，有： ρ
化简后，得 divklk -θ
gs-p
glpl+C
)lρl=0（17）
rl
ρlulBlgrad（pl）
gl+ρld
iv
Vs-Klk
rl
ρtulBlgrad（pl）=
C
)l（16）
rl
ρlulBlgrad（pl）（15）
的物理意义，有：
方程(18)即为以孔隙液相和固相骨架体积变形表示的连续方程，方程中的θ
gS项反映固体变形对孔隙液相压力的作用。
4.3 物性方程和几何方程
在多相连续介质中，把有效应力和骨架变形联系起来的本构方程与孔隙压力无关。在有限变形理论中，对于次弹性类物质增量形式的本构关系为：
VS
式中，VS量，DTijkl
seij
是
Kirchhoff
应力增量，VEkl
是
Green
应变增
seij
=D
tijkl
Ekl
（18）
是参考初始位形的本构张量。在本文中，由于时间有限，只考
虑土体发生的是线弹性变形的情形。对于土体材料是弹塑性的情况，本构矩阵DTijkl律。
要发生变化，且需要选择合适的屈服函数，考虑流动法则和硬化规
固相的几何方程由固相(土体)的应变-位移关系来表示。在有限变形中，几何关系在直角坐标系中可以表示为：
ES（19）
式中，US表示固相的位移分量。
5 固-流耦合固结问题的数学模型
5.1 固相的应力平衡方程 σ
该方程是基于现实构形的平衡方程，σ应力为正，p为平均压力。
p=sfpf+sgpg sg+sf=1
se为固相骨架的有效应力，以拉
se+ρsbs-grad（p=0）（20）
KL=12［U
S
KL+US
LK
+US
NLU
S
NL
］
式中：pf为液相压力，pg为气相压力，以压力为正。sg为气相的饱和度，sf为液相的饱和度。
用
XkS
5.2 气相渗流控制方程
selk
xixt+ρs0
bs0
i-p,i
=0(21)
Kirchhoff应力表示的平衡方程为：
考虑理想气体，不考虑气相的吸附与解吸时，其控制方程为： divkgk θ
5.3 液相渗流控制方程
考虑液体是不可压缩的理想流体，其控制方程为： divklk θ
5.4 几何方程 Es (24)
5.5 本构方程
考虑固相骨架为次弹性物质，其率形式为：
σ)se=σ)s S
其中：Am为变形路径函数。其增量形式为：
se=S
)s（Eg，Am）(26)
（D,Am）(25)
kl
=12［u
s
K,L+us
L,K+u
s
N,Lu
sN,l
］
gs=0(23)
rl
ρlulBlgrad（pl）-
gs-1psp
gg=0（22）
rgρgugBggrad（pg）-
VS S
5.6 边界条件 σ S uK=uk
pg=pg 在 Vgs
pf=pf 在 Vfs
5.7 初始条件
σs|t=0=σ0
Ss|t=0=S0(29) 初始 pg|t=0
=p
g0
(30)
Lagrangian
坐标坐标与
Eulerian
坐标重合时，σ0=s0
=Vfs
在
Γ
VF上
Γ
jp
上
=V
gs
在Γ
vg上
Γ
gv
上
在
Γ
u上
clk
xixlnk=
lk
nl=Fk
seij
=D
ep
ijkl
Egkl
(28)
seij
=C
0i
jklVEkl
(27)
pf|t=0 Vg|t=0
以上(6.1)-(6.7)便构成了固-液-气三相介质相互耦合作用的力学边值问题。 参考文献 ［1］
董平川.储层流固耦合的数学模型及其有限元方程［J］.石油学报，
=V
g0
(32)
=V
f0
(31)
1998，19(1)：64-70.
［2］李宁，陈飞熊.饱和土体固-液两相介质动力耦合问题有限元解析［J］.西安公路交通大学学报，1999，19（4）：6-10.
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