学习目标
1.能理解圆周运动的运动学物理量,并明确其相互关系。
2.能理解圆周运动中的动力学问题,并会用牛顿运动定律分析实际问题,完善自己准确的运动和相互作用观。
3.能掌握竖直面内圆周运动的两类模型问题,并通过相应模型的建构锻炼自己的科学思维。
自主复习
1.思考判断
(1)匀速圆周运动是匀加速曲线运动。( ) (2)向心力和重力、弹力一样,是性质力。( )
(3)做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比。 ( ) (4)做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比。 ( )
(5)做圆周运动的物体所受合外力突然消失,物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动。( )
(6)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。( )
2.(多选)如图所示,自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分,它们的边缘有三个点A、B、C。关于这三点的线速度、角速度、周期和向心加速度的说法中正确的是( )
A.A、B两点的线速度大小相等 B.B、C两点的角速度大小相等 C.A、C两点的周期大小相等 D.A、B两点的向心加速度大小相等
3.如图所示,玻璃球沿碗的内壁做匀速圆周运动(若忽略摩擦),这时球受到的力是( )
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A.重力和向心力 B.重力和支持力 C.重力、支持力和向心力 D.重力 [合作探究]
(一)圆周运动的运动学问题 1.圆周运动基本物理量及其关系
线速度:方向 ,公式 。 角速度:物理意义 ,公式 。 周期:定义 ,公式 。 转速:定义 ,公式 。 向心加速度:方向 ,公式 。 2.同轴转动和皮带(齿轮)传动 同轴转动:
特点: 、 相同 规律:线速度与半径成 皮带(齿轮)传动: 特点: 大小相等 规律:角速度与半径成 (二)圆周运动的动力学问题 1.向心力的来源
向心力是按力的 命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的 或某个力的 ,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2.运动模型
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[例题评析]
【例题1】在某次文艺演出中,芭蕾舞演员保持如图所示姿势原地旋转,此时手臂上A、B两点角速度大小分别为ωA、ωB,线速度大小分别为vA、vB,则( )
A.ωA<ωB
B.ωA>ωB
C.vA [变式练习1]汽车在公路上行驶一般不打滑,轮子转一周,汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30 cm,当该型号轿车在高速公路上行驶时,驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上,可算出该车车轮的转速约为( ) A.1 000 r/s B.1 000 r/min C.1 000 r/h D.2 000 r/s 【例题2】(多选)如图所示,A、B两质量相同的质点被用轻质细线悬挂在同一点O,在同一水平面上做匀速圆周运动,则( ) A.A的角速度一定比B的角速度大 B.A的线速度一定比B的线速度大 C.A的加速度一定比B的加速度大 - 3 - D.A所受细线的拉力一定比B所受的细线的拉力大 [变式练习2](多选)在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示,当火车以规定的行驶速度转弯时,内、外轨均不会受到轮缘的挤压,设此时的速度大小为v,重力加速度为g,两轨所在面的倾角为θ,则( ) A.该弯道的半径r= B.当火车质量改变时,规定的行驶速度大小不变 C.当火车速率大于v时,内轨将受到轮缘的挤压 D.当火车速率大于v时,外轨将受到轮缘的挤压 [疑难剖析] 竖直面内圆周运动中的临界问题 常见模型建构 最高点无支撑 最高点有支撑 球与绳连接、 水流星、沿内球与杆连接、球 实例 轨道运动的在光滑管道中“过山车”运动等 等 图示 除重力外,物除重力外,物体体受到的弹受到的弹力方 受力特征 力方向:向下向:向下、等于或等于零 零或向上 受力示意图 - 4 - 力学方程 FN=0 v=0 临界特征 mg=m即vmin= 即F向=0 FN=mg 过最高点 的条件 【例题3】如图所示,光滑圆轨道固定在竖直面内,一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周 运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为FN1,在最高点时对轨道的压力大小为FN2。重力加速度大小为g,则FN1-FN2的值为 ( ) A.3mg B.4mg C.5mg D.6mg [变式练习3]如图所示,长为L的轻杆,一端固定一个小球A,另一端固定在光滑的水平轴上,轻杆绕水平轴转动,使小球A在竖直面内做圆周运动,小球A在最高点的速度为v,下列叙述中正确的是( ) A.v的最小值为 B.v由零逐渐增大时,向心力也逐渐增大 C.当v由零逐渐增大时,杆对小球的弹力逐渐增大 - 5 - D.当v由[小微专题] 逐渐减小时,杆对小球的弹力逐渐减小 常见的三种临界问题 (1)与绳的弹力有关的临界问题:此类问题要分析出绳恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)。 (2)与支持面弹力有关的临界问题:此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)。 (3)因静摩擦力而产生的临界问题:此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)。 【例题4】如图所示,在水平圆盘上放有质量相同的滑块1和滑块2,圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO'转动。两滑块与圆盘的动摩擦因数相同,均为μ,最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力。两滑块与轴O共线,且滑块1到转轴的距离为r,滑块2到转轴的距离为2r,现将两个滑块用轻质细线相连,保持细线伸直且恰无张力。当圆盘从静止开始转动,角速度极其缓慢地增大,针对这个过程,求解下列问题: (1)求轻绳刚有拉力时圆盘的角速度; (2)求当圆盘角速度为ω= 时,滑块1受到的摩擦力。 [变式练习4](多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点,如图所示,绳b在水平方向伸直时长为l,绳a与水平方向成θ角,当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,则下列说法正确的是( ) A.a绳张力不可能为零 B.a绳的张力随角速度的增大而增大 - 6 - C.当角速度ω>时,b绳将出现张力 D.若b绳突然被剪断,则a绳的张力一定发生变化 [课堂练习] 如图所示是场地自行车比赛的圆形赛道。路面与水平面的夹角为15°,sin 15°=0.259,cos 15°=0.966,不考虑空气阻力,g取10 m/s。 (1)某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动,圆周的半径为60 m,要使自行车不受摩擦力作用,其速度应等于多少? (2)若该运动员骑自行车以18 m/s的速度仍沿该赛道做匀速圆周运动,自行车和运动员的质量一共是100 kg,此时自行车所受摩擦力。的大小又是多少?方向如何? 2 [课堂小结] [课后作业] 1.放在赤道上的物体甲与放在北纬60°处的物体乙,由于地球的自转,如下关系正确的是( ) A.角速度之比为2∶1 B.线速度之比为2∶1 C.向心加速度之比为1∶4 D.向心加速度之比为4∶1 2.如图所示是自行车传动装置示意图,A是大齿轮边缘上一点,B是小齿轮边缘上的一点,若大齿轮的半径是小齿轮半径的2倍,那么,A、B两点的向心加速度之比是 ( ) A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶1 3.如图所示,物块(质量为m)随转筒一起以角速度ω做匀速圆周运动,下列说法正确的是( ) - 7 - A.物块受到重力、弹力、摩擦力和向心力的作用 B.若角速度增大而且物块仍然随转筒一起做匀速圆周运动,那么物块所受摩擦力增大 C.若角速度增大而且物块仍然随转筒一起做匀速圆周运动,物块所受摩擦力减小 D.若角速度增大而且物块仍然随转筒一起做匀速圆周运动,物块所受摩擦力不变 4. 如图所示为学员驾驶汽车在水平路面上绕O点做匀速圆周运动的俯视示意图。已知学员在A点位置,教练员在B点位置,学员和教练员(均可视为质点)在运动过程中,大小相同的是( ) A.向心力 B.加速度 C.线速度 D.角速度 5.如图所示,是马戏团中上演的飞车节目,在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m,人以v1=轨道最高点B,并以v2=相差( ) 的速度通过 v1的速度通过最低点A。则在A、B两点轨道对摩托车的压力大小 A.3mg B.4mg C.5mg D.6mg 6. - 8 - (多选)如图所示,在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、 C,圆盘可绕垂直圆盘的中心轴O1O2转动。三个物体与圆盘之间的动摩擦因数相同,最大静摩擦 力认为等于滑动摩擦力。三个物体与轴心O1共线且O1A=O1B=BC=r。现将三个物体用轻质细线相连,保持细线伸直且恰无张力。圆盘从静止开始转动,角速度极其缓慢地增大,则对于这个过程,下列说法正确的是( ) A.A、B两个物体所受的摩擦力同时达到最大静摩擦力 B.B、C两个物体的静摩擦力先增大后不变,A物体的静摩擦力先增大后减小再增大 C.当ω2>时整体会发生滑动 D.当<ω<,在ω增大的过程中BC间的拉力不断增大 7.大量实例说明,物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心,这个指向圆心的合力就叫做向心力。向心力可以由一个力提供,也可以由几个力的合力提供,如图所示,拱形桥的 AB段是半径r=50 m的圆弧,一辆质量m=1.2×103 kg的小汽车,以v=10 m/s的速率驶上拱形 桥。g取10 m/s。则汽车到达桥顶时,桥对汽车的支持力FN是多大? 2 8.有一种叫飞椅的游乐项目,示意图如图所示。长为L的钢绳一端系着座椅,另一端 固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时,钢绳与转动轴在同一竖直平面内,与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力,求: - 9 - (1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系; (2)此时钢绳的拉力多大? 参 考 答 案 自主复习 1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)× 2.AB 3.B 合作探究 (一)1.沿圆周的切线方向 v== 描述物体绕圆心转动的快慢 ω== 做圆周运动的物体运动一周所需时间 T== 单位时间内转过的圈数 n= 始终指向圆心 a=2.角速度 周期 正比 =ω2r==ωv 线速度 反比 - 10 - (二)1.作用效果 合力 分力 [例题评析] 例题1 答案:D 解析:由于A、B两处在演员自转的过程中周期一样,所以根据ω=可知,A、B两点的 角速度相等,所以A、B选项错误;根据v=rω可知A点转动半径大于B点转动半径,所以A点的线速度大于B点的线速度,即选项D正确。 变式1 答案:B 解析:由v=rω、ω=2πn联立可得n=故选B。 例题2 答案:BCD =r/s≈17.7 r/s=1 062 r/min, 解析:小球受力分析:设细线与竖直夹角为α,则有mgtan α=mωr,而r=htan α,所以 2 g=ω2h,由于h均相同,因此ω相同,故A不正确;由于角速度相同,A球的半径比B球的半径大, 则由v=ωr得A球的线速度比B球的线速度大,故B正确;由于角速度相同,A球的半径比B球 的半径大,则由an=ωr得A球的加速度比B球的加速度大,故C正确;由的质量,同样的高度下,细线越长则细线的拉力越大,故D正确。 2 =得,相同 变式2 答案:ABD 解析:火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘,靠重力和支持力的合力提供向心力,根据牛顿第 二定律得:mgtan θ=m,解得:r=,故A正确;根据牛顿第二定律得:mgtan θ=m,解得:v=,可知火车规定的行驶速度与质量无关,故B正确;当火车速率 大于v时,重力和支持力的合力不足以提供向心力,此时外轨对火车有侧压力,轮缘挤压外轨,故C错误,D正确。 - 11 - 例题3 答案:D 解析:设小球在最低点速度为v1,在最高点速度为v2,根据牛顿第二定律,在最低 点:FN1-mg=m, 在最高点:FN2+mg=m 同时从最高点到最低点,根据机械能守恒定律得 m=m+mg·2R 联立以上三式可得FN1-FN2=6mg,故选项D正确。 变式3 答案:B 解析:小球在最高点的最小速度为零,此时重力大小等于杆的支持力,故A错误。在最高点, 根据F向=m得,当v由零逐渐增大时,向心力也逐渐增大,故B正确。在最高点,当杆的作 用力为零时,v=,当v>,杆提供拉力,有mg+F=m,当v由逐渐增大 时,杆对小球的弹力也逐渐增大,当0≤v<逐渐增大到 时,杆提供支持力,有mg-F=m,当v由零 时,杆的弹力逐渐减小,反之当v由逐渐减小时,杆对小球的弹力逐 渐增大,故C、D均错误。 例题4 答案:(1) (2)摩擦力为0 解析:(1)轻绳刚有拉力时,滑块2与转盘间的摩擦力达到最大静摩擦力,则由牛顿第二定律:μmg=m·2r 解得ω0=。 (2)当圆盘角速度为ω=则 >,此时滑块2与转盘间的摩擦力是最大静摩擦力, - 12 - 对滑块2:FT+μmg=mω·2r 对滑块1:FT+Ff1=mω·r 解得Ff1=0。 变式4 答案:AC 解析:当b绳中有张力时,对小球进行受力分析,竖直方向有FTasin θ=mg,由此可知,此时FTa与ω无关,故A正确,B错误。由圆锥摆模型知ω较小时b绳中无张力,设ω=ω0时b绳刚伸 2 2 直且无张力,对小球有=m·l,则ω=ω0=,故C正确。当b绳中无张力 时,将b突然剪断,a绳的张力不会发生变化,故D错误。 [课堂练习] (1)12.7 m/s (2)263 N,方向沿着倾斜路面指向内侧 解析:(1)自行车恰好不受摩擦力时,运动员和自行车所受重力及赛道支持力的合力提供 向心力,根据牛顿第二定律有mgtan 15°=m,解得v0==12.7 m/s。 (2)运动员骑自行车以v1=18 m/s做匀速圆周运动时,因v1>v0,故赛道给自行车的静摩擦力 F沿斜面向下,受力分析如图所示。 在x轴方向由牛顿第二定律可知Ff+mgsin 15°=max。将自行车的水平加速度沿x轴分解 得ax=acos 15°,再根据向心加速度公式a=摩擦力方向沿着倾斜路面指向内侧。 [课后作业] 1.B 2.A 3.D 4.D 5.D 6.BCD 7.答案:9.6×10 N 3 ,联立解得a=5.4 m/s,ax=5.22 m/s,Ff=263 N。 - 13 - 解析:汽车在桥顶时,受到重力和支持力作用,根据牛顿第二定律得到:mg-FN=m, 则得到支持力的大小为:FN=mg-m=1.2×103×10 N-1.2×103× N=9.6×10 N 3 8.答案:(1) (2) 解析:(1)设转盘转动的角速度为ω时,钢绳与竖直方向的夹角为θ 座椅到中心轴的距离:R=r+Lsin θ 对座椅分析有:F向=mgtan θ=mω2 R 联立两式得:ω= (2)设钢绳的拉力为FT,则由:=cos θ得FT=。 - 14 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容