立体几何空间角习题

【基础】空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：0°  ≤90°、0°≤  ≤90°、0°  ≤180°。

一、选择填空题

C1．（1）已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，则

ABA1B与AC1所成的角为（ ）

C1 （A）450 （B）600 （C）900 （D）1200

A1B1（2）已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为（ ） A．

1 3B．2 3C．3 3D．

2 3（3）RtABC的斜边在平面内，顶点A在外，BAC在平面内的射影是BAC，则

BAC的范围是________________。

（4）从平面外一点P向平面引垂线和斜线，A为垂足，B为斜足，射线BC，这时

PBC为钝角，设PBCx,ABCy，则（ ）

A.xy B.xy C.xy D.x,y的大小关系不确定

（5）相交成60°的两条直线与一个平面所成的角都是45°，那么这两条直线在平面内的 射影所成的角是（ ）

A．30°

B．45° C．60°

D．90°

（6）一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这条线

段与平面所成的角是 ；若一条线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段所在直线与平面所成的角是 。

（7）PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）

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A．

2631 B． C． D．

2332D1C1（8）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，

M,N分别是A1A,AB上的点，若NMC1900，

那么NMB1的大小是（ ）

A.大于90 B.小于90 C. 90 D.不能确定

000A1B1MADCBN

（9）已知SOABC所在平面于O点，且S到A,B,C三点等距离，若ABC中，有

cosAcosBsinAsinB，则O点（ ）

A.必在ABC的某一边上 B.必在ABC外部（不含边界） C.必在ABC内部（不含边界） D.以上都不对

（10）如果直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成的角分别为 1和2，则（ ）

A．sin21sin221 C．sin21sin221

B．sin21sin221 D．sin21sin221

（11）如图，，l，A，B，A，B到l的距离分别是a和

A l a 

b B b，AB与，所成的角分别是和，AB在，内的射影分别是m和n，

若ab，则（ ） A．，mn

B．，mnC．，mn

D．，mn

（12）与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________。

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二、解答题

1.已知直三棱柱ABCA1B1C1,ABAC,F为BB1上一点，BFBC2a,FB1a。 （1）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明：EFFC1； （2）若A1B13a，求FC1与平面AA1B1B所成角的正弦值。

2．如图正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为

BD E A

C

F

B1A1C1

2a，2若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平\\面交上底面于DB1。（1）试确定D点的位置，并证明你的结论；（2）求平面AB1D与侧面AB1所成的角及平面AB1D与底面所成的角；（3）求A1到平面

A1DFEGC1B1CBAB1D的距离。

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A3.如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，

∥BADFAB90，BC 11∥AF。 AD，BE 22（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；

（Ⅱ）设ABBCBE，求二面角AEDB的大小。

F

E B A

D C

4.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，ABC60,E，F分别是BC, PC的中点。 （Ⅰ）证明：AE⊥PD；

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值。 第 4页（共6页）

课后答案：

1．（1）C； （2）C； （3）(90,180]； （4）C； （5）D； （6）略； （7）D； （8）C； （9）B； （10）B； （11）D；

D 1 （12）解：如图中，截面ACD1和截面ACB1均符

A 1 合题意要求，这样的截面共有8个。

D 二、解答题

A 1.（1）转证线面垂直；（2）sinB C B 1 C 1

00410。 1502.（1）D为A1C1的中点；（2）45;arctan2；（3）6a。 6∥3．解：（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，由BC 1AD得 2GBGCBC1，延长FE交AB的延长线于点G， GAGDAD2GEGBBE1GBGB同理可得，即G与G重合， ．故GFGAAF2GAGA因此直线CD，EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面。

（Ⅱ）设AB1，则BCBE1，AD2．取AE中点M，则BMAE，又由已知得，

AD平面ABEF，故ADBM，BM与平面ADE内两相交直线AD，AE都垂直，

所以BM平面ADE，作MNDE，垂足为N，连结BN，由三垂线定理知BNED，

BNM为二面角AEDB的平面角，BM21ADAE3，MN， 22DE3故tanBNM6BM6，所以二面角ADEB的大小为arctan。

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4．解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形。因E为BC的中点，所以AE⊥BC。

又BC∥AD，因此AE⊥AD。因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE。而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以AE⊥PD。 （Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH. 由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角，在Rt△EAH中，AE=3，所以当AH最短时， ∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大， 此时tan∠EHA=

AE36,因此AH=2， AHAH2又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.因为PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABCD，过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=

33，AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点，在Rt△ASO中，22SO=AO·sin45°=

3222，又SEEOSO43830, 4943215SO154,即所求二面角的余弦值为在Rt△ESO中，cos∠ESO=。

5SE5304

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