江苏省金陵中学2011届高三第二次模拟考试试卷

江苏省金陵中学2011届高三第二次模拟考试试卷

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分160分，考试时间120分钟． 考生注意事项：

1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题

卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致． 2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：

如果事件A，B互斥，那么

球的表面积公式 S4πR 其中R表示球的半径

球的体积公式 V2P(AB)P(A)P(B)

如果事件A，B相互独立，那么

P(AB)P(A)P(B)

43πR 3如果随机变量B(n,p),那么 其中R表示球的半径

A．必做题部分

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．集合A{x|xx2≤0，xZ}，则集合A中所有元素之和为 ． 2．如果实数p和非零向量a与b满足pa(p1)b0，则向量a和b ． （填“共线”或“不共线”）．

3．△ABC中，若sinA2sinB，AC2，则BC ．

4．设f(x)3ax2a1，a为常数．若存在x0(0,1)，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是 ．

5．已知复数z11ai，z2b3i，a,bR，且z1z2与z1z2均为实数，则

2z1 ． z26．右边的流程图最后输出的n的值是 ．

1

x2y27．若实数m、n{1，1，2，3}，且mn，则曲线1表示焦点在y轴上的

mn双曲线的概率是 ．

8． 已知下列结论：

① x1、x2都是正数x1x20，

x1x20x1x2x30② x1、x2、x3都是正数x1x2x2x3x3x10，

x1x2x30则由①②猜想：

x1x2x3x40

x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x40x1、x2、x3、x4都是正数

x1x2x3x40.

9．某同学五次考试的数学成绩分

别是120， 129， 121，125，130，则这五次考试成绩的方差是 ． 10．如图，在矩形ABCD中，AB3 ，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个

圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是 ．

11．用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则

这个几何体的体积最大是 cm3．

2

图1（俯视图） 图2（主视图）

12．下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据， 4.5 4 3 2.5 由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程 是 ．

13．已知xOy平面内一区域A，命题甲：点(a,b){(x,y)||x||y|1}；命题乙：点

月份x 用水量y 1 2 3 4 (a,b)A．如果甲是乙的充分条件，那么区域A的面积的最小值是 ．

x2y214．设P是椭圆1上任意一点，A和F分别是椭圆的左顶点和右焦点，

2516则PAPF1PAAF的最小值为 ． 43．

二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCBB11，AB1（1）求证：平面AB1C平面B1CB； （2）求三棱锥A1AB1C的体积．

16．某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．

（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）； （2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

3 C1

A1

B1

C

A B

17．如图，已知圆心坐标为(3,1)的圆M与x轴及直线y另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y3x分别相切于A、B两点，

3x分别相切于C、D两点．

（1）求圆M和圆N的方程；

（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

18．已知函数f(x)sinxcosx，xR． （1）求函数f(x)在[0,2]内的单调递增区间；

（2）若函数f(x)在xx0处取到最大值，求f(x0)f(2x0)f(3x0)的值； （3）若g(x)e（xR），求证：方程f(x)g(x)在0,内没有实数解．

xyDNBMOACx（参考数据：ln20.69，3.14）

4

19．已知函数f(x)13x2x23x（xR）的图象为曲线C． 3（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标

的取值范围；

（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件

的所有直线方程；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分18分）

已知数列{an}的通项公式是an2大的顺序排列构成的数列记为{cn}．

（1）若cnn，nN，求数列{bn}的通项公式；

（2）若AB，数列{cn}的前5项成等比数列，且c11，c98，求满足的正整数n的个数．

5 *n1，数列{bn}是等差数列，令集合

A{a1,a2,,an,}，B{b1,b2,,bn,}，nN*．将集合AB中的元素按从小到

cn15cn4

B．附加题部分

三、附加题部分（本大题共6小题,其中第21和第22题为必做题，第23～26题为选做题，请考生在第23～26题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 21．（本小题为必做题，满分12分） ．．．

已知直线y2xk被抛物线x4y截得的弦长AB为20，O为坐标原点． （1）求实数k的值；

（2）问点C位于抛物线弧AOB上何处时，△ABC面积最大？ 22．（本小题为必做题，满分12分） ．．．

甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别

6 2

是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75． （1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；

（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望E()． 23．（本小题为选做题，满分8分） ．．．

如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F. （1）求

BF的值； FCA（2）若△BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，求S1:S2的值．

24．（本小题为选做题，满分8分） ．．．

已知直线l的参数方程：BFEDCy12txt（t为参数）和圆C的极坐标方程：

22sin()．

4（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l和圆C的位置关系．

7

25．（本小题为选做题，满分8分） ．．．

110 试求曲线ysinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M =，N =2002

26．（本小题为选做题，满分8分） ．．．

用数学归纳法证明不等式：

0． 1111121(nN且n1)． nn1n2n

8

参考答案

A．必做题部分

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

1．2 2．共线 3．4 4．(,1)(,) 5．7．

1213i 6．5 2211 8．x1x2x3x1x2x4x1x3x4x2x3x40 9．16.4 10． 11．7 43ˆ0.7x5.25 13．2 14．9 12．y二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）

15． （本小题满分14分） 解：（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，

则BB1⊥AB，BB1⊥BC，-----------------------------------------------------3分

又由于AC=BC=BB1=1，AB1=3，则AB=2，

则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，---------------------------------------6分 又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，

所以有平面AB1C⊥平面B1CB；----------------------------------------------9分 （2）三棱锥A1—AB1C的体积VA1AB1CVB1A1AC（注：还有其它转换方法）

16．（本小题满分14分）

解：（1）y1111．-----14分 3261000.5x(2462x)

x100即yx；------------------------------------------7分 1.5（x0）

x（不注明定义域不扣分，或将定义域写成xN也行）

* （2）由均值不等式得：

yx 当且仅当x1001001.52x1.521.5（万元）-----------------11分 xx100，即x10时取到等号．-----------------------------------13分 x答：该企业10年后需要重新更换新设备．---------------------------------------14分

17．（本小题满分14分）

解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半

径，则M在∠BOA的平分线上，

9

同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA

的平分线，

∵M的坐标为(3,1)，∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1， 则⊙M的方程为(x3)(y1)1，-------------------------------4分

设⊙N的半径为r，其与x轴的的切点为C，连接MA、MC， 由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC， 即

22r1r3， 3rr22 则OC=33，则⊙N的方程为(x33)(y3)9；----------8分 （2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙N截得的弦

的长度，此弦的方程是y3(x3)，即：x3y30， 33，--------------------- ------------------ -11分 2圆心N到该直线的距离d=

则弦长=2rd2233．----------------------------------------------------14分

另解：求得B（

33,），再得过B与MN平行的直线方程x3y30， 22322，则弦长=2rd33． 2圆心N到该直线的距离d=

（也可以直接求A点或B点到直线MN的距离，进而求得弦长）

18．（本小题满分14分）

解：（1）f(x)sinxcosx 令x2sin(x)，

44[2k2,2k2]（kZ）

3]，------------------------------------------------2分

4437 由于x[0,2]，则f(x)在[0,2]内的单调递增区间为[0,]和[,2]；

4437 （注：将单调递增区间写成[0,][,2]的形式扣1分）

443（2）依题意，x02k（kZ），-------------------------------------6分

4 则x[2k,2k

10

由周期性，f(x0)f(2x0)f(3x0)

(sin333399cos)(sincos)(sincos)21442244x；

-----------------8分

（3）函数g(x)e（xR）为单调增函数，

且当x[0,4]时，f(x)0，g(x)ex0，此时有f(x)g(x)；

-------------10分

1当x,时，由于lne40.785，而ln2ln20.345，

424则有lne4ln2，即g()e442，

又g(x)为增函数，当x,时，g(x)2 ------12分 42，

而函数f(x)的最大值为2，即f(x)则当x,时，恒有f(x)g(x)， 4综上，在0,恒有f(x)g(x)，即方程f(x)g(x)在0,内没有实数 解．--------------------------------------------------------------------------------------------14分

19． （本小题满分16分）

22解：（1）f(x)x4x3，则f(x)(x2)11，

即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是1,；------------4分

k11（2）由（1）可知，---------------------------------------------------------6分

1k解得1k0或k1，由1x4x30或x4x31 得：x,22(1,3)2222,；-------------------------------9分

（3）设存在过点A(x1,y1)的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2,y2)，

x1x2，

11

则切线方程是：y(x12x13x1)(x14x13)(xx1)，

13322232x12x1)，--------------------------11分 32322 而过B(x2,y2)的切线方程是y(x24x23)x(x22x2)，

3 化简得：y(x14x13)x(2 由于两切线是同一直线，

则有：x14x13x24x23，得x1x24，----------------------13分 又由 即 22232322x12x1x22x2， 33222(x1x2)(x1x1x2x2)2(x1x2)(x1x2)0 31222(x1x1x2x2)40，即x1(x1x2)x2120 322 即(4x2)4x2120，x24x240

得x22，但当x22时，由x1x24得x12，这与x1x2矛盾。 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。----------------------------------16分 20．（本小题满分18分）

解：（1）若cnn，因为5，6，7A ，则5，6，7B，

由此可见，等差数列{bn}的公差为1，而3是数列{bn}中的项， 所以3只可能是数列{bn}中的第1，2，3项， 若b13，则bnn2， 若b23，则bnn1，

若b33，则bnn；-----------------------------------------------------------4分

（注：写出一个或两个通项公式得2分，全部写出得4分） （2）首先对元素2进行分类讨论：

①若2是数列{cn}的第2项，由{cn}的前5项成等比数列，得

c4238c9，这显然不可能；

②若2是数列{cn}的第3项，由{cn}的前5项成等比数列，得b12， 因为数列{cn}是将集合AB中的元素按从小到大的顺序排列构成的， 所以bn0，则b1 这样bn22，因此数列{cn}的前5项分别为1，2，2，22，4，

2n，

则数列{cn}的前9项分别为1，2，2，22，4，32，42，52，8，

上述数列符合要求；---------------------------------------------------------10分 ③若2是数列{cn}的第k项（k4），则b2b121， 即数列{bn}的公差d1，

12

所以b6b15d257，1，2，4即数列{cn}的前9项均小于8，这与c98矛盾。

综上所述，bn2n，---------------------------------------------------------12分

其次，当n4时，

cn152， cn4

c6325c745，，-------------------------------------------14分 c544c634 当n7时， cn42，因为{bn}是公差为2的等差数列， 所以cn1cn 所以

2，----------------------------------------------------------16分

cn1cncn1cnccn251n11， cncncn424此时的n不符合要求。所以符合要求的n一共有5个。-------------------18分

B．附加题部分

三、附加题部分：

21．（必做题）（本小题满分12分）

解：（1）将y2xk代入x4y得x8x4k0，----------------------2分 由△6416k0可知k4， 另一方面，弦长AB2256416k20，解得k1；-------------6分

（2）当k1时，直线为y2x1，要使得内接△ABC面积最大，

则只须使得yC12xC2，-----------------------------------------------10分 4即xC4，即C位于（4，4）点处．----------------------------------------12分

22．（必做题）（本小题满分12分）

解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A1、A2、A3；

E表示事件“恰有一人通过笔试”

则P(E)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)

0.60.50.60.40.50.60.40.50.4

0.38---------------------------------------------------------------------6分

13

（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为p0.3，

---------------------------------------------------------------------9分

所以~B(3，0.3)，故E()np30.30.9．-------------12分 解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A，B，C， 则P(A)P(B)P(C)0.3

所以P(1)3(10.3)0.30.441，

2P(2)30.320.70.189，P(3)0.330.027．

于是，E()10.44120.18930.0270.9．

23．（选做题）（本小题满分8分）

证明：（1）过D点作DG∥BC，并交AF于G点， -------------------------2分 ∵E是BD的中点，∴BE=DE，

又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG， ∴△BEF≌△DEG，则BF=DG， ∴BF：FC=DG：FC，

又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2，

则BF：FC=1：2；----------------------------------------------4分 （2）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底， 则由（1）知BF：BC=1：3，

又由BE：BD=1：2可知h1：h2=1：2，其中h1、h2分别为△BEF和△BDC的高，

则

SBEF111，则S1:S2=1：5． -----------------------8分 SBDC326A B

24．（选做题）（本小题满分8分）

GEDFC解：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为y2x1；-----------------------2分

22(sin)即2(sincos)，

4

14

两边同乘以得2(sincos)， 消去参数，得⊙C的直角坐标方程为：

2(x1)2(x1)22--------------------------------------------------------------4分

（2）圆心C到直线l的距离d|211|2212252， 5所以直线l和⊙C相交．---------------------------------------8分

25．（选做题）（本小题满分8分）

1012解：MN = 02010=2100，---------------------------------------------------4分 2xx1x 即在矩阵MN变换下2，-------------------------------------6分

yy2y则

1ysin2x， 2即曲线ysinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y2sin2x．----------8分

26．（选做题）（本小题满分8分）

111131，n2时成立 ----------2分 234121111（2）假设当nk(k2)时成立，即21

kk1k2k证明：（1）当n2时，左边＝那么当nk1时，左边11112(2) k1kk1(k1)2111111 2(2)2kk1kk1(k1)k11k2k11(2k1)211 2k1kk(k1)nk1时也成立 --------------------------------------------------7分

根据（1）（2）可得不等式对所有的n1都成立 ----------------------------------8分

15